Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 78-82

74

		i		i
n	N	N	N		ni	,
n	V	V	V		ni	,
	V	V	V

где Ni – число молекул i-ой компоненты. Теперь просуммируем выражения (8.3) по всем компонентам смеси:

pi nikT kT ni nkT ,

что, согласно (8.1), равно давлению p смеси.

Хотя идеальный газ – это модель, газовые законы хорошо работают в условиях, близких к нормальным.

Нормальные условия: p0 = 1,01·105 Па; T0 = 273 К.

2.2.3. Вывод основного уравнения МКТ

Рассмотрим равновесный газ, состоящий из одинаковых молекул массой m0. Все молекулы имеют разные по модулю и направлению скорости. Давление газа обусловлено ударами молекул о стенку сосуда.

1. Удар одной молекулы

m0

x

Рис. 8.4

Пусть молекула массой m0 движется перпендикулярно стенке

со скоростью

v

и испытывает абсолютно упругий удар

(РИС. 8.4). После удара молекула отскакивает со скоростью v

(см. «УДАР ШАРА ОБ УПРУГУЮ ПЛИТУ»). По II закону Ньютона из-

менение импульса молекулы при ударе

m0 v f	τ ,
*

где f * – сила, с которой стенка действует на молекулу, τ –

длительность удара. Спроецируем это равенство на ось x:

m v m v f
0	0

*τ

.

По III закону Ньютона сила, с которой молекула действует на стенку,

f f	*	f
	*

f 2mτ0v .

2. Число ударов о стенку за время t >> τ

f

*

,

m0

S

vi t

x

Рис. 8.5

Рассмотрим i-ю скоростную группу молекул, т. е. молекулы со скоростями v = (vi, vi ± v). Выделим прямой цилиндр, одно из оснований которого площадью S прилегает к стенке сосуда, а высота равна vi t (РИС. 8.5). Число молекул внутри этого цилиндра, которые долетят до стенки за время t,

Ni n6i vi t S ,

где ni – концентрация i-ой скоростной группы; коэффициент 1/6 обусловлен тем, что из всех молекул 1/3 движется вдоль оси x, из них ½ движется в направлении стенки.

75

3. Импульс, полученный стенкой от молекул i-ой скоростной группы за время t

Средний импульс, переданный стенке молекулами i-ой скоростной группы, равен сумме импульсов ударов отдельных молекул этой группы (все выражения далее записываем в проекции на ось x):

		fiτ 2m0vi	Ni 2m0vi	n		t S 2m0vi	m	2
Fi	t			i	vi		0		t S ,
				6			3	ni vi

3

здесь Fi – суммарная сила, с которой молекулы i-ой скоростной группы действуют на стенку. Давление молекул i-ой скоростной группы

pi

F

m n v

2

.

i

0

i

S

3

4. Учёт давления всех скоростных групп молекул

По закону Дальтона

p pi

m

ni vi

m

ni vi

n

;

0

2

3

n

n ni

;

n v

2

n v

2

n v

2

n v

2

v

1

2

i

;

n

1

2

i

p

m n

2

0

v

.

3

v

2

vкв – средняя квадратичная скорость молекулы идеального газа.

Преобразуем результат (8.4):

p

2

m v

2

n

0

3

2

– основное уравнение МКТ идеального газа;

(8.4)

p2nε

3

(8.5)

– основное уравнение МКТ идеального газа для энергии. Здесь ε – средняя ки-

нетическая энергия молекулы идеального газа (поступательного движения).

2.2.4. Молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры

Из двух форм основного уравнения МКТ (8.2) и (8.5) следует

p	2	n ε
p	3	n ε	kT	2	ε
	3		kT	3	ε
p nkT				3

Абсолютная температура пропорциональна ступательного движения, приходящейся на 1

ε	3	kT .
	2

средней кинетической энергии помолекулу.

Энергетическая температура

76

θ kT

2ε

3

2 m0v2

3 2

.

Среднеквадратичная скорость молекулы идеального газа

v	2 ε	2 3kT	3kT	3RT	;

кв	m0	2m0	m0	μ

v		3RT

кв		μ

.

Численная оценка

При t = 27°C (T = 300 К) для кислорода (µ = 3,2·10–2 кг/моль):

θ = 4,2·10–21 Дж;

	2				м
v	3 8,31 3 10	2	3	2,6 483	м
v	2	10	3	2,6 483
кв	2				с
	3,2 10				с

.

77

Лекция 9

2.3. I начало термодинамики

2.3.1. Внутренняя энергия

Внутренняя энергия термодинамической системы – это:

1.Кинетическая энергия поступательного и вращательного движения молекул (теплового движения)

2.Потенциальная энергия взаимодействия молекул

3.Потенциальная энергия взаимодействия атомов в молекуле

4.Энергия атомных оболочек

5.Внутриядерная энергия

2.3.2. Внутренняя энергия идеального газа

Внутренняя энергия идеального газа – кинетическая энергия поступательного и вращательного движения молекул.

Для одноатомного газа с учётом того, что средняя кинетическая энергия поступа-

тельного движения молекулы	ε	3	kT , получим выражение для внутренней
		2

энергии

U N	ε	3	NkT	3	νN	kT	3	νRT	3 m	RT

		2		2	A		2		2 μ

.

Число степеней свободы i механической системы – наименьшее число независимых координат, с помощью которых определяется положение системы в пространстве.

Число степеней свободы молекул указано в ТАБЛИЦЕ 9.1.

Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: в любой термодинамической системы на одну степень свободы молекулы приходится

энергия, в среднем равная

kT 2

.

Доказательство

Для поступательного движения εпоступ 32kT и

	m	v	2
	m	v
ε	0
ε
поступ		2
		2

m0 v2 v2

2 x y

ε1

v	2
	2
	z

kT

2

m	v	2	m	v	2	m	v
		x			y
0			0			0
	2			2			2

, ч. т. д.

2 z

3ε1

;

Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движения всех молекул газа:

U N

ε

N

i

NkT

i

νN

kT

i

νRT

i

m

RT

2

A

2

2 μ

U 2i mμ RT .

,

						78
									Таблица 9.1
Одноатомная молекула				Двухатомная молекула				Многоатомная молекула
z					z	z		z	z
									y
									y
						x			x
O			y		O		y	O	y
x				x				x
i 3						i 5			i 6
3 степени свободы,				3 степени свободы,				3 степени свободы,
соответствующие				соответствующие				соответствующие
поступательному				поступательному				поступательному
движению					движению			движению
				+ 2 степени свободы,				+ 3 степени свободы,
				соответствующие				соответствующие
				вращательному				вращательному
					движению			движению
Внутренняя энергия идеального газа – функция							p
состояния термодинамической системы.							p
состояния термодинамической системы.
Изменение внутренней энергии при переходе си-								1
Изменение внутренней энергии при переходе си-
стемы из состояния 1 в состояние 2 (см. диаграм-
му РИС. 9.1)
U U2 U1	i	m	R T2	T1	i m				2
	i	m			i m	R T .
	2 μ				2 μ	R T .
	2 μ				2 μ		O		V
Изменение внутренней энергии термодинамиче-							O		V
Изменение внутренней энергии термодинамиче-								Рис. 9.1
ской системы не зависит от способа перехода си-								Рис. 9.1
стемы из одного состояния в другое, а определя-
ется только начальным и конечным состояниями системы.

2.3.3. Работа газа

dV

p

Рис. 9.2

Пусть газ находится под подвижным поршнем под давлением p

(РИС. 9.2). Поршень совершает малое перемещение dl , при этом объём газа изменяется на dV. Газ действует на поршень с силой

F , F = pS, где S – площадь поршня. Найдём работу газа δA при элементарном расширении:

δA Fdl Fdl pSdl pdV ,

δA pdV .

Работа газа

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: