Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 28-33

28

Лекция 3

1.4. Динамика материальной точки

Динамика – раздел механики, изучающий влияния взаимодействия тел на механическое движение.

1.4.1. Законы Ньютона

I закон Ньютона: существуют такие системы отсчёта, в которых материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие других тел не выведет её из этого состояния.

II закон Ньютона: ускорение материальной точки совпадает по направлению с силой, с которой действуют на неё другие тела, и равно отношению этой силы к массе точки:

	a	F
	a	m
		m

(см. РИС. 3.1).

III закон Ньютона: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю, противоположными по направлению и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки:

	F12 F21
(см. РИС. 3.2).
m	1	2
Рис. 3.1		Рис. 3.2
Демонстрация: Тележки

1.4.2. Инерциальные системы отсчёта

С точки зрения физики покой и равномерное прямолинейное движение суть одно и то же.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) – система отсчёта в которой материальная точка, не испытывающая внешних воздействий, движется равномерно и прямолинейно.

I закон Ньютона можно сформулировать так: инерциальные системы отсчёта существуют.

Примеры систем отсчёта, которые можно считать инерциальными в условии большинства задач:

	ИСО
гелиоцентрическая	лабораторная
тело отсчёта – Солнце	тело отсчёта – лаборатория (земля)

Все тела обладают инертностью – свойством сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения в отсутствие внешних воздействий.

29

Масса – физическая величина – характеристика тела, являющаяся мерой его инертности.

1.4.3. Сила

Сила – векторная величина – мера воздействия на данное тело другого объекта. Каждая сила описывает действие какого-либо объекта.

Линия действия силы – прямая, вдоль которой направлена сила.

Силовая линия – кривая, касательные к которой в каждой её точке совпадают по направлению с силой.

ПРИМЕР

Силовые линии гравитационного поля Земли (РИС. 3.3)

m

O

Рис. 3.3

Равнодействующая сила (главный вектор) – векторная сумма всех сил, описы-

вающих действие на данное тело других объектов:

n

FFi

i1

(здесь n – число воздействующих объектов).

Принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновре-

менно действует n объектов, то ускорение этой точки

n Fi

a i 1 m

,

где m – масса материальной точки, Fi	– сила, описывающая воздействие i-го объ-
екта на данную точку.

	2	r
Так как a	d	r	, II закон Ньютона можно записать в виде
Так как a	dt	2	, II закон Ньютона можно записать в виде
		2


				md2r	F
				dt2
– дифференциальное уравнение движения материальной точки (F						– главный

вектор сил, с которыми другие объекты действуют на данную точку). В проекции на оси декартовой системы координат это уравнение представляется в виде трёх дифференциальных уравнений

30

	d	2	x	F
		2
m			2			,
	dt		2	x
	dt
	d		y
	d	2	y	F
		2
m						,
	dt		2		y
			2		y

	d		z
	d	2	z	F .
		2
m			2
	dt		2	z
	dt

1.4.4. Центр масс механической системы

Внешние силы – силы, описывающие действие объектов, не входящих в данную

механическую систему, на тела, входящие в неё. Будем обозначать такие силы	F	e
	F
13.

Внутренние силы – силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в данную

механическую систему (обозначение F

i

).

Для любой механической системы из III закона Ньютона следует, что сумма внут-

ренних сил равна нулю:

F

i

0

.

Рассмотрим механическую систему из N материальных точек.

 m1

Центр масс механической системы –

точка,

для которой

C

N

m ρ 0

N

или

m r r

0

,

i i

C

 mi

i 1

 m2

где mi

– масса i-ой материальной точ-



mN

ки, ρ

– радиус-вектор, соединяющий

i

центр масс с i-ой материальной точ-

кой, ri

– радиус-вектор i-ой матери-

O

альной точки, rC – радиус-вектор цен-

	Рис. 3.4	тра масс. (На РИС. 3.4 точка C – центр
	Рис. 3.4	масс, O – начало отсчёта.)
		масс, O – начало отсчёта.)

Как найти положение центра масс системы? Из определения центра масс следует

N

где M mi

i 1

						N
N		N				m r
N		N		r r		i i	,
m r		m		r r		i 1	,
i i			i	C	C	M
i 1	i 1					M
i 1	i 1

– масса механической системы. В декартовой системе координат

N

m x

i

m y

i

m z

i

x

i 1

, y

i 1

, z

i 1

.

(3.1)

C

M

13 В «живой» лекции лучше использовать обозначения русскими буквами: Fвнеш и т. п.

31

Если тело (механическая система) центральносимметрично, то его центр масс совпадает с центром симметрии. Если же тело осесимметрично, то центр масс лежит на оси симметрии.

ПРИМЕР

Нахождение центра масс системы двух материальных точек

Две материальные точки массами m1 и m2 находятся на расстоянии l друг от друга (РИС. 3.5). Где находится центр масс системы?

m1	C	m2
	C

O 

xС

l

Рис. 3.5

та с материальной точкой массы формулы (3.1) получим

x	C
	C

Центр масс C системы, очевидно, должен находиться на прямой между материаль-

xными точками. Радиусы-векторы, соединяющие центр масс и материальные точки, показаны на РИС. 3.5. Введём ось x, как пока-

зано на рисунке, и совместим начало отсчё- m1; тогда координата точки массой m2 равна l. Из

m x		m x		m l		.
1	1	2	2	2

m m				m m
	1	2		1	2

Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложена сила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к системе,

MaC Fe .

Доказательство

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек. Дифференциальное уравнение движения i-ой точки

m	d2r		F	e	N	i
m		i	F			F ki
		i
i	dt	2	i
	dt				k 1, k i
					k 1, k i

,

(3.2)

где	Fi	e	– равнодействующая внешних сил, приложенных к i-ой точке;

ренняя сила, с которой k-я точка действует на i-ую точку. Просуммируем равенства (3.2) по всем N точкам системы:

N	2		N			N N	F ki .
m d		ri F			e		F ki .
					e		i
i 1	i dt2		i 1	i		i 1 k 1, k i	0
							0

i F ki

–внут-

(3.3)

Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как оно равно сумме всех внутренних сил, описывающих взаимодействие тел, входящих в рас-

сматриваемую систему. Первое слагаемое есть главный вектор внешних сил Преобразуем левую часть равенства (3.3), учитывая, что ri rC ρi (РИС. 3.4):


N		2		rC		N			2
m			d	rC	m d					ρi	Fe ,
m					m d						Fe ,
i 1		i dt2				i 1		i	dt2
2	rC	N				d	2	N
d	rC	m				d		m ρ Fe .
		m						m ρ Fe .
dt2		i 1		i		dt2		i 1		i i

F	e

.

32

	2	r
Но	d	r
Но			C
			C
	dt		2
	dt

как точка

aC

C

N

–ускорение центра масс, mi

i1

–центр масс системы. Поэтому MaCM

– масса системы, а

F	e	, ч. т. д.

N mi ρi

i 1

0

, так

1.4.5. Некоторые силы14

1. Гравитационная сила

Сила, описывающая гравитационное воздействие материальной точки15 массой m1 на материальную точку массы m2, находящуюся на расстоянии r от точки мас-

сой m1 (РИС. 3.6):

	F12	G	m m		r12
	F12	G	1	2	r12
			1	2
			r	3
			r
							2
– закон всемирного тяготения; G 6,67				10	11 Н м
– закон всемирного тяготения; G 6,67				10		кг	2
							2

янная. Знак «–» означает, что тела притягиваются.

(3.4)

– гравитационная посто-

		O	R
			R
	M		m
m1	M
m1	 m2
Рис. 3.6		Рис. 3.7

ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ

Сила тяжести – гравитационная сила вблизи поверхности Земли

F mg	.
т

Действительно, пусть материальная точка массы m находится вблизи поверхности Земли, т. е. на расстоянии от центра Земли, равном радиусу R Земли (РИС. 3.7). По закону всемирного тяготения (3.4)

F

G mM r

,

g

т

R3

здесь M – масса Земли. Модуль этой силы

F G

M

m

mg ,

2

т

R

где

g G

M

9,81

м

16

– ускорение свободного падения (вернее, модуль этого

R2

с2

ускорения). По II закону Ньютона

14В данном разделе рассматриваются силы, фигурирующие в задачах I семестра.

15В этом определении можно заменить слова «материальная точка» на «тело» с поправкой, что r – это расстояние между центрами масс тел.

16При необходимости проведения вычислений с достаточно высокой точностью следует учиты-

вать, что ускорение свободного падения зависит от географической широты. На широте

Москвы g = 9,8156 м/с2.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: