Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 100-104

94

p

1	2	T	2
			2

	3						1	3
	3							3
0	V					0		S
	а						б
		Рис. 11.2
Найдём V3 из уравнений адиабатного и изотермического процессов:
	p V p V				,
		1 1		3 3
			γ	p V	γ
	p V		γ		γ	.
	p V					.
		2 2		3 3
Разделим нижнее уравнение на верхнее:
						1	γ

	p V		γ
V γ 1
	2	2
3	p	V

	1		1

	p		γ 1	V	γ 1

V		2		2

3		p			1
					γ 1
		1		V

				1

.

Выразим показатель адиабаты γ через число степеней свободы i молекулы:

	γ	i 2
	γ	i
		i

γ

1

i2 1 i

V	p
		2

3		p

		1

 

2	,			γ	i 2	i
					i 2	i
i			γ 1		i 2
i			γ 1		i 2
i		i 2
2 V			2	.
	2			.
	2
			i
	V		2
		1

i

2 2

;

Подставим это выражение в формулу (11.1):

i

i 2

2

i

2lnV2

S12

p1V1

ln p2

V2

p1V1

ln p2

i

T

p

V

T

2

p

2 V

1

2

1

Так как из уравнения Менделеева-Клапейрона

p1V1

νR ,

T

1

S

ν

C

ln

p

C ln

V

p V

C

ln

p

C ln

V

2

1

2

12

V

p

V

T

V

p

V

1

.

.

2.6.7. III начало термодинамики

III начало термодинамики (тепловой закон Нернста): при стремлении к нулю термодинамической температуры энтропия термодинамической системы стремится к нулю.

Другая формулировка: абсолютный нуль недостижим.

Из закона Нернста следует, что для любой термодинамической системы

95

C	dU

V
	dT
		T 0

0

.

2.7. Классические распределения частиц идеального газа

2.7.1. Функция распределения

Пусть имеется термодинамическая система из N частиц; ξ – величина, характеризующая частицу. Вероятность того, что величина ξ будет иметь значение ξi,

Pi

где Ni – количество частиц, для которых ξ

N	i	,


N

= ξi.

Условие нормировки:

Pi 1

(так как то, что величина ξ примет какое-нибудь значение, есть достоверное событие).

Среднее значение величины ξ:

ξ	Niξi	Pξi	i .
	N

Если величина ξ изменяется непрерывно, то вероятность того, что ξ = (ξ, ξ + dξ)

dP ξ f ξ dξ ,

где f(ξ) – функция распределения вероятности (плотность вероятности).

ПРИМЕР

Распределение Гаусса
Распределение Гаусса – это функция ви-
да				f(ξ)
f ξ Ae	α ξ ξ	2
	α ξ ξ		,
	0		,
	0
где ξ0 – постоянная, α – положительная
постоянная; коэффициент A находится
из условия нормировки (см. НИЖЕ).
График распределения Гаусса показан				0	ξ0	ξ
на РИС. 11.3.				0	ξ0	ξ
на РИС. 11.3.
По такому закону распределяются ре-					Рис. 11.3
зультаты серии большого числа слу-
чайных измерений32.

Демонстрация: Доска Гальтона

Свойства функции распределения33

1.Определённость и непрерывность во всей области определения ξ(a, b)

32Результаты серии небольшого числа случайных измерений (N 10) подчиняются распределе-

нию Стьюдента (см. ВВОДНУЮ ГЛАВУ ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА).

33В «живой» лекции эти свойства можно записать математическими значками.

96

2.Дифференцируемость во всей области определения

3.Интегрируемость во всей области определения

4.Условие нормировки (нормируемость):

b f ξ dξ

a

1

.

Зная функцию распределения, можно найти среднее значение любого параметра, зависящего от ξ.

Среднее значение ξ

			b	ξf ξ dξ			.
		ξ					.
		ξ
			a

Среднее значение квадрата ξ

			b			f ξ dξ		.
	ξ	2		ξ	2			.
		2			2

			a

Среднее значение функции φ(ξ)

	b	φ ξ f ξ dξ	.
φ			.
φ
	a

Наиболее вероятное значение ξ

df ξ	0	ξвер.
dξ	0

Дополнительное задание

Найти по РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ГАУССА (a → –∞, b → ∞): нормировочный множитель A,

ξ	2	, ξвер.

ξ

,

97

Лекция 12

2.7.2. Распределение молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла)

Молекулы идеального газа движутся хаотически, но в этом хаосе есть закономерности. Рассмотрим идеальный газ из N частиц.

		Теперь случайная величина ξ – это модуль
vz		скорости v молекул идеального газа.
	dv	Найдём функцию распределения f(v).
		Рассмотрим	подпространство фазового
		пространства	– пространство скоростей
	v	(vx, vy, vz). Плотность изобразительных то-
		чек в этом пространстве будет равна Nf(v).
		Количество точек в сферическом слое ра-
O	vy	диуса v толщиной dv (РИС. 12.1)

dN Nf v 4πv2dv .

vx

Рис. 12.1

плотность вероятности

Вероятность попадания изобразительных точек в этот слой

	dP	dN	2
	dP	N	f v 4πv dv ;
		N
F v dP	f v 4πv2
dv

Так как все направления равноправны,
f v φ	v	x
1		x

φ	v	φ	v
2	y	3	z

,

(12.1)

функции φ1, φ2, φ3 одинаковы: φ1 = φ2 = φ3 = φ.

(12.1):

ln f v lnφ v	x	lnφ v	y
	x		y

Продифференцируем это выражение по vx:

Прологарифмируем выражение

lnφ vz .

(12.2)

1

df v

v

1

dφ v

x

;

f v

dv

v

φ v

dv

x

vy

v

vx

vz

2v

v

2

vx

x

v

x

2

v

2

v

2

v

x

y

z

1

vx

1

f

φv

v

f v

fv

v

φ vx

φv

x

v f v

vxφ vx

Аналогично, продифференцировав (12.2) по vy, vz, получим

fv

φ

fv

v y

,

φvz

.

v f v

vyφ vy

v f v

vzφ vz

;

.

Получается, что

98

f	const . Положим	f	α . Тогда
v	const . Положим	v	α . Тогда
v f v		v f v

1	dφ vx	α .
vxφ vx	dvx

Решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных:

dφ v	x	αv dv
φ v		αv dv
φ v		x	x
		x	x
x

ln

φ v		αv	2	const
		αv	x


	x	2
		2

φ

			2
			αv
v		Ae	x
v	x	Ae	2
			2

.

Аналогично

αv2y

φ vy Ae 2

, φ

			2
			αv
v		Ae	z
v	z	Ae	2
			2

.

По формуле (12.1)

	α	2	2 2		αv	2
	α	2	2 2		αv
f v A e		vx	v y vz	A e		.
3	2			3	2
	2				2

Выразим коэффициент A из условия нормировки:

		αv	2
			x
φ vx dvx φ vy dvy φ vz dvz 1	A e
			dvx 1.
		2

(12.3)

Определённый интеграл в последнем выражении поддаётся вычислению в эле-

ментарных функциях; в результате получим	A	α	. Подставим этот коэффици-
ментарных функциях; в результате получим	A	2π	. Подставим этот коэффици-
		2π
ент в выражение для f(v) (12.3):

		3		2
				2
	α	2		αv
	α	2	e
f v			e	2
				2
	2π

Найдём α. С одной стороны,

.

m	v	2	1	3			kT
						v2x
0	2	x	3	2	kT
							m0

(ср. РАЗДЕЛ 2.3.2), здесь m0 – масса молекулы. С другой стороны,

		φ vx dvx .
2	2
vx	vx

Отсюда можно получить

	α	m
	α	0
		0
		kT

Итак,

.

		m		m v	2
				m v
φ v			e	0	x
				0	x
	x	0		2kT
		0		2kT
		2πkT
		2πkT

аналогичные выражения для φ(vy), φ(vz);

,

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: