Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 67-71

64

новесия. Устойчивое равновесие имеет место в точках, соответствующих минимуму потенциальной энергии.

ПРИМЕР

Дана зависимость потенциальной энергии материальной точки в некотором поле от декартовых координат: Wп = axyz, где a – постоянная. Найти силу, с которой поле действует на материальную точку, как функцию координат.

Из (6.3) получим

	W		i	W	j	W		a yzi xz j xyk .
F gradWп		п		п		п	k

		x		y		z
Видно, что F 0	в любой точке на всех трёх осях декартовой системы координат –

там имеет место равновесие (устойчивое при a > 0 и неустойчивое при a < 0).

1.8.6. Потенциальная энергия механической системы

Если механическая система находится во внешних потенциальных полях, а также взаимодействие тел, входящих в эту систему, описывается потенциальными силами, то можно характеризовать состояние системы потенциальной энергией.

Потенциальная энергия механической системы равна работе внешних и внут-

ренних потенциальных сил при переходе системы из данной конфигурации в конфигурацию, где потенциальная энергия системы принята равной нулю (конфигурация системы – это совокупность координат тел (материальных точек), входящих в эту систему):

Wп A Wп 0 AWп 0 .

ПРИМЕР

Потенциальная энергия системы двух гравитирующих тел

Рассмотрим систему из двух тел массами M и m, взаимодействующих гравитационно. Расстояние между центрами масс этих тел равно r (РИС. 6.10). Найти потенциальную энергию системы.

Единственная сила, которая здесь учитывается, гравитационная сила - внутренняя и ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ. Положим начало отсчёта потенциальной энергии в бесконечно удалённой точке: Wп(∞) = 0. Найдём работу гравитационной силы при удалении тела массой m (или тела массой M) в бесконечность. Она будет равна потенциальной энергии системы

			F r dr		GMm			GMm

W A							dr
						2
п	r				r			r
		r		r					r

здесь G – гравитационная постоянная.

		GMm
		r
		r

,

65

Лекция 7

1.8.7. Закон сохранения и изменения механической энергии

Рассмотрим механическую систему; тела, входящие в эту систему, претерпевают внешние и внутренние воздействия, описываемые потенциальными и непотенциальными силами, и конфигурация системы изменяется. Изменение кинетической энергии системы (см. РАЗДЕЛ 1.8.3) равно сумме работ внешних и внутренних сил:

Wк

A	A	A
e п	e нп	i п

Ai

нп

,

где Ae п – сумма работ внешних потенциальных сил, Ai нп – сумма работ внутренних непотенциальных сил и т. п. Перенесём работу потенциальных сил в левую часть этого равенства:

W A	A
e п	i п
к

Wп

В левой части равенства (7.1) стоит сумма альной энергии системы. Введём величину

W Wк

e нп	i нп	.	(7.1)
A	A

изменений кинетической и потенци-

Wп

– механическая энергия системы – сумма кинетической и потенциальной энергии. Соответственно левая часть уравнения (7.1) равна изменению механической энергии системы. Т. е.

W A	A
e нп	i нп

– закон изменения механической энергии системы: изменение механической энергии системы равно сумме работ внешних и внутренних непотенциальных сил.

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия системы не из-

меняется с течением времени, если сумма работ внешних и внутренних непотенциальных сил равна нулю, а все внешние потенциальные силы стационарны (т. е. не зависят явным образом от времени).

Консервативные силы – потенциальные силы и непотенциальные силы, работы которых равна нулю.

Диссипативные силы – непотенциальные силы, работы которых не равна нулю.

При наличии взаимодействий, описываемых диссипативными силами, происходит диссипация энергии – переход механической энергии в другие виды энергии.

Демонстрации: 1) Маятник Максвелла 2) «Мёртвая петля»

1.9. Удар

1.9.1. Абсолютно неупругий удар

Абсолютно неупругий удар – удар, после которого соударяющиеся тела движутся как единое целое.

При неупругом ударе импульс системы соударяющихся тел сохраняется, а механическая энергия – нет. Происходит диссипация энергии.

66

Рассмотрим абсолютно неупругое центральное соударение двух шаров. (Цен-

тральное соударение – соударение, перед которым шары движутся по прямой, соединяющей их центры.) Массы шаров равны m1 и m2, их скорости до соударения –

соответственно v1

и v2 (РИС. 7.1). Найдём скорость

u

шаров после удара.

До удара:	m1	m2
До удара:
После удара:		m1 + m2	x
		m1 + m2

		Рис. 7.1
Закон сохранения импульса:
		m1 v1 m2 v2 m1 m2 u .

Спроецируем это равенство на ось x (вдоль направления движения шаров):

m1v1x m2v2x m1 m2 ux .

Отсюда получим

ux	m v		m v		.
	1	1x	2	2x

		m m
		1	2

В этой формуле содержится информация о модуле и о направлении скоростей ша-

ров;

u

ux

.

Найдём долю η механической энергии, перешедшей во внутреннюю при ударе:

η	W	W	W	1	W	,
η	к	к1	к2	1	к2	,
	к	к1	к2		к2
	W	W			W
	к1		к1		к1
здесь Wк1 – кинетическая энергия системы до удара, Wк2 – после удара, Wк – из-
менение кинетической энергии при ударе;

				W			m v2			m v2
				W			1	1			2	2 ,
					к1		2				2
							2				2
	m m		u2	m m			m v			m v				2		m v	m v	2
Wк2	1	2		1		2		1 1x				2 2x				1 1x	2 2x	,
Wк2		2				2 m m					2					2 m1 m2		,
							1			2
						m v			m v				2
						m v			m v
			η 1				1 1x				2	2x				.
			η 1			1	2			1	1		2	2		.
					m m						2	m v			2
					m m				m v			m v

Если шары до соударения двигались в одну сторону, то v1x = v1, v2x = v2 и

	2	2			2				2		2	2		2	2	2m m v v					2		2
η	m v		m m v			m m v				m v			m v								m v
	1	1	1	2	2		1	2	1		2	2		1	1	2	1	2	1	2	2	2
										2			1
								1				1			2
							m m						2	m v		2
											m v

	m
	m
	1

m m		v		v		2
m m		v		v
1	2		1	1	2	2	2
2			1	1		2	2
m				2	m v			2
m			m v		m v

.

Если же шары двигались в разные стороны, то

	m m		v	v	2
η	1	2	1	2		.
η	m1 m2 m1v12 m2v22					.

При v2 = 0

67

η	m
η	2
	2
	m m
	1	2

.

1.9.2. Абсолютно упругий удар

Абсолютно неупругий удар – удар, при котором соударяющиеся тела испытывают упругую деформацию.

При абсолютно упругом ударе сохраняется и импульс, и механическая энергия системы соударяющихся тел.

Рассмотрим абсолютно упругое центральное соударение двух шаров. Массы шаров равны m1 и m2, их скорости до соударения – соответственно v1 и v2 (РИС. 7.2).

Найдём скорости u1	и u2	шаров после удара.
До удара:		m1	m2
До удара:
После удара:		m1	m2	x
		m1	m2

Рис. 7.2

Закон сохранения импульса:

m1 v1 m2 v2 m1u1

Закон сохранения механической энергии:

m v		2	m v		2		2
						m u
1	1		2	2		1	1

2			2			2

m2u2

			2
		m u
		2	2
		2	2
		2

.

(7.2)

(7.3)

Спроецируем векторное равенство (7.2) на ось x (вдоль направления движения

шаров), преобразуем уравнение (7.3) (подставим				2		2	и т. п.) и запишем систе-
шаров), преобразуем уравнение (7.3) (подставим				v1	v1x		и т. п.) и запишем систе-
му уравнений
m v	m v	m u	m u			,
1 1x	2 2x	1 1x		2	2x
	m v2	m u2	m u2 .
m v2	m v2	m u2	m u2 .
1 1x	2 2x	1 1x		2	2x

Решим эту систему самым быстрым способом:


m v				m u		m u		m v			,
	1	1x		1	1x	2	2x	2	2x
			2		2		2	m v		2	;
m v				m u		m u
	1	1x		1	1x	2	2x	2	2x

затем разделим нижнее уравнение на верхнее и исключим u2x:

v		u	v		u
	2	2		2	2
1x		1x	2x		2x
1x		1x	2x		2x
v		u	v		u
1x		1x	2x		2x

v1x u1x v2x u2x

u2x

v1x

v2x

u1x

,

	m1v1x m1u1x m2v1x m2
	m v	m v	2m v
	1 1x	2 1x	2		2x
u	m1 m2 v1x 2m2v2x			,	u

1x	m1	m2			2x

v2x m2u1x m2v2x ,
m1 m2 u1x ,
	m2 m1 v2x 2m1v1x	.	(7.4)

	m1 m2

68

Частные случаи

1. Упругое соударение шаров одинаковой массы

При m1 = m2 = m из (7.4) получим

u1x v2x

, u2x v1x .

Соударяющиеся тела обмениваются скоростями.

2. Удар шара об упругую плиту

Масса плиты намного больше массы шара (m2 >> m1); в лабораторной системе отсчёта плита покоится (v2 = 0). Из

(7.4) получим
0	m
	m		1		v
		1	1		v
		m			1x
u1x		m			v1x
		2				(РИС. 7.3).
		m				(РИС. 7.3).
		m		1
			1	1
			1
		m
			2
				0		Рис. 7.3

Демонстрация: Удары шаров

1.10. Повторение: Поступательное и вращательное движение

Цель данного параграфа – обобщение материала, касающегося механики точки (поступательного движения твёрдого тела) и вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси, который отрабатывается на практических занятиях в I семестре.

1.10.1.Сравнение физических величин и законов поступательного и

вращательного движения

Величина / закон

Перемещение

Скорость

Ускорение

Таблица 7.1

Поступательное движение		Вращательное движение
Перемещение r		Угловое перемещение		φ
Скорость		Угловая скорость
v	dr	ω	dφ
	dt		dt

Ускорение		Угловое ускорение
a dv	d2r	ε dω	d2φ
dt	dt2	dt	dt2

v ωr

a εr ω ωr

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: