Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 226-230

212

магнитной индукции показано на РИС. 26.5, её модуль

B μ nI μ		N	I
B μ nI μ			I
0	0	l
		l

(см. ПРИМЕР 2) В РАЗДЕЛЕ 3.7.2), n Nl – плотность намотки соленоида.

Магнитный поток сквозь один виток соленоида

	Φ BSn BS	μ NIS
	Φ BSn BS	0
		0
		l

потокосцепление

Ψ NΦ μ0N2S I . l

Индуктивность соленоида

L Ψ μ0N2S .

I l

;

Эта величина зависит только от размеров и числа витков соленоида, как и следовало ожидать.

2) Расчёт индуктивности тонкого тороида

Найти индуктивность тонкого тороида радиуса R, сечением S, имеющего N витков (РИС. 26.6).

Пустим по тороиду ток I. Задача о нахождении индукции магнитного поля тороида была рассмотрена в РАЗДЕЛЕ 3.7.2, ПРИМЕР 3. Модуль магнитной индукции

B	μ NI	,
B	0	,
	0
	2πR

направление B показано на РИС. 26.6. Магнитный поток сквозь один виток тороида

Φ BSn BS	μ NIS	;
Φ BSn BS	0	;
	0
	2πR

потокосцепление

Ψ NΦ μ0N2S I . 2πR

Индуктивность тонкого тороида

L Ψ μ0N2S μ0N2S , I 2πR l

где l = 2πR – длина тороида. Демонстрация: Экстра-ток размыкания

		I



	O
	R




	Рис. 26.6

213

ПРИМЕР

Экстра-ток размыкания

Катушка индуктивностью L и сопротивлением R подключена к источнику постоянного тока параллельно с лампой накаливания, сопротивление которой равно R′ (схема на РИС. 26.7). В начальный момент времени ключ K размыкают и катушка вместе с лампой отключаются от источника. Найти зависимость тока в цепи от времени.

I	R′		После размыкания ключа изменяющийся ток в катушке приво-
I	R′		дит к возникновению электрического поля, энергетическая ха-
			дит к возникновению электрического поля, энергетическая ха-
I	R, L		рактеристика которого – ЭДС самоиндукции Es L			dI	. Это един-
			рактеристика которого – ЭДС самоиндукции Es L			dt	. Это един-


		K	ственная ЭДС в цепи после размыкания ключа.
		K	Применим обобщённый закон Ома:
			Применим обобщённый закон Ома:
	E				dI
	Рис. 26.7		I R R Es	I R R	L dt .
	Рис. 26.7		Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении и
			Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении и
проинтегрируем:

Здесь

I		E
I	0	R
	0

dI

R R

dt

,

I

L

I

dI

R R

t

I

R R

dt ln

t ,

I

L

I

L

I

0

I t I0e

R R

t

L

.

(26.9)

– ток в катушке до размыкания ключа (внутреннее сопротивление

источника считаем пренебрежимо малым по сравнению с сопротивлением катушки). График функции (26.9) представлен на РИС. 26.8.

В этом примере мы рассмотрели пример ре-

лаксационного процесса, т. е. процесса при-

ближения какой-либо физической величины к её равновесному значению – в данном случае при t → ∞ I → 0. Характерный параметр этого процесса – время релаксации – время, за которое сила тока в цепи уменьшится в e раз:

τ	L	.
	R R

I

I0

0

t

Рис. 26.8

Теперь разберёмся, почему лампа сразу после размыкания ключа ярко вспыхивает, как мы видели в демонстрационном экс-

перименте. Сравним ток в лампе до размыкания ключа

I E

0 R

с током I после размыкания:

214

I

I 0

		R R	t	R
Ee		L	t
Ee

	RE
	RE

R		R R	t
R	e	L	t
	e

R

.

		R R	t	1
При малых t (сразу после размыкания ключа)	e	L

тивление лампы накаливания сравнительно велико), то резко увеличивается, а, значит, лампа ярко вспыхивает.

I

и, если R′ >> R (а сопро-

	и мощность лампы
I0

3.9.3. Взаимная индукция
Пусть имеются два замкнутых проводящих контура 1 и
2, расположенные достаточно близко друг к другу	I1	I2
(РИС. 26.9). По контуру 1 идёт ток I1, так что контур 2		I2


находится в магнитном поле контура 1. Поток индук-
ции магнитного поля контура 1 сквозь поверхность,
натянутую на контур 2, Φ12 ~ I1, так как B1 ~ I1. Если ток		1	2
I1 переменный, то в проводнике 2 возникает перемен-			2


ное электрическое поле и ток I2. В свою очередь, контур		Рис. 26.9
2 создаёт магнитное поле, пронизывающее контур 1;

соответственно, магнитный поток Φ21 ~ I2. Таким образом два проводника влияют друг на друга.

Взаимная индукция – частный случай явления электромагнитной индукции – возникновение электрического поля в проводнике под действием переменного тока в другом проводнике, близко расположенным к данному проводнику.

Магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на проводник 2, создаваемый проводником 1,

Φ12 M12I1

;

		Φ
M		12
12		I
		I
		1

– коэффициент взаимной индукции (взаимная индуктивность) – характери-

стика взаимного влияния проводников. Коэффициент взаимной индукции зависит от формы, размера проводников, их взаимного расположения, магнитных свойств среды. Возможно M12 < 0.

ПОЗДНЕЕ мы докажем, что в отсутствие ферромагнетиков коэффициенты взаимной индукции равны:

M	M
12	21

– теорема взаимности.

Закон Фарадея-Максвелла для случая взаимной индукции:

E12 M12 dIdt1 , E21 M21 dIdt2 .

Демонстрация: Взаимная индукция

215

ПРИМЕР

Расчёт взаимной индуктивности двух длинных соленоидов, надетых друг на друга

На катушку длиной l и сечением S навито две обмотки с числом витков N1 и N2 (РИС. 26.10А), соединённые последовательно так, что ток по ним будет течь в одну сторону (схема на РИС. 26.10Б). Найти взаимную индуктивность обмоток и индуктивность системы.

I	2
I			1
			1
				S	I	L1
			,		I	L1

		,



					I	L2


		l
		а				б
		а				б

Рис. 26.10

Пустим по обмоткам ток I. Магнитные поля, создаваемые обеими обмотками, однородны, так как соленоид длинный, и направлены в одну сторону (РИС. 26.10А).

Модуль индукции магнитного поля обмотки 1 (см. ПРИМЕР 2) В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)

B1	μ N		I	.
	0	1

		l

Поток магнитного поля, создаваемого обмоткой 1, сквозь поверхность, натянутую на виток обмотки 2,

Φ12 B1Sn2	B1S	μ N SI		,
		0	1

			l

потокосцепление

Ψ	N Φ		μ N N SI
Ψ	N Φ		0	1	2
			0	1	2
12	2	12		l
				l

.

Аналогично потокосцепление обмотки

Ψ
21

Коэффициенты взаимной индукции

	M		Ψ
	M		12
			12
	12		I
			I

2, обусловленное током в обмотке 1,

μ N N SI			.
0	1	2

	l
μ N N S			M21 .
0	1	2

	l

Получилось M12 = M21; таким образом мы доказали теорему взаимности для частного случая.

Потокосцепление всей системы

Ψ Ψ11 Ψ22 Ψ12 Ψ21 ,

где Ψ11, Ψ22 – собственные магнитные потоки обмоток 1 и 2 соответственно;

(см. ПРИМЕР 1) РАЗДЕЛА 3.9.2).

		2	S
Ψ	μ N			I
	0	1

		l

Индуктивность системы

216

						2	S								2		S
Ψ11			μ N				S	I		,	Ψ22		μ N				S	I
Ψ11				0		1		I		,	Ψ22			0	2			I
				0		1								0	2
					l										l
Получим
			2	S					μ N N S							μ S
	μ N			S	I	2			μ N N S					I		μ S			N
	0		2		I	2				0	1	2		I			0		N
	0		2							0	1	2					0
		l									l						l		1
		l									l						l
	L			Ψ			μ S				N1	N2			2
	L							0			N1	N2			.
								0
				I				l

В случае, когда токи в обмотках текут в разные стороны,

N	2	I
N		I
2

.

M	M	μ N N S
		0	1	2

12	21		l

,

Ψ

μ S
0	N

l	1

N	2	I
N		I
2

,

L

μ S
0	N

l	1

N
	2
2

.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: