Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

f x dx F x c

Операцию нахождения неопределѐнного интеграла (первообразная) называют интегрированием функции ƒ(х). В приложениях интегрировать приходится чаще, чем дифференцировать.

Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой.

Теорема: Если функция ƒ(х) непрерывна на (a, b) то для неѐ существует первообразная на (a, b), т.е. она интегрируема.

2.2. Основные свойства неопределѐнного интеграла

Эти свойства вытекают непосредственно из определения. 1. Производная от неопределѐнного интеграла

равна подынтегральной функции (применяется для проверки):

f

x dx

f x

так как,

 

f

x dx

F x

c F x

f x

2. Дифференциал от неопределѐнного интеграла равен подынтегральному выражению:

d f x dx f x dx так как,

d f x dx d F x c dF x F x dx f x dx

3.dF(x)=F(x). Действительно:

dF(x)= F/(x)dx=F(x)+C .

16

Tаким образом, символы ƒ и d, следующие за друг за другом в любой последовательности, взаимно уничтожаются (с точностью до С).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределѐнного интеграла:

 

Af x dx

A

f x dx .

 

 

 

 

 

 

 

Действительно:

 

 

 

 

 

Af x dx

Af

x и

 

A f x dx

A f x dx

Af x .

5. Неопределѐнный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределѐнных интегралов от слагаемых:

f x g x dx

f x dx

g x dx

(верно для любого конечного числа слагаемых) f x g x dx f x g xи

f x dx g x dx

f x dx

g x dx

f x g x

2.3. Таблица неопределѐнных интегралов

Так как интегрирование есть операция обратная дифференцированию, то всякую формулу для производной конкретных функций можно обратить:

F x f x

f x dx F x c

17

Поэтому таблицу основных интегралов получаем из таблицы производных, записав, еѐ справа налево:

1.

xadx

 

xa

1

 

c

a

 

 

1

 

 

 

a

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

dx

ln

 

x

 

 

 

 

c

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

a xdx

 

 

c

a

0; a

1

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

exdx ex

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

sin xdx

 

 

 

 

 

 

cos x

c

 

 

 

 

 

 

6.

cos xdx

 

 

 

sin x

c

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

dx

 

 

tgx

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

dx

 

 

 

 

ctgx

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

arcsin x

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccosx

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

x

 

 

 

c

10.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

arccos

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

11.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

arctgx

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctgx

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

arctg

x

 

 

c

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

a2

x2

1

 

arcctg

x

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

 

 

 

 

 

ln

x

x2

 

a2

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

1

a

x

 

 

 

 

 

14.

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

a2

x2

 

2a

a

x

 

 

 

Все эти формулы проверяются дифференцированием правой части.

1) Проверим формулу 3, т.е. докажем, что (ln|x|)′=

1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x > 0, тогда | x |

 

 

x и

 

 

(ln | x |)

 

(lnx)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)x<0, тогда | x |

-x и

(ln | x |)

 

ln x

 

 

1

 

 

x

1

,т.е.

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln | x |

1

. Вообще:

ln | u |

1

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Проверим формулу 10:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

1

 

 

 

x 2 a

a 2

x 2 a

 

 

 

a 2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Проверим формулу 12:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

arctg

x

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

a

1

 

 

x 2 a x 2

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

Проверим формулу 13:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

x

 

 

 

 

x2

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

a2

x2

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

a2

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x2

 

a2

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

 

x2

a2

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

Проверим формулу 14:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

a x

 

ln

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

a x

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a a x a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

a

 

x

 

a

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

a2

 

x2

 

 

 

 

 

 

a2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры: Вычислить неопределенные интегралы.

 

x4

 

2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

1

 

 

 

 

x2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

2 x 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x2dx 2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2dx

 

 

x 2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dx

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

1

arcsin2x

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

4x

2

 

 

 

 

 

 

1

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

1 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегралы, содержащиеся в таблице, называются табличными и их надо твѐрдо запомнить, т.к. вычисление интеграла сводится к последовательным операциям,

20

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога