Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

217

Лекция 27

3.10. Энергия магнитного поля

3.10.1. Энергия проводника с током

Пусть проводник индуктивностью L включён в электрическую цепь. Найдём энергию проводника при токе I, т. е. работу индуцированного электрического поля (ЭДС самоиндукции Es) при возрастании тока в проводнике от 0 до I.

Приращение энергии при перемещении по проводнику малого заряда dq

Энергия магнитного поля проводника индуктивностью L при токе I

где Φs – собственный магнитный поток (потокосцепление) проводника.

3.10.2. Энергия взаимодействия проводников с токами

Пусть имеются два проводника с токами I1 и I2, расположенные близко друг к другу (РИС. 26.9). Энергия магнитного поля этой системы

Энергия магнитного поля равна работе источников тока, которая необходима для того, чтобы это поле создать, т. е. увеличить токи в проводниках от 0 до I1 и I2 соответственно. Сначала доведём ток в контуре 1 от 0 до I1 (при разомкнутом контуре 2); работа источника в контуре 1 по (27.1)

где L1 – индуктивность проводника 1. Затем замкнём контур 2 и увеличим ток в нём от 0 до I2. Работа источника в контуре 2

A2* W2 L22I22 ,

здесь L2 – индуктивность проводника 2. Но при этом благодаря взаимной индукции в контуре 1 будет возникать электрическое поле (ЭДС взаимной индукции

E21 M21 dIdt2 ). Чтобы скомпенсировать его влияние, источник в контуре 1 должен совершать дополнительную работу по перемещению малого заряда dq1 = I1dt

218

интеграл от этого выражения по I2 при I1 = const – взаимная энергия

Итак, энергия магнитного поля двух проводников

Если действовать в обратной последовательности, т. е. сначала увеличивать ток в контуре 2, затем – в контуре 1, то результат должен быть тем же:

W W1 W2 W12 W1 W2 W21 W12 W21 M12 M21 .

Мы доказали теорему взаимности (см. РАЗДЕЛ 3.9.3).

3.10.3. Объёмная плотность энергии магнитного поля

Энергия магнитного поля длинного прямого соленоида индуктивностью L, по которому идёт ток I,

где N – число витков соленоида, l – его длина, S – площадь поперечного сечения,

так как модуль индукции магнитного поля длинного соленоида B = µ0nI.

Объёмная плотность энергии магнитного поля

Этот результат обобщается на случай неоднородного магнитного поля.

219

(относительная магнитная проницаемость неферромагнитной среды µ ≈ 1, см.

3.11.6).

Энергия неоднородного магнитного поля в области пространства объёмом V

В общем случае объёмная плотность энергии электромагнитного поля

3.11. Магнитное поле в веществе

3.11.1. Макротоки и микротоки. Намагниченность

Макротоки – упорядоченное движение заряженных частиц, при котором частицы перемещаются на расстояния, много большие межмолекулярных.

Микротоки – движение заряженных частиц внутри атомов и молекул.

Магнитное поле в веществе определяется полем макротоков и усреднённым полем микротоков:

B B0 B .

Каждый электрон в атоме (молекуле), двигаясь вокруг ядра, создаёт микроток и собственное магнитное поле; это движение характеризуется микротоком i и маг-

нитным моментом pm . В отсутствие внешнего магнитного поля (макротоков) все

220

Таблица 27.1

Процесс намагничивания

Намагниченность – векторная характеристика магнитного поля в веществе, равная дипольному моменту вещества, занимающего единичный объём:

3.11.2. Теорема о циркуляции намагниченности, магнитной индукции и напряжённости магнитного поля

Циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков и микротоков, сцепленных с этим контуром:

Здесь и далее в этом параграфе I – макроток, i – микроток64.

Вторая сумма в правой части этого равенства не поддаётся прямому вычислению, так как распределение микротоков заранее не известно.

2) Теорема о циркуляции J

Проведём внутри вещества (магнетика) замкнутый контур L (РИС. 27.1А)и подсчитаем сумму микротоков, сцепленных с этим контуром.

63На рисунке в этой колонке показано, что магнитные моменты молекул выстраиваются вдоль поля макротоков. Так происходит, если вещество парамагнитно (см. РАЗДЕЛ 3.11.8). У диамагнетиков (РАЗДЕЛ 3.11.7) магнитные моменты молекул выстраиваются, наоборот, против внешнего поля.

64В «живой» лекции можно обозначать Iмакро, iмикро или другим образом.

Рис. 27.1

Рассмотрим элемент контура L длиной l (РИС. 27.1Б). Центры микротоков, сцепленных с участком l, находятся внутри цилиндра длиной l и площади основания, равной площади S микротоков. Объём этого цилиндра

где n – концентрация магнетика – число микротоков (молекул), находящихся в

– теорема о циркуляции намагниченности: циркуляция вектора намагничен-

ности по произвольному замкнутому контуру равна сумме микротоков, сцепленных с этим контуром.

3) Теорема о циркуляции H

Преобразуем выражение теоремы о циркуляции B (27.3), подставив циркуляцию

J (27.4):

Обозначим

B J H

μ0

– напряжённость магнитного поля – вспомогательная силовая характеристика магнитного поля.

Теорема о циркуляции напряжённости магнитного поля: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков, сцепленных с этим контуром: