Материал: Изучение электрических цепей переменного тока (90
= ℓ/v = (ℓ/c) εμ . |
(1.5) |
Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет выполнено, если
Т, или |
1, |
(1.6) |
где Т – период изменений тока,
= 1/Т – частота колебаний.
Вметаллах v c, и при размерах контура ℓ =3 м, время 10-8 с. Поэтому для этого контура токи можно считать квазистационарными вплоть до частот 106 Гц
(это соответствует периоду Т = 10-6 с).
В зависимости от свойств проводников одно из условий квазистационарно-
сти обычно гораздо сильнее другого, и поэтому лишь одно из них является опре-
деляющим. При изучении этой темы токи будем считать квазистационарными.
Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В ча-
стности, закон Ома, справедливый в цепях постоянного тока, использовать для мгновенных значений квазистационарных токов.
2 Вынужденные электрические колебания (переменный электри-
ческий ток)
Рассмотрим последовательно процессы, происходящие в цепи переменного тока, содержащей резистор, конденсатор1 и катушку индуктивности2, считая ток в цепи квазистационарным. Пусть, сила тока в цепи изменяется по синусоидально-
му закону
1Конденсатор состоит из двух или более электродов (обкладок), разделённых диэлектриком. Толщина диэлектрика мала по сравнению с размерами электродов. Заряд q на обкладках конденсатора пропорционален напряжению U на конденсаторе: q = CU, коэффициент пропорциональности С – электроёмкость конденсатора.
2Индуктивность (коэффициент самоиндукции L): Электрический ток I, протекающий по контуру, создаёт вокруг него магнитное поле. Магнитный поток Ф, пронизывающий площадь, ограниченную контуром, пропорционален
силе тока I: Ф = LI, L индуктивность. ЭДС самоиндукции Е прямо пропорционален скорости изменения силы то-
dI
ка в контуре (катушке): Е = - L , L индуктивность (коэффициент самоиндукции). dt
6
I(t) = I0sin t. |
(2.1) |
1. Сопротивление R в цепи переменного тока (рисунок 1). Применяя к рас-
сматриваемому участку цепи закон Ома, имеем:
UR = IR = I0Rsin t = U0sin t, |
(2.2) |
где U0 = I0R – амплитудное значение напряжения.
Для наглядного изображения соотношений между током и напряжением восполь-
зуемся методом векторных диаграмм. Так как разность фаз между током I и на-
пряжением UR на резисторе равна нулю, то вектор UR направим вдоль оси тока
(см. рисунок 1).
2. Ёмкость С в цепи переменного тока (рисунок 2). Напряжение UC на кон-
денсаторе равно UC = q/C, где
q = I(t)dt I0 sinωtdt |
I |
0 |
|
I |
0 |
|
|
π |
|
|
cosωt |
|
sin |
ωt |
|
. |
|||
|
|
ω |
2 |
||||||
|
ω |
|
|
|
|||||
Следовательно,
|
q |
|
I |
0 |
|
|
π |
|
|
π |
|
|||
UC = |
|
= |
|
sin |
ωt |
|
|
= U0sin |
ωt |
|
|
, |
||
C |
ωC |
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где
1 U0 = I0 ωC
(2.3)
(2.4)
– амплитудное значение напряжения. Сравнивая выражения (2.1) и (2.3) видим,
что колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе от колебаний тока на
/2. Это показано на векторной диаграмме (см. рисунок 2).
7
I(t) |
R |
I(t) |
I(t) |
L |
C |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UL |
|
|
/2 |
I0 |
/2 |
UR |
I0 |
UC |
|
I0 |
|
|
|
|
|
Рисунок 1 |
Рисунок 2 |
Рисунок 3 |
||
Сравнивая выражение (2.4) с законом Ома для участка цепи, видим, что ве-
личина
ХС = |
1 |
(2.5) |
|
ωC |
|||
|
|
играет роль сопротивления участка цепи, и ее называют (реактивным) ёмкостным сопротивлением. Как видно из (2.5) ёмкостное сопротивление ХС зависит от час-
тоты . В частности, для постоянного тока ( = 0) ХС , а для очень больших частот ( ) ХС 0.
3. Индуктивность L в цепи переменного тока (рисунок 3). Если бы сопротив-
ление катушки индуктивности было равно R, то закон Ома для неоднородного участка цепи записывается так:
UL = IR E.
На схеме R = 0, а ЭДС самоиндукции равна
E = LI .
Тогда
8
|
|
π |
|
|
||
UL = LI = L(I0sin t) = I0 Lcos t = U0sin |
ωt |
|
|
, |
(2.6) |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
где
U0 = I0 L |
(2.7) |
– амплитудное значение напряжения. Сравнивая выражения (2.1) и (2.6) видим,
что колебания напряжения на катушке индуктивности опережают по фазе колеба-
ния тока на /2. Это показано на векторной диаграмме (см. рисунок 3).
Сравнивая выражение (2.7) с законом Ома для участка цепи, видим, что ве-
личина
ХL = L |
(2.8) |
играет роль сопротивления участка цепи, и ее называют (реактивным) индуктив-
ным сопротивлением. Как видно из (2.8) индуктивное сопротивление ХL прямо пропорционально частоте . Поэтому для постоянного тока ( = 0) ХL = 0, а для очень больших частот ( ) ХL .
C |
|
UL |
|
|
|
Up |
U0 |
I(t) |
|
L |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
UR |
I0 |
|
|
UC |
|
|
|
Рисунок 4 |
|
4. Закон Ома для цепи переменного тока. Рассмотрим цепь переменного тока,
состоящую из последовательно соединенных сопротивления R, ёмкости С и ка-
тушки индуктивности L (см. рисунок 4). В цепи протекает переменный ток, изме-
няющийся со временем по закону I(t) = I0sin t, и вызывающий на R, L, C соответ-
ствующие падения напряжения UR, UL, UC. Для получения амплитуды результи-
рующего напряжения на входе цепи воспользуемся векторной диаграммой на-
9
пряжений, используя результаты, изложенные ранее. На векторной диаграмме
(см. рисунок 4) отложены амплитуды падений напряжений на резисторе UR, ка-
тушке индуктивности UL, ёмкости UC.
Складывая UL и UC, получим одно гармоническое колебание, изображаемое вектором UP, имеющим модуль
U |
|
= U |
|
U |
|
= I |
|
ωL |
1 |
= I (X |
|
X ) = I X, |
(2.9) |
|
p |
L |
C |
|
|
|
L |
||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
C 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
где Х = (XL XC) – называют реактивным сопротивлением цепи.
XL и XC называют реактивными сопротивлениями потому, что в отличие от ак-
тивного сопротивления R, на XL и XC не выделяется джоулево тепло, которое, как известно, равно Q = I2Rt.
Полное напряжение U0 в цепи равно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
2 |
||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
U0 = UR |
Up |
|
|
= I0R |
|
I0 |
|
ХL Х |
С |
|
= |
I0R |
I |
0 |
L |
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= I0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= I0 R |
|
|
2 L |
|
|
= I0Z. |
|
|
(2.10) |
||||||||||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 C |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
R2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где Z = |
L |
|
|
|
|
– называют полным сопротивлением цепи пере- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
менного тока или импедансом,
Up – реактивная составляющая напряжения,
UR – активная составляющая напряжения,
= 2 – циклическая частота колебаний,
– (линейная) частота колебаний.
Складывая Up и UR, получаем гармонические колебания напряжения в цепи:
10