Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

результатом которых являются приведения заданного интеграла к табличному (если это возможно).

2.4. Интегрирование с помощью замены переменной

Одним из самых сильных методов интегрирование является метод замены переменной.

Пусть надо вычислить интеграл

 

F(x)dx.

(2)

Часто его можно упростить, введя вместо х новую

 

переменную t, положив

 

x = φ(t) и dx = φ′(t)dt .

(3)

Для преобразования неопределѐнного интеграла (2) к новой переменной t по формуле (3) достаточно преобразовать к новой переменной его подынтегральное выражение:

f x dx

f t

t dt

(4)

В формуле (4) предполагается, что ƒ(х) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции φ(t) и φ′(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Это равенство надо понимать так: после интегрирования левой части по х и подстановки х = φ(t) мы должны получить тождество.

Для доказательства формулы (4) вычислим дифференциал от обеих частей:

d

f

x d x

 

x

t

f x d x

 

x

t

f t

t dt и

 

 

 

 

 

 

d

f

t

t dt

f t

t dt .

 

 

21

Раз дифференциалы двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются на постоянное слагаемое С. В этом смысле и надо понимать (4).

Замечание 1: Часто вместо подстановки (4) употребляют обратную:

 

x t ;

x dx

dt .

 

(5)

 

Замечание 2: Так как

 

 

 

 

f

t

t dt

f

t d t ,

то,

если

f (x)dx

F x

c ,

 

из

(4) следует:

f

t

d t

F t

c

Таким образом, вид неопределѐнного интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования. Этот факт используется при интегрировании способом подведением под знак дифференциала.

Примеры:

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

1

 

1.

x dx

 

 

c

 

 

sin x

d sin x

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

du

 

 

 

 

 

c u

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

sin xdx

 

cos x

c

 

 

sin ex dex

 

 

 

 

cos ex

 

c .

3. 2xe x2 dx

 

 

e x2 d x2

e x2

 

 

c

u

x2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x 2 d sin x

 

 

 

4.

 

sin x cos xdx

 

c u

 

cos x .

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

22

5.

 

tgxdx

sin xdx

 

 

d cosx

ln

 

cos x

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

cosx

Вообще:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

x

 

df

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

ln

f x

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

x

f

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если в числе стоит производная знаменателя, то интеграл от дроби равен логарифму от модуля знаменателя.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

5

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

x x

 

 

5dx

x

 

5

 

 

 

 

5 t2tdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

2tdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t4

10t2 dt

 

t

5

 

 

 

t

3

 

 

 

 

2

 

 

 

5

10

 

3

 

 

 

2

 

 

10

 

 

c

x 5

 

 

x 5

 

 

c

 

 

 

 

2

2

 

5

 

 

 

5

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

x2

1

 

t

 

1

 

 

dt

 

 

1

 

 

 

 

1

ln x2

 

 

7.

 

 

 

 

 

ln

t

 

c

1

c

 

x2

1

 

2dx

dt

2

 

 

t

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные. Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем:

d uv vdu udv

Интегрируем обе части равенства по х:

d uv

vdu udv uv

vdu

udv

udv uv

vdu .

 

(7)

 

 

 

 

 

23

Эта формула называется формулой интегрирования по

частям. Формула сводит

вычисление интеграла

udv к

вычислению интеграла

vdu, который может

оказаться

проще исходного. При этом за u(x) обычно выбирают множитель подынтегрального выражения, который при дифференцировании упрощается, а за dv – множитель, который нетрудно проинтегрировать.

Пример 1: Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

. xexdx

 

 

u

x

du

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dv

exdx v

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xex

exdx xex

ex

c.

 

 

 

 

 

Пример 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos xdx

u

x

 

du

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

cos xdx

 

v sin x

 

 

 

x sin x

 

sin xdx

x sin x

 

cos x

 

c.

 

 

Пример 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

ln x, du

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x6

 

x6

 

x5ln xdx

x

 

ln x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x6

 

6

 

6

 

 

 

u

 

 

dv

x5dx, v

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x6

 

x6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

Интегрирование по частям приводит к успеху при интегрировании выражений вида:

eax P x dx ,

P

x sin xdx;

P

 

x cos xdx;

P

x ln xdx.

 

n

 

n

 

 

n

 

 

n

 

Пример 4:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. (x2

2x 3)exdx

u x2

 

2x 3 du (2x 2)dx

 

 

 

 

 

dv

 

exdx

 

v

ex

 

(x2

2x 3)ex

(2x 2)exdx

 

 

 

Применим ко второму интегралу еще раз формулу

интегрирования по частям

 

 

 

 

 

 

.

u

2x

2

du

2dx

(x2 2x 3)ex

(2x 2)ex

dv

exdx

v

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

2 exdx (x2

2x 3)ex

(2x 2)ex 2ex

c.

Пример 5*:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex sin xdx

 

u ex , du

exdx

ex cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

sin xdx, v

 

cos x

 

 

 

 

ex cos xdx

u

ex , du

 

exdx

ex cos x

ex sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

cos x

 

 

 

 

 

 

ex sin xdx.

Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J, получим равенство

J e x sin x cos x J .

Перенося J в левую часть равенства, имеем

25

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога