Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 39-44

38

Лекция 4

1.5. Динамика вращательного движения твёрдого тела

1.5.1. Момент силы

Момент силы20 – векторная (псевдовекторная) величина, характеризующая взаимодействие тел.

1. Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки:

	M rF		;

точка, относительно которой определяется

момент – полюс;

M rF sin		r,F	;
	M Н м.

На РИС. 4.1: O – полюс, A – точка приложения

A

O

Рис. 4.1

силы;

r

и

F

лежат в плоскости рисунка,

M

перпендикулярен плоскости рисунка.

2. Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси:

M rF		k	,	(4.1)
	z

вектор21 момента силы относительно оси всегда направлен вдоль этой оси; направление определяется по правилу правого винта.

Один из способов определения момента произвольно направленной силы относительно оси показан на РИС. 4.2. На этом рисунке изображено трехмерное твёрдое тело и вектора и линии, лежащие в трехмерном пространстве. Здесь z – ось, отно-

сительно которой рассчитывается момент силы; k – орт этой оси; A – точка при-

ложения силы F ; плоскость xy – плоскость, проведённая через точку A перпендикулярно оси z; O – точка пересечения плоскости xy с осью z, т. е. ближайшая к точ-

ке приложения силы точка на оси; радиус-вектор r восстановлен из точки O в

точку

M rF

приложения
sin	r,F xy	.

силы;

F xy

– проекция вектора силы на плоскость xy;

Можно пользоваться не этим способом, а напрямую определением (4.1). Тогда r – это радиус-вектор, проведённый из любой точки на оси в точку приложения силы.

20Следует обратить внимание студентов на то, что момент силы, а также момент инерции и момент импульса всегда определяется относительно какой-либо точки или оси.

21В большинстве курсов общей физики момент силы, момент импульса относительно оси, а также кинематические величины, характеризующие вращение вокруг неподвижной оси, вводятся как

скалярные алгебраические величины. В нашем же курсе это аксиальные векторы.

39

z

D

h

O A

xy

Рис. 4.2

Плечо силы – это скалярная величина – кратчайшее расстояние от оси до линии

действия силы (отрезок OD = h на РИС. 4.2);
		xy
h r sin	r,F xy	, M hF .

Если линия действия силы

F

лежит в плоскости, перпендикулярной оси z (т. е.

F

F xy

), то получим соотношение, известное из школьного курса физики: M = hF.

1.5.2. Основное уравнение динамики вращательного движения

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси z

(с угловой скоростью ω , угловым ускорением ε ). Разобьём тело на элементарные (малые) фрагменты массами mi (рис. 4.3); расстояние каждого фрагмента от оси вращения равно ri. Запишем II закон Ньютона для i-го фрагмента:

	e	i
	mi ai Fi	Fki .		(4.2)
		k i
Здесь ai	– ускорение i-го фрагмента; Fi		e	– главный вектор
Здесь ai	– ускорение i-го фрагмента; Fi			– главный вектор

внешних сил, с которыми другие тела действуют на i-ый

i фрагмент; F ki – внутренняя сила, описывающая действие

k-го фрагмента на i-ый фрагмент.

z

Oi mi

Рис. 4.3

Умножим равенство (4.2) на

ri mi

слева векторно:

r a r F					r Fki
			e			i
i i	i	i				i
				k i
				k i



.

(4.3)

В правой части этого уравнения	ri Fi	e
		e

сил, приложенных к i-ому фрагменту;

Mi	e	– главный вектор момента внешних
Mi		– главный вектор момента внешних
		i	i	– сумма моментов внут-
r Fki			Mki	– сумма моментов внут-
	i		k i
k i			k i

ренних сил, приложенных к нему же.

40

Преобразуем векторное произведение в левой выражение для ускорения материальной точки

a	εr
		ω ωr
i	i		i

части уравнения (4.3), используя

(2.5)

		.
		.

Для этого воспользуемся известной из векторного анализа формулой двойного векторного произведения

a bc b ac

r a

εr

r

εr

2

r

εr

ri

ω ωr

i

Подставляя этот результат в (4.2), получим

m r	2	ε M		e
m r		ε M

i i			i

c ab :

0, т. к.

i

2

εr

2

r ω ωr

rω

ω

r r

i

Mki .

k i

εr	2
	2
i

.

Просуммируем эти равенства по всем фрагментам твёрдого тела – по i:

	i i	2	ε		i	e		i
	m r	2			M			Mki
	m r				M			Mki
i				i			i k i

0

(равенство последнего слагаемого – суммы моментов всех внутренних сил – нулю студентам следует доказать самостоятельно),

ε i

m r	2		M	e

				i
i i
		i

.

Сумма в левой части этого равенства не зависит от взаимодействий, а определяется только геометрией тела и расположением оси вращения. Введём величину

I		i i
		m r	2
		m r
	i

(4.4)

– момент инерции тела относительно оси. Получим

Iε M

– основное уравнение динамики вращательного движения. Здесь вектор моментов внешних сил.

M

– главный

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать и относительно подвижной оси, проходящей через центр масс тела (доказать само-

стоятельно). Демонстрация: Момент силы

1.5.3. Момент инерции

Если в определении (4.4) положить mi → 0, то момент инерции тела относи-

тельно оси

M

I r2dm ; [I] = кг·м2.

0

Момент инерции – мера инертности тела во вращательном движении – скалярная физическая величина, зависящая от формы и размеров тела. Момент инерции

– аддитивная величина.

Момент инерции тела относительно точки:

41

	M		,
I		2	,
I		r dm
	0

где r – расстояние от полюса до элемента dm; M – масса тела.

Момент инерции тела относительно оси:

	M
I		2
I		r dm	,
			,
	0

где r – расстояние от оси до элемента dm.

ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

1. Тонкое кольцо (полый цилиндр)

Найти момент инерции тонкого однородного кольца массы m и радиуса R относительно его оси, т. е. относительно оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости (РИС. 4.4).

Разобьём кольцо на бесконечно малые элементы – дуги массой dm. Каждый элемент dm находится на расстоянии R от оси z. Элементарный момент инерции dI = dm·R2. Проинтегрируем по всей массе кольца:

	m
I		2	2	.
I		r dm mR		.
	0

2. Тонкий стержень

z

m

R

O

dm

Рис. 4.4

Найти момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси: а) проходящей через середину стержня перпендикулярно ему, б) проходящей через один из концов стержня перпендикулярно ему (РИС. 4.5).

	z				z
m, l		r	dm			r	dm	m, l
m, l		r			O	r		m, l

	O			dr				dr
	O

		а				б
		а				б

Рис. 4.5

Разобьём стержень на бесконечно малые элементы – отрезки длиной dr. Каждый такой отрезок будет иметь массу dm = τdr, где τ ml – линейная плотность

стержня (она постоянна по длине стержня, так как стержень однородный). Эле-

ментарный момент инерции	dI dm r	2	m	2
ментарный момент инерции	dI dm r		l	r dr , где r – расстояние от оси z до
			l

элемента dm.

В случае А) момент инерции

42

l 2	m		2m r		3	l	2	2ml	3	ml	2

I 2		2
	l	r dr	l	3				3l 8		12
0						0

.

Расчёт в случае Б) отличается пределами интегрирования:

	l	m		m r		3	l	2	ml	3	ml	2

			2
I		l	r dr	l	3				3l		3	.

	0						0

3. Однородный диск (сплошной цилиндр)

Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R относительно его
оси (РИС. 4.6).
Воспользуемся результатом решения задачи о МО-				z
МЕНТЕ ИНЕРЦИИ ТОНКОГО КОЛЬЦА. Разобьём диск на бес-

конечно тонкие кольца толщиной dr. Момент инер-				dm	m
ции кольца радиуса r и толщиной dr: dI = dm·r2, где
				r O
масса бесконечно тонкого кольца	dm = σ·dS,				R
dS = 2πrdr – площадь этого кольца, а σ	m		– по-	dr
	πR	2

верхностная плотность диска, т. е. масса единично-

го участка поверхности диска. Получим

dI	m
	πR	2

4. Однородная сфера

2πrdr

r	2		2m			3
r			R		2	r dr
					2

		R	2m
I			2m			3
I			R	2		r dr
		0	R
		0

,

2m r			4	R	mR	2
			4			2

R	2	4			2
	2
				0
				0

.

Рис. 4.6

Найти момент инерции однородной сферы массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через её центр (РИС. 4.7).

Разобьём сферу на малые участки массой dm. Мо-

z

мент инерции такого участка относительно оси z

dIz dm r

2

dm x

2

y

2

.

dm

r

Аналогично

m

dIx dm y2 z2 , dIy

dm x2 z2 .

O

Момент инерции элемента dm относительно цен-

y

тра сферы – точки O

R

dI0 dm R

2

dm x

2

y

2

z

2

.

x

Найдём моменты инерции всей сферы:	Рис. 4.7

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: