Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Из области определения функции следует, что

	cos2	0		2 k	2		2 k .
	cos2	0		2 k	2		2 k .
				2		2
Кривая определена при
			и			.
4		4	и	4	4	.
4		4		4	4

Построенная кривая носит название лемнискаты Бернулли. Ее вид представлен на рисунке 40.

3. Площадь в полярных координатах.

Пусть линия задана уравнением

f ( ) . Найдѐм

площадь криволинейного сектора, ограниченного данной линией и двумя лучами: и , выходящими из полюса.

Возьмѐм произвольное значение и увеличим угол на бесконечно малую величину d . Тогда к площади добавится бесконечно малый криволинейный

сектор dS

(рис

.41):

=f( )

Рис. 41.

2 d

- дифференциал площади в

полярных координатах.

101

			S	1	2d .		(4)

				2
				2
Пример1. Найти площадь, ограниченную лемнискатой:

a	cos2 .
Для			нахождения площади			фигуры,	ограниченной
линией	=	( ) и двумя лучами				= а,	= b ,(a<b)
используется формула					(4). Фигура симметричная, достаточно
вычислить площадь четверти.

			4		4		2					2
1		1	4	1	4	a			4		a
			2d		a2 cos2 d								S a2 . .
	S							sin 2

4		2		2		4			0	4
4		2		2		4				4
			0		0

Пример 2. Найти площадь, ограниченную линией :

=а sin 6 (а>0) (шестилепестковая роза).

Внашем случае достаточно вычислить площадь одного

лепестка	(0			/6 ) и умножить ее на 6. Поэтому
							/ 6
S		6	a	2 sin2 6 d		3	a2 (1 cos12 )d =
S	2		a	2 sin2 6 d	2		a2 (1 cos12 )d =
	2				2
							0
= 3/2 a2				( -sin12	/12) =		a2 /4.

102

4.4. Дифференциал длины дуги плоской кривой. Вычисление длин дуг

Пусть дана функция f(x) имеющая непрерывную производную на отрезке a, b . Геометрически это означает,

что на кривой АВ нет ни угловых точек, ни точек возврата. Такие линии называются гладкими.

N B


	0	a	x		x+ x b	x


				Рис. 42.
Будем отсчитывать длину дуги от точки А:							L AM .
При этом длина			дуги	есть функция		абсциссы	точки М:

L L(x) . Найдѐм дифференциал этой функции.

Оказывается, для этого нет необходимости знать аналитическое выражение для L(x). Для этого достаточно

знать уравнение кривой АВ: y

f (x) . Рассмотрим точку N с

абсциссой

и обозначим

приращение

длины

дуги

L AN

MN из

MNP :

y2 .

Разделим на

x2 :

y 2

L 2

y 2

(5)

x 2

103

Если x 0 , то L и MN - бесконечно малые величины. Можно доказать, что длина бесконечно малой гладкой дуги и стягивающей еѐ хорды являются эквивалентными бесконечно малыми величинами:

lim

0 MN

Перейдѐм в (5) к пределу при x

0 :

L 2

lim

x 0

y 2

dL 2

(6)

lim 1

или

2 .

Умножив обе части (5) на

x2 , получим

dL2

dx2

dy2 ,

(7)

т.е. dL

dx2

dy2

или

(8)

2 dx .

(9)

Из

формулы (7)

следует,

что

геометрически dL

длина соответствующего отрезка касательной к кривой в точке М. Пусть кривая АВ задана параметрически:

x x(t)	Тогда	dx	x (t)dt	. Подставим в (8):
y y(t)		dy	y (t)dt

	dL		x (t) 2	y (t) 2 dt .	(I0)

Это дифференциал длины дуги параметрически заданной кривой.

Если гладкая кривая задана в декартовых координатах: y=f(x), то из (9):

104

	b
L	1 f (x) 2 dx	(11)

Если кривая задана параметрически, то из (I0):

	T
L	x (t) 2	y (t) 2 dt	(12)

Пример. Найти длину дуги астроиды:

x	a cos3 t		0 t 2
y	a sin3	t

а ( /2)

	(0)
-а	а x

-а

Рис. 43.

В силу симметрии фигуры, вычислим длину дуги,

расположенную в первой четверти т.е. 14 L .

Найдем производные:

x (t)

3a cos2 t sint, y (t) 3a sin2 t cost

105

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога