Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 17-22

18

1.2.1. Закон движения

Приоритетным является векторный способ описания движения6: положение материальной точки M в пространстве характеризуется радиусом-вектором.

Радиус-вектор материальной точки – вектор, соеди-		t
няющий начало отсчёта и материальную точку		t
		 M

(РИС. 1.3).
(РИС. 1.3).
Кинематический закон движения материальной	O
точки (закон движения):	O
точки (закон движения):

			r r t	;
				;
r r
r r	–	модуль (абсолютная величина) радиуса-
вектора.

Рис. 1.3

Следует соблюдать обозначения векторных и скалярных величин. В литературе векторные величины принято обозначать полужирным шрифтом, скалярные – курсивом. В настоящем ЭУМК принято следующее (ТАБЛ. 1.3):

		Таблица 1.3

Тип величины	Шрифт обозначения		Пример
Векторная	Курсив с надстрочной стрелкой		r
Модуль векторной величины	Курсив		r
Проекция векторной величины	Курсив с нижним индексом		rx (= x)
на какое-либо направление	Курсив с нижним индексом		rx (= x)
на какое-либо направление
Скалярная	Курсив		t

1.2.2. Системы координат

1. Декартова система координат

z	t

 M

O

y

x

Рис. 1.4

			r xi y j ck ,
i ,	j ,	k	– орты декартовой системы коорди-

нат (РИС. 1.4); они образуют правую тройку векторов.

	x x t ,

	y y t ,
		z z t
		z z t

– кинематический закон движения материальной точки в координатной форме.

Координатная форма закона движения удобней для вычисления, чем векторная форма.

Длина (модуль, абсолютная величина) радиуса-вектора:

r x2 y2 z2 .

6 Кроме векторного, используют координатный и естественный способы описания движения.

19

2. Сферическая система координат7

z	t

 M

θ

O

y

φ

x

Рис. 1.5

r r t ,φ φ t ,θ θ t ,

где φ – полярный угол, θ – азимутальный угол (РИС. 1.5).

Связь сферических координат с декартовыми:

	x r sinθcosφ,

	y r sinθsinφ,
		z r cosθ.
		z r cosθ.

3. Цилиндрическая система координат

z

t

 M

(РИС. 1.6).

		ρ ρ t ,
		φ φ t ,
		φ φ t ,
		z z t
		z z t

z	Связь цилиндрических координат с декартовы-
	ми:

O

y

ρ

φ

x

Рис. 1.6

	x ρcosφ,

	y ρsinφ,
		z z.
		z z.

Частный случай: полярная система коорди-

нат [при z = 0 (θ	π	)].
	2

Выбор системы координат произволен и обусловливается удобством решения конкретной задачи. Результат решения задачи не должен зависеть от выбора

системы координат!

Траектория. Уравнение траектории

Траектория материальной точки – кривая, описываемая точкой при её движении.

Для того чтобы найти уравнение траектории, нужно исключить время из кинематического закона движения в координатной форме:

(для двумерного движения)

xx t

y

y y t

y x

.

7 Сферическая и цилиндрическая системы координат в I семестре практически не используются, а рассматриваются здесь для применения при рассмотрении электромагнитных полей различных конфигураций в задачах II семестра.

			20
1.2.3. Кинематические параметры
1. Перемещение
Перемещение (смещение)		–	приращение	радиуса-		1	S	t2
вектора							S
вектора
					t1
	r r	r	,		t1			2
	r r	r
	2	1
где r1 – радиус-вектор материальной точки, соверша-
ющей движение, в момент времени t1, r2				– радиус-

вектор в момент времени t2 (РИС. 1.7);
[r] = м8.	O
Путь S – длина участка траектории (1-2 на РИС. 1.7).	Рис. 1.7
	Рис. 1.7
r ≠ S!

2. Скорость

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту движения.

Средняя скорость

v

r t

,

Где t – промежуток времени; t = t2 – t1 на РИС. 1.7;
		v	м	.
		v	с	.
			с
Мгновенная скорость

	v lim	r	dr	r r	.
	v lim			r r
	t 0	t	dt	t
	t 0	t	dt

(В этой формуле представлены различные варианты обозначения производной радиуса-вектора по времени. В последующих разделах и главах мы будем писать

dr dt

и т. п.)

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории.

Средняя путевая скорость

vпут St .

В дальнейшем под словом «скорость» мы будем понимать мгновенную скорость, если не оговорено иное.

Выразим вектор мгновенной скорости через проекции на оси декартовой системы координат:

v lim

r

lim

x i

y j

z k lim

x i lim

y

j lim

z k dx i dy

j dz k;

t 0

t

t 0

t

t 0

t

t 0

t

t 0

t

dt dt

dt

8 Здесь и далее в конспекте лекций квадратные скобки в подобном контексте означают единицы измерения данной величины в СИ.

21

	v		dx	,
	v	x	dt	,
		x

			dy
			dy
v y			dt	,
			dt

	v		dz	;
	v	z	dt	;
			dt

v	v	2	v	2	v	2
		2		2		2
		x		y		z

;

	v	dr
	v	dt
		dt

!

Обратная задача

Дано v t , найти r t .

За малое время dt материальная мируем все малые перемещения,

точка совершает перемещение dr v dt . просум- т. е. проведём интегрирование по времени:

	t	v t dt
r r		v t dt	.	(1.1)
0			.	(1.1)
	0

Здесь

r0

– начальный радиус-вектор, т. е. радиус-вектор движущейся материаль-

ной точки в начальный момент времени.

Выражение (1.1) можно записать и в координатной форме.

22

Лекция 2

1.2.3. Кинематические параметры (продолжение)

3. Ускорение

Ускорение – векторная величина, характеризующая скорость изменения скорости материальной точки.

Среднее ускорение:

a vt ;

a	м
	с	2

Мгновенное ускорение:

.

a lim	v	dv	v v	d2r	r r	.
t 0	t	dt	t	dt2	t

Мгновенное ускорение в проекциях на оси декартовой системы координат:

dv

d

2

x

a

x

,

x

2

dt

dv

d

y

2

a

y

2

,

dt

dv

d

2

z

a

z

;

2

z

dt

a a	i a	y
x		y

j az k

.

Обратная задача

Дано a t , найти v t и r t .

t

a t dt

t

a t dt

v v

,

r r

v t

.

0

Здесь v0

– начальная скорость,

r0

– начальный радиус-вектор. Эти выражения

можно записать и в координатной форме.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ9

1) Равномерное движение:

v const

t

a 0; r r0 vdt r0 vt .

0

9 В этом разделе не приводится пример расчёта скорости, ускорения, модуля радиуса-вектора и т. д. из-за нехватки времени. Простые примеры на эту тему следует рассмотреть на практических занятиях.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: