Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ctg2tdt

	sint				x		; t
	sint				2		; t
					2
		arcsin				x
		arcsin
					2
Пример 2:
				dx


4					x2 3
			1	sint			c
4				sint			c
4

1 dt

ctgt

cost

sin2 t

sint

sin2 t

arcsin

sint

	x	tgt				2			dt

								2			t	1
								2				1
			2dt						cos					costdt
	dx		2dt					2			3	4		costdt

			cos2 t


							cost
							cost
										x
1		tgt			1											x
1		tgt		c	1			2					c			x
								2

4 1 tg2t					4			1			x 2				4 4 x2
4 1 tg2t					4						x 2				4 4 x2
											2
											2

Пример 3:
									x	2
			x2		4												2tgt2sintdt
J							dx			cost
										cost
			x	3					dx		2sint	dt						2		3
				3							2sint									3
																	cos2t
											cos2 t
											cos2 t								cost
	1	sin 2tdt						1	1 cos2t dt				1	t	1	sin 2t		c
2		sin 2tdt				4			1 cos2t dt			4		t	8	sin 2t		c
2						4						4			8

1		1				1			1
1	t	1	sint cost			1	t		1		1 cos2t			cost		c
4	t	4	sint cost			4	t	4			1 cos2t			cost		c
4		4				4		4

1				2		2				2				1		4		2
	arccos				cost			; t		arccos			;		1					c
4	arccos			x	cost		x	; t		arccos		x	;	4	1		x2		x	c
1				2	1
1	arccos			2	1	x2		4			c
4	arccos			x	2x2	x2		4			c
4				x	2x2

3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

1.Площадь криволинейной трапеции

Понятие определѐнного интеграла является одним из основных понятий математики. Между определѐнным и неопределѐнным интегралами существует тесная связь, которая и лежит в основе практического использования определѐнного интеграла.

К понятию определѐнного интеграла приводят многие задачи геометрии, механики и физики. Рассмотрим две из таких задач.

у0

				М
				М

												B
												B
	A							.
0
0

х0=a		0	1		2	...			...		x =b		x
		0	1		2		k			n-1		n
							k			n-1

Рис. 8.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], причѐм f(x) >0. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ох, графиком y = f(x), и двумя прямыми: x = a и x = b.

Эта фигура называется криволинейной трапецией, отрезок [a,b] оси Ох – еѐ основанием (рис. 8).

Найдѐм площадь этой фигуры. Разобьѐм отрезок [a,b] на

n частей	произвольным образом. Через точки деления х1,
х2,…хn-1	проведем прямые, параллельные оси Оу.
	53

Криволинейная трапеция при этом разбивается на n частей.

Обозначим длины элементарных отрезков через

хk:

x0 ;

x1,;...

каждом

из

1 xk ;...

элементарных

промежутков

возьмѐм

произвольную

точку

k :

x1; x1

x2 ;...

1;... xn

n 1

Вычислим значения функции f(x) в этих точках:

f 0 , f	1 ,... f k ,... f	n 1
Каждую	элементарную	полоску с основанием

xk заменим прямоугольником с тем же самым основанием xk и высотой f( k ) (k = 0, 1, 2,…n-1). Площадь каждого

такого прямоугольника равна f( k ) хk.

При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:

Sn f 0	x0 f 1	x1	... f k xk ... f n 1 xn 1
	n	1
или	Sn	f k	xk
	k	0

Ясно, что площадь Sn ступенчатой фигуры не равна площади криволинейной трапеции, а является лишь приближѐнным значением искомой площади. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичны интервалов (и больше n)

Если измельчать разбиение отрезка a, b , то число промежутков возрастает и полоски становятся уже, т.е. ломаная линия будет теснее примыкать к кривой y f (x) .

За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремиться Sn, когда разбиение отрезка a, b делается сколь угодно мелким (если такой предел существует):

S	lim	Sn или
	max xk	0
		n	1
S	lim		f ( k ) xk	(1)
	max xk	0 k	0

Здесь max xk - наибольшая длина элементарного

отрезка.

Данное определение соответствует интуитивным представлениям о площади плоской фигуры и оно полностью оправдывается практикой.

2. Работа переменной силы

Если сила

постоянна и еѐ направление совпадает с

направлением перемещения, то работа равна A=Fs.

Пусть сила сохраняет постоянное направление, но

изменяется по величине: F=f(s).

...2 ...

Sn=N

S0=M S1

S2 ... Sk

Sk+1 ...

Рис. 9.

Разобьѐм произвольным образом путь s=MN на n частей точками s0, s1, s2,…sk, sk+1,…sn-1, sn. На каждом из частичных промежутков возьмѐм точку k (рис. 9):

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога