Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

43

так как Iz = Ix = Iy из-за сферической симметрии. Но I0 = mR2, поэтому

5. Однородный шар

Найти момент инерции однородного шара массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

I2mR2

5

(доказать самостоятельно, используя результат ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ.)

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

Пусть z – ось, относительно которой нужно найти момент инерции тела массы m; точка C – центр масс тела; z0 – ось, проходящая через точку C параллельно оси z; d

– расстояние между этими осями (РИС. 4.8А). Разобьём тело на малые фрагменты массы dm.

44

z0 z

dm

dm

z0

z

Рис. 4.8

Для удобства сделаем второй рисунок – РИС. 4.8Б, на котором оси z и z0 направлены перпендикулярно плоскости рисунка. По построению

r ρ d .

Момент инерции элемента dm относительно оси z

относительно оси z0

Проинтегрируем по всей массе тела:

1.5.4. Пример решения задачи по динамике

Маятник Обербека

Маятник Обербека – тело вращения сложной формы – маховик с несколькими шкивами и четырьмя радиально направленными спицами, на которые надеваются небольшие грузы, положение которых можно изменять (РИС. 4.9).

На шкив радиуса R намотана нить, на конце которой прикреплён груз массы M. Масса грузов на спицах равна m, они расположены на расстоянии r от оси маятника; момент инерции маховика со спицами относительно оси маятника равен I0. Груз массы M поднимают на расстояние h над полом и отпускают. Через какое время груз коснётся пола?

Выделим два объекта исследования: груз массы M – материальная точка и маятник с грузами массы m – твёрдое тело.

22 Это упрощённое доказательство, так как мы проводим интегрирование только по тем элементам dm, которые лежат в плоскости, проходящей через центр масс тела перпендикулярно обеим осям. Полное доказательство (с интегрированием по всему объёму тела) даёт тот же результат.

Представим эти законы в скалярном виде:

спроецируем уравнения (4.5) и (4.6) на вертикальную ось y, а уравнение (4.7) – на ось z маятника (произвольно выберем направление оси y вниз, а оси z – «от нас»):

Эта система содержит 3 уравнения с 7 неизвестными. Запишем дополнительные соотношения:

Fт1 Mg (из закона всемирного тяготения), T2 T1 T (нить невесома),

ε Ra (нить нерастяжима и не проскальзывает по шкиву),

23 Уравнение (4.6) не содержит информации, нужной для решения данной задачи; оно здесь записывается потому, что теорема о движении центра масс часто бывает необходима при решении задач по динамике твёрдого тела.

46

Второе уравнение в системе (4.8) содержит две неизвестные Fт2 и N, которые не нужны для получения ответа данной задачи, мы далее не будем его записывать. Подставив дополнительные соотношения в систему (4.8), получим

Эта система содержит 2 уравнения с 2 неизвестными a и T и имеет однозначное решение. Исключим T:

Для нахождения времени движения груза решим кинематическую задачу. Запишем закон равноускоренного движения материальной точки

(начальная координата и скорость груза по условию равны нулю). В искомый момент времени τ груз будет иметь координату h:

Проанализируем ответ задачи. При увеличении расстояния r грузов массы m от оси маятника время опускания груза увеличивается, а при увеличении массы M наматывании нити на шкив большего радиуса R – уменьшается. Это можно проверить экспериментально.

Демонстрация: Маятник Обербека

47

Лекция 5

Качение без проскальзывания возможно благодаря трению. Оно характеризуется силой трения покоя24 (так как точки, соприкасающиеся с поверхностью, не движутся относительно неё).

Демонстрация: Скатывание цилиндров с наклонной плоскости

ПРИМЕР

Скатывание цилиндра с наклонной плоскости

Цилиндр массы m и радиуса R, момент инерции которого относительно его оси равен IC, скатывается без проскальзывания с плоскости, наклонённой к горизонту под углом α (РИС. 5.2). Найти ускорение центра масс цилиндра.

Запишем законы динамики – теорему о движении центра масс (5.1) и основное уравнение динамики вращательного движения (5.2):

здесь I – момент инерции цилиндра относительно оси.

24 Т. н. сила трения качения в нашем курсе не рассматривается. Трение качения обусловлено наличием ненулевого момента силы реакции опоры (её упругой и неупругой составляющих) относительно оси, проходящей через центр масс тела, и приводит к замедлению вращения катящегося тела. Трение качения возможно, лишь если опорная поверхность не является абсолютно твёрдой; в задачах нашего курса всегда по умолчанию полагается обратное.