Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 23-27

23

2) Равноускоренное движение:

0	t
0
v t v		adt
	0

a const
	t	v0	at dt r0		at	2
v0 at ; r r0				v0t	at
					2

	0
	0

.

1.2.4. Криволинейное движение
	τ1				При описании движения материальной точ-
					При описании движения материальной точ-
t1					ки по криволинейной траектории удобно
					ки по криволинейной траектории удобно
	1			t2	ввести систему координат, связанную с тра-
	1			t2	ввести систему координат, связанную с тра-
	n1				екторией материальной точки (воспользо-
	n1				екторией материальной точки (воспользо-
					ваться естественным способом	описания
			2		движения).
			2		Орты этой системы координат: τ	– единич-
	Рис. 2.1				Орты этой системы координат: τ	– единич-
	Рис. 2.1				ный вектор, направленный по касательной к
					траектории по направлению движения ма-
териальной точки;		n	– единичный вектор, направленный по нормали к траекто-

рии в сторону её вогнутости (см. РИС. 2.1).

Разложим векторы скорости и ускорения по осям естественной системы координат:

v vτ τ 0n vτ ; a aτ τ an n.

Но, по определению

(2.1)

a	dv	dv	τ v	dτ
	dt	dt		dt

.

(2.2)

Разберёмся, чему равны слагаемые в формуле (2.2). Любую кривую в любой её точке можно представить как дугу окружности радиуса ρ – радиуса кривизны траектории (РИС. 2.2).

ρ

α

l

O α

ρ

Рис. 2.2

l ρ

α ;

τ τ2 τ1

,

τ τ

α

τ

l

,

τ

l

n 10.

ρ

v

При t → 0

dτ

dl

n,

dτ

dl

n

v

n .

ρ

dt

ρdt

ρ

Подставляя эти выражения в (2.2) и сравнивая с (2.1), получим

a dv	τ v2 n
		;	a	dv	,	a	v2	;(2.3)
			a	dv		a	ρ
dt	ρ		τ	dt		n	ρ

aτ – тангенциальное (касательное) ускорение, an – нормальное (центростремительное) ускорение;

a aτ2 an2 .

10 Следует помнить, что на рис. 2.2 угол α мал. При малом α τ практически параллелен n .

24

1.3. Кинематика твёрдого тела

1.3.1. Виды движения

1.Поступательное движение – движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях так, что прямая, соединяющая любые две точки этого тела, перемещается параллельно самой себе.

2.Вращение вокруг неподвижной оси (вращательное движение) – движение,

при котором все точки тела движутся по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях, таким, что центры этих окружностей лежат на одной прямой,

называемой осью вращения.

3.Сферическое движение (вращение вокруг неподвижной точки) – движе-

ние, при котором все точки тела движутся по сферам, центры которых находятся в одной точке, называемой центром вращения.

4.Плоское движение – движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях.

Плоское движение = поступательное движение + вращательное движение (см.

разделы 1.7.1 и 1.8.1).

5.Другие случаи – сложное движение11.

Демонстрации: 1) Поступательное и вращательное движение

2)Искры от точила

3)Циклоида

4)Гироскоп12

Введённых нами ВЫШЕ кинематических величин недостаточно для характеристики движения твёрдого тела (кроме поступательного).

1.3.2. Угловые кинематические параметры

Введём величины, характеризующие вращательное движение твёрдого тела в целом, а не отдельных его точек. Такие величины будут аксиальными векторами.

			Векторы
	полярные		аксиальные
	(истинные)		(псевдовекторы)
имеют точку приложения			не имеют точки приложения
	, ,	,	, , ,
(Здесь F	– сила,	p – импульс, M – момент силы, L – момент импульса.)

1. Угловое перемещение

Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси z. Точка A этого тела находится на расстоянии r от оси вращения (РИС. 2.3). За некоторое время тело повернулось так, что точка A переместилась по дуге окружности радиуса r в положение A . При

11На практических занятиях рассматривается поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси и плоское движение. Сферическое движение и общий случай сложного движения и в лекционном курсе будут затронуты мало.

12Движение гироскопа демонстрируется не как пример выполнения закона сохранения момента

импульса, а лишь как пример сферического движения твёрдого тела.

25

этом отрезок OA (точка O – центр окружности, по которой движется точка A) повернулся на угол φ.

Это движение характеризует вектор углового перемещения

φ

k

(

k

– орт оси

вращения z). Векторная величина

φ

вводится лишь для малых угловых переме-

		щений. Направление
	z	правого винта.
	z	Можно записать
		Можно записать

φ

выбирается по правилу

φ

φz 0.

φz k

,

		Любой поворот твёрдого тела можно характеризо-
		вать скалярной величиной – углом φ. Можно задать
		закон вращательного движения твёрдого тела
	O			φ φ t .
r	φ	Единица измерения углового перемещения в СИ
	φ
			[φ] = рад (радиан – безразмерная величина);
A			[φ] = рад (радиан – безразмерная величина);
A
		1	π	рад . (При проведении численных расчё-
		1	180	рад . (При проведении численных расчё-
	Рис. 2.3		180
	Рис. 2.3	тов следует обращать внимание на единицы из-

мерения углового перемещения!)

2. Угловая скорость

Угловая скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление вращения;

ω	dφ	; ω	рад	с	1	.


	dt		с

3. Угловое ускорение

Угловое ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту и направление изменения угловой скорости;

	dω	d	2	φ		; ε	рад
ε	dω	d		φ			рад		2
ε								2 с		.

	dt	dt			2		с
	dt	dt

При вращении вокруг неподвижной оси

φ ω

ε

k

(k – орт оси вращения); зна-

ки проекций этих векторов на ось вращения могут быть различны.

4. Частота вращения

Частота вращения – скалярная положительная величина, характеризующая быстроту вращения, равная числу оборотов тела вокруг оси вращения за единичный промежуток времени;

	ν	ω
	ν	2π
		2π

; ν обс с 1 .

26

5. Период вращения

Период вращения – скалярная положительная величина, характеризующая быстроту вращения, равная времени, за которое вращающееся тело совершает один полный оборот вокруг оси вращения;

T	1	2π	; [T] = с.
	ν	ω

1.3.3. Связь между линейными и угловыми кинематическими параметрами

Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью

ω

и ускорением

ε . Точка M отстоит от оси вращения на расстояние r; её скорость равна

(РИС. 2.4А).

v

z	S

		t + t				t
			φ
			φ		M
				r	M
O	M	z		r
		z


	а		б

Рис. 2.4

(Значки , на РИС. 2.4 означают направление вектора, перпендикулярного плоскости чертежа – соответственно «на нас» и «от нас».)

За время t точка M переместилась в положение M					по дуге длиной
Тело за это время совершило угловое перемещение					φ;
	S r φ , v	S	r φ	ω r ,
		t	t

где ω	– среднее значение модуля угловой скорости за время t. При
	v ωr ,

асоответствующее векторное равенство

vωr

S (РИС. 2.4Б).

t → 0

(2.4)

(направление можно проверить по РИС. 2.4А). Здесь квадратные скобки означают векторное произведение векторов. (Следует помнить о том, что векторное произ-

ведение антикоммутативно!)

Формула (2.4) справедлива и в произвольном случае сложного движения. Тогда v ωr sin ω,r .

Выразим компоненты линейного ускорения (т. е. ускорения точки M), воспользовавшись формулой (2.3):

aτ dv d ωr r dω ωdr εr , dt dt dt dt

0

27

v

2

an

ω r

2

r

ω r .

Полное ускорение

a εr

ω

dr

εr ω ωr

.

dt

Для сложного движения твёрдого тела

ω r

rC

v vC

,

где rC

– радиус-вектор центра масс тела (см. РАЗДЕЛ 1.4.4),

масс.

vC

(2.5)

– скорость центра

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: