33
вектор
g
ma mg,
направлен к центру Земли. Центры масс всех тел, падающих свободно
(т. е. без каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного) вблизи по-
верхности Земли, движутся с ускорением
2. Сила упругости
g
.
Упругая деформация – деформация тела, которая полностью исчезает после прекращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие деформированного тела на тело, вызвавшее деформацию, описывается силой упругости.
Закон Гука (в случае линейной деформации):
Fупр k l ,
где l – вектор деформации (РИС. 3.8А), k – коэффициент упругости (жёст-
кость) деформируемого тела. Знак «–» означает, что деформированное тело сопротивляется деформации – пытается восстановить форму.
На РИС. 3.8 представлены разные типы деформируемых тел: А) пружина, Б) нить
(сила натяжения
T
) и В) опорная поверхность (сила реакции опоры
N
).
k |
m |
||
0 |
m |
m |
|
а |
б |
в |
Рис. 3.8
(На РИС. 3.8 m – масса груза, 0 – положение недеформированной пружины.)
Сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности от неё, а сила натяжения – вдоль натянутой нити от натягивающего её тела.
Вес тела – сила, описывающая действие тела на опору или подвес; по модулю ра-
вен силе упругости (по III закону Ньютона
P T
или
P
N
).
Природа упругости – в межмолекулярном, т. е. электромагнитном взаимодействии (см. РАЗДЕЛ 0.3), однако, при изучении механики это для нас не имеет значения.
Демонстрация: Динамометры
3. Сила сухого трения
Сила трения – составляющая силы взаимодействия соприкасающихся тел, параллельная поверхности их контакта (РИС. 3.9А). Наличие этой составляющей обу-
словлено неупругими деформациями тел.
Мы рассматриваем сухое трение, т. е. обе соприкасающиеся поверхности являются твёрдыми (в смысле агрегатного состояния; вязкое трение рассматривается в
РАЗДЕЛЕ 2.9.2).
Закон сухого трения (закон Кулона):
34
F |
μN |
тр max |
,
– максимальное значение модуля силы трения – сила трения скольжения, N – модуль силы реакции опоры, µ – коэффициент трения – безразмерная величина, зависящая от материала и состояния соприкасающихся поверхностей. Направлена же сила трения скольжения всегда против скорости тела относительно опорной поверхности.
Fтр |
||||||||
µN |
||||||||
m |
||||||||
0 |
µN |
F |
||||||
а |
б |
|||||||
Рис. 3.9 |
||||||||
График зависимости модуля силы трения от модуля силы |
F |
представлен на |
||||||
РИС. 3.9Б. До тех пор пока F < µN, тело покоится относительно опорной поверхности, а F = Fтр (наклонный участок на графике). При F ≥ µN тело начинает скользить
и Fтр = Fтр max = µN.
Демонстрация: Сила трения Трение также имеет электромагнитную природу.
1.4.6. Кинематические связи
Кинематическая связь – ограничение, накладываемое на движение тела.
1. Координатная связь
Координатная связь – ограничение, накладываемое на координаты точек и их производные при движении тела.
ПРИМЕР
Тело скользит по горизонтальному рельсу.
Перемещение, скорость и ускорение тела должны быть направлены вдоль рельса (РИС. 3.10):
r xi ; |
y,z 0 ; |
|
v vx i ; |
vy ,vz 0 |
; |
a ax i ; ay ,az 0.
2. Нить
x
Рис. 3.10
При решении многих задач нити полагаются невесомыми и нерастяжимыми.
а) Невесомая нить
Во всех точках нити модуль силы натяжения одинаков:
T const .
35 |
|||
Доказательство |
|||
Рассмотрим участок натянутой нити 1-2 |
m = 0 |
||
(РИС. 3.11). По условию невесомости масса этого |
|||
1 |
2 |
||
участка m = 0. Участки нити, находящиеся по обе |
|||
стороны от данного участка, действуют на него с |
Рис. 3.11 |
|
силами T1 и T2 . |
||
Применим к этому участку нити теорему о движении центра масс:
ma T1 T2 |
T2 T1 |
0
б) Нерастяжимая нить
Модуль скорости всех точек нити одинаков: v const .
T1
T2
, ч. т. д
Доказательство |
||
Будем отсчитывать координаты точек |
||
нити по её длине от некоторой точки |
2 |
|
(например, одного из концов нити). Рас- |
||
смотрим участок нити 1-2 (РИС. 3.12). Ко- |
||
ордината точки 1 равна l1, координата |
||
точки 2 соответственно равна l2 По усло- |
1 |
|
вию нерастяжимости длина этого участ- |
||
ка должна оставаться постоянной: |
||
l = l2 – l1 = const. |
Модули скоростей точек
v1 |
dl |
, v2 |
||
1 |
||||
dt |
1 и 2 |
Рис. 3.12 |
|
dl |
; |
|
2 |
||
dt |
||
v v dl2 |
dl1 |
d l2 l1 |
0 |
v v , ч. т. д. |
|||||
2 |
1 |
dt |
dt |
dt |
2 |
1 |
|||
0
Из этого следует, что равны и тангенциальные ускорения всех точек нити:
aτ2
aτ1
.
1.4.7. План решения задач по динамике17
1.Выбор объекта исследования и его модели: материальная точка, твёрдое тело, механическая система (указать, какие тела в неё входят)
2.Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев – лабораторная)
3.Рисунок (или несколько рисунков)
4.Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на рисунке:
сил, ускорений и т. д.
5.Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в векторной форме
17 Аналогичный план подходит и для решения задач по динамике вращательного движения, в т. ч. с использованием законов сохранения. Различия – в законе, на котором основано решение задачи. Подробное обсуждение этого плана и обучение решению задач проводится на практических занятиях.
Пример решения задачи по динамике рассматривается на СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ.
36
6.Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат для разных тел)
7.Запись закона в проекциях на оси системы координат
8.Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных уравнений (другие законы, уравнения связей и т. п.)
9.Решение полученной системы уравнений в общем виде
10.Анализ результата и проверка размерностей18
11.Численный расчёт и оценка его результата
1.4.8. Импульс. Другая форма II закона Ньютона
Преобразуем выражение II закона Ньютона:
ma F |
|
a |
dv |
dt |
|
m |
dv |
F |
|
dt |
|||
,
d mv |
F |
(3.5) |
|
dt |
|||
– II закон Ньютона в дифференциальной форме.
В этом выражении под знаком дифференциала стоит векторная физическая величина, характеризующая инертность и движение тела – импульс материальной
точки
p mv |
; |
|||||||
p |
кг м |
. |
||||||
с |
||||||||
Из (3.5) получим |
||||||||
, |
||||||||
d |
mv |
Fdt |
||||||
Fdt – импульс силы. II закон Ньютона можно сформулировать так: изменение импульса тела равно импульсу силы.
По определению, импульс механической системы равен сумме импульсов тел (материальных точек), входящих в эту систему:
P pi .
Импульс механической системы равен произведению массы M системы на скорость vC её центра масс:
P MvC .
Доказательство
Исходя из определения импульса механической системы,
P pi mi vi mi drdti dtd mi ri
18 Рекомендуется контролировать размерности в течение всего решения задачи.
37
(см. РИС. 3.4)19,
vi
– скорость i-ой материальной точки. В обозначениях этого ри-
сунка ri rC ρi |
. Поэтому |
0, т. к. точка C – центр масс |
||||
P |
d |
mi rC mi ρi mi |
dr |
Mv , ч. т. д. |
||
C |
||||||
dt |
dt |
|||||
Преобразуем выражение теоремы о движении центра масс:
Ma Fe M |
dvC |
Fe |
d Mv |
Fe |
|||||||||||
C |
, |
||||||||||||||
C |
dt |
dt |
|||||||||||||
dP |
Fe |
. |
|||||||||||||
dt |
|||||||||||||||
Если система замкнута, то |
F |
e |
0 |
и |
|||||||||||
dP |
0 |
P const |
|||||||||||||
dt |
|||||||||||||||
– закон сохранения импульса механической системы: импульс замкнутой си-
стемы остаётся неизменным с течением времени.
На самом деле закон сохранения импульса не выводится, а следует из свойств пространства-времени (см. РАЗДЕЛ 1.1.2).
Более подробно закон сохранения импульса будет рассмотрен в ПАРАГРАФЕ 1.6.
19 Разумеется, в «живой» лекции этот рисунок нужно сделать заново.