Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример.

Вычислить

i 10 . Запишем число

z=1+i

тригонометрическом виде. Здесь

= 2 ,

=1;

;

z =

(рис. 4).

cos

i sin

i 10

cos 10

i sin 10

25 cos

i sin

32 cos

i sin

д) Извлечение корня.

Корнем n-ой степени из комплексного числа z

называется такое число w (w= n

), что

wn=z.

Пусть числа z и w представлены в тригонометрической

форме:

r cos

i sin

и w

cos

i sin .

Найдѐм ρ и . Так как

n cosn

i sin n

r cos

i sin

r , n

0, 1,... .

ρ= n

Поэтому:

арифметическое

значение

корня

из

положительного числа r, а

(k= 0,

2,... ). Т.о.

2 k

n z

n r

cos

i sin

или

2 k

n z

n re

0,1,2,..., n

Значение к, дающие существенно различные значения корня n-ой степени из z соответствуют только n значениям k (0,1,2,…n-1). Остальным целым k соответствуют значения k,

отличающиеся от одного из указанных значений на величину, кратную 2π.

Проверить, например, что wn=w0 !

Таким образом, комплексное число z 0 имеет ровно n корней степени n, получаемых из этих формул. Из формул вытекает, что все значения корня лежат на окружности

радиуса ρ= nr и делят окружность на n равных частей.

Пример

Вычислить

Запишем

число

тригонометрической форме:

;

cos

i sin

2 k

cos

i sin

0,1,2.

Рис.5.

1. k

0 W

cos

i sin

;

2. k

1 W

cos

i sin

;

3. k

2 W

cos

i sin

Пример

Вычислить

1 .

Запишем

число

показательной форме:

; 1

1ei

2 k

0,1,2,3

	у
w1	w0
	х
w2	w3

Рис. 6.

			ei												2				2		;
1. k	0; W				4		cos		i sin						2		i		2
1. k	0; W				4		cos		i sin								i
	0					4				4				2				2
						4				4				2				2
2. k 1; W ei				3
				3		2				2	;

					4				i
					4				i
	1					2				2
						2				2
			ei		5
					5		2			2		;

3. k 2; W		2			4				i
3. k 2; W					4				i
						2				2
						2				2
			ei	7
				7			cos	7		i sin			7			2				2		.

4. k	3; W				4														i
4. k	3; W				4														i
	3					4				4						2				2
						4				4						2				2

2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Первообразная. Неопределѐнный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления: по заданной функции ƒ(х) найти еѐ производную ƒ/(x) или дифференциал ƒ/(x)dx. Теперь будем решать обратную задачу: по заданной производной или дифференциалу найти саму функцию ƒ(х).

С точки зрения механики это значит, что по известной скорости движения найти закон движения.

Определение 1: функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F/(x)=ƒ(х) или dF(x)=ƒ(x)dx

x (a, b)

Простейшие примеры:

1. f

; F x

так как

;

2. f

cosx; F x

sin x,

так как

sinx

cosx

Если для ƒ(х) существует первообразная F(x), то существует и бесчисленное множество первообразных. Например, для ƒ(х) = х2 первообразными будут функции:

1	x	3	;	1	x	3	1	;	1	x	3	20	и т.д.
3				3			2		3

Теорема 1: Если F(x) есть первообразная для функции ƒ(х) на (a, b), то функция F(х) + C – так же первообразная, где C - любое число.

Доказательство: так как F x

f x , то

F x c F xf x .

Даѐт ли формула F(x) + c все первообразные для ƒ(х) или могут быть какие-то другие, не содержащиеся в этой формуле?

x ( a,b )

Теорема 2: Если две функции F(x) и Ф(х) являются первообразными для ƒ(х) на (a,b), то их разность постоянна на этом интервале: Ф(х) – F(x) = C

Доказательство: По условию Ф(х) = ƒ(x) и F/(x) = ƒ(х) x (a, b) , составим вспомогательную функцию φ(х) = Ф(х) –

F(x).

Очевидно:
x	Ф x F x	Ф x F x f x f x 0
x	a,b .
Отсюда следует, что
x c, т.е. Ф x F x c			на (a, b) .

Из данных теорем следует, что если F(x) есть первообразная для ƒ(х) на (a, b), то любая другая

первообразная Ф(х) для ƒ(х) на (a, b) имеет вид
Ф x F x c .	(1)

Таким образом, если производные двух функций тождественно равны, то сами функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.

Определение 2: Множество всех возможных первообразных функции ƒ(х) на интервале (a, b) называется неопределѐнным интегралом функции ƒ(х) и обозначается символом

f (

Знак называется интегралом,

ƒ(х) – подынтегральная функция, ƒ(х)dx – подынтегральное выражение.

Таким образом, если F(x) – одна из первообразных для ƒ(х), то; по определению:

x)dx

y y=f(x,y)

0	b
а

Рис. 7.

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога