Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Оказывается, что если коэффициенты действительны, то и число x k = α - iβ тоже будет корнем той же кратности.

Т.е. в этом случае комплексные корни многочлена являются комплексно – сопряжѐнными.

Рассмотрим множители:

Следовательно, объединяя скобки, соответствующие комплексно - сопряженными корнями в выражении (12), многочлен степени n с действительными коэффициентами можно разложить только на действительные множители – линейные и квадратичные:

где, все трѐхчлены не имеют действительных корней.

Если многочлен не имеет комплексных корней, то квадратичные множители будут отсутствовать.

2.9. Дробно-рациональные функции .Простейшие дробно-рациональные функции и их интегрирование

Пусть имеется дробно -рациональная функция R(x):

неправильная. Неправильную дробно-рациональную функцию путѐм деления числителя на знаменатель всегда можно представить, в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

31

x5

Пример: Вычислить интеграл dx. x2 1

Подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую часть:

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби всегда может быть сведено к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.

Оказывается, как увидим позже, всякую правильную дробно – рациональную функцию можно представить в виде суммы простейших дробно-рациональных функций четырѐх типов.

32

где A, B, р, q – действительные числа, а трѐхчлен x2 + px

Рассмотрим отдельно второй интеграл. Выделим в знаменателе полный квадрат

33

IV. Можно доказать, что интеграл от дроби этого типа выражается через сумму дробно – рациональных функций и арктангенс.

34

Заключение: Интегралы от простейших дробей есть функции элементарные (составленные из логарифмов, арктангенсов и рациональных функций).

2.10. Разложение правильной дробно – рациональной функции на сумму простейших дробей. Интегрирование

правильных рациональных дробей.

Пусть имеется правильная дробно-рациональная функция:

(m>n) и знаменатель еѐ разложен на действительные множители:

Тогда дробь (13) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:

и т.д – некоторые коэффициенты.

35