Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		3		2
				2
	m	2		m v
f v	m	2	e	0
				0
	0			2kT	;
	0			2kT

	2πkT

(12.4)

		3		2
				2
	m	2		m v
F v			4πv e	0
	0		2	2kT
	2πkT

– функция распределения Максвелла. График этой функции представлен на

РИС. 12.2.

F(v)

T2 > T1

Рис. 12.2

Физический смысл площади под этой кривой на участке (v1, v2) – доля молекул со скоростями от v1 до v2

N N

v2 F v dv

При нагревании доля молекул с большими скоростями возрастает, а доля молекул с малыми скоростями убывает.

Наивероятнейшая скорость молекулы идеального газа – скорость, соответствующая максимуму функции распределения F(v). Вычислим её:

dF v dv

v vвер

		2					2
	m v			m 2v			m v
	0	вер		m 2v			0 вер
	0	вер					0 вер
2vверe			2	0	вер	e
2vверe	2kT		vвер			e	2kT
	2kT						2kT
				2kT


vвер	2kT	2RT	.
	m	μ
	0

Средняя скорость молекулы идеального газа:

Средняя квадратичная скорость молекулы идеального газа:

100

v						F v
v			v			F v
		2			2
				0
	v				3kT
					3kT

		кв			m
					m
						0

dv		3kT
dv		m
		m
			0
	3RT			.
	3RT
	μ

Видно,

что vвер

vкв

F(v)

(РИС. 12.3).

vвер

vкв

Рис. 12.3

2.7.3. Распределение молекул идеального газа по энергиям

Кинетическая энергия молекулы

	m v	2	2ε		2	dε	dε
ε	m v	v	2ε	, dv	2	dε	dε
ε	0	v		, dv
	0
	2		m		m	2 ε	2m	ε
			0		0	2 ε	2m	ε
			0		0		0
							0

Выразим функцию распределения Максвелла F(v) через ε:

		3				m	2ε
	m	2		2ε		m	2ε
	m	2		2ε		2kT m
F v						0
	0		4π		e
	0		4π		e		0
	2πkT			m
				0

	3			ε
m	2	8π

0			εe	2kT
2πkT		m

		0

Число молекул с энергиями от ε до ε + dε, соответствующими скоростям от v до v + dv

3 2

NF v dv

Nm0

2 π

e kT dε

εe

dε .

23 2 π3 2 kT 3 2 m

21 2m1 2

kT 3 2

Но dNε = NF(ε)dε, поэтому

F ε

εe

π kT 3 2

График этой функции показан на РИС. 12.4.

101

Дополнительное задание

Доказать, что наиболее вероятное значение кинетической энергии молекулы

εвер	kT	, среднее значение энергии	ε	3kT	.
εвер	2	, среднее значение энергии	ε	2	.
	2			2
		F(ε)

0 εвер

Рис. 12.4

2.7.4. Барометрическая формула

Рассмотрим столб идеального газа (молярная масса равна µ) в однородном грави-

тационном поле (ускорение свободного падения

) при постоянной температуре

T (изотермическая атмосфера). Найдём зависимость давления и концентрации газа от высоты.

Выделим тонкий слой толщиной dh на высоте h

(РИС. 12.5). Давление этого слоя

dp ρgdh ,

ρ – плотность газа, знак «–» означает, что давление

уменьшается с ростом высоты.

Из уравнения Менделеева -Клапейрона

pμ

pμg

dh .

Разделим переменные:

Рис. 12.5

dp μg dh

μg

ln p μgh ,

p0 – давление столба газа на нулевом уровне,

μgh

p p0e RT

–барометрическая формула. Можно записать эту формулу в виде

μgh

ρρ0e RT ,

где ρ0 – плотность газа на нулевом уровне, и, учитывая, что p = nkT,

102

	n n e		μgh
			RT
			RT
	0

n0 – концентрация газа на нулевом уровне.

Эти формулы можно также представить через массу молекулы m0:

	m gh			m gh		m gh
p p0e	0		ρ ρ0e	0	, n n0e	0
p p0e	kT	,	ρ ρ0e	kT	, n n0e	kT
	kT			kT		kT

или через потенциальную энергию молекулы εп = m0gh (см. РАЗДЕЛ 1.8.4):

		ε
p p e		п
p p e		kT
0

		ε
ρ ρ e		п
ρ ρ e		kT
0

		ε
n n e		п
n n e		kT
0

Графики зависимости концентрации газа от высоты при двух разных температурах и одинаковом давлении на нулевом уровне показаны на РИС. 12.6.

n01

n02 T1

Рис. 12.6

Демонстрация: Распределение молекул в поле тяжести

2.7.5. Распределение Максвелла-Больцмана

Распределение Больцмана:

εп

n n0e kT ,

здесь εп – потенциальная энергия молекулы, n0 – концентрация газа на нулевом уровне потенциальной энергии. Эту формулу мы вывели в ПРЕДЫДУЩЕМ РАЗДЕЛЕ для однородного гравитационного поля, но можно показать, что распределение Больцмана справедливо для любого потенциального поля.

Между распределениями Максвелла в форме (12.4) и Больцмана есть большое

m v2

сходство, так как

, εк – кинетическая энергия молекулы.

Распределение Максвелла:

εк

dNε

kT dvxdvydvz .

2πkT

Распределение Больцмана:

dNεп

Закон Максвелла-Больцмана:

103

εп

n0e kT dxdydz

		3			ε
	m	2		ε	ε
	m	2				п
dN				к		п
dN	0		n e	kT		dv	dv	dv	dxdydz
			0			x	y	z
	2πkT

– число частиц в элементе объёма фазового пространства (dx, dy, dz, dvx, dvy, dvz).

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285299

v vF v dv ,








Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал