Материал: конспект-лекций
11
Большинство сигналов, встречающихся на практике, представлены во временной области функциями времени. При отображении сигналов на графике одной из координат (независимой)
является ось времени, а другой координатой (зависимой) – ось амплитуд. Тем самым мы получаем амплитудно-временное представление сигнала. В общем случае описание сигнала задается функ-
циональной зависимостью определенного информационного параметра сигнала от независимой переменной (аргумента) – s(х), y(t) и т.п. Такая форма описания и графического представления сигналов называется динамической (сигнал в реальной динамике его поведения по аргументам).
Функции математического описания сигналов могут быть как вещественными, так и комплексны-
ми. Выбор математического аппарата описания определяется простотой и удобством его исполь-
зования при анализе и обработке сигналов.
Отметим двойственность применения описания сигналов функциями типа s(t) и т.п. С од-
ной стороны, s(t) – это величина, равная значению функции в момент времени t. С другой сторо-
ны, мы обозначаем через s(t) и саму функцию, т.е. то правило, по которому каждому значению t
ставится в соответствие определенная величина s. В большинстве аналитических выражений это не вызывает недоразумений и при однозначном соответствии значений сигналов их аналитиче-
ским выражениям принимается по умолчанию.
Сделаем также одно замечание по терминологии описания сигналов. В теоретических рабо-
тах по анализу сигналов конкретные значения величины сигнала (отсчеты значений по аргументу)
часто именуют координатами сигнала. В отраслях знаний, связанных с геологией и горным делом,
и в геофизической практике в том числе, этот термин используется по своему прямому смыслово-
му назначению – пространственных координат результатов измерений, и является неизменным атрибутом всех геолого-геофизических данных. С учетом последнего фактора условимся приме-
нять термин “координата” по своему традиционному смысловому назначению в качестве обобща-
ющего термина для независимых переменных сигнальных функций. При этом под понятием коор-
динат значений сигнала будем понимать не только какие-либо пространственные координаты, как это непосредственно имеет место для результатов измерений при геолого-геофизических съемках,
но и любые другие аргументы, на числовой оси которых отложены значения или отсчеты сигнала и рассматривается динамика его изменения (пример на рис. 1.1.1).
Спектральное представление сигналов. Кроме привычного динамического представления сигналов и функций в виде зависимости их значений от определенных аргументов (времени, ли-
нейной или пространственной координаты и т.п.) при анализе и обработке данных широко исполь-
зуется математическое описание сигналов по аргументам, обратным аргументам динамического представления. Так, например, для времени обратным аргументом является частота. Возможность такого описания определяется тем, что любой сколь угодно сложный по своей форме сигнал, не имеющий разрывов второго рода (бесконечных значений на интервале своего задания), можно представить в виде суммы более простых сигналов, и, в частности, в виде суммы простейших гар-
12
монических колебаний, что выполняется при помощи преобразования Фурье. Соответственно, ма-
тематически разложение сигнала на гармонические составляющие описывается функциями значе-
ний амплитуд и начальных фаз колебаний по непрерывному или дискретному аргументу – частоте изменения функций на определенных интервалах аргументов их динамического представления.
Совокупность амплитуд гармонических колебаний разложения называют амплитудным спектром
сигнала, а совокупность начальных фаз – фазовым спектром. Оба спектра вместе образуют пол-
ный частотный спектр сигнала, который по точности математического представления тождестве-
нен динамической форме описания сигнала.
Линейные системы преобразования сигналов описываются дифференциальными уравнени-
ями, причем для них верен принцип суперпозиции, согласно которому реакция систем на сложный сигнал, состоящий из суммы простых сигналов, равна сумме реакций от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на гармоническое колеба-
ние с определенной частотой определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд гармоник по частотному спектру сигнала. Широкое использование гармонических функ-
ций при анализе сигналов объясняется тем, что они являются достаточно простыми ортогональ-
ными функциями и определены при всех значениях непрерывных переменных. Кроме того, они являются собственными функциями времени, сохраняющими свою форму при прохождении коле-
баний через любые линейные системы и системы обработки данных с постоянными параметрами
(изменяются только амплитуда и фаза колебаний). Немаловажное значение имеет и то обстоятель-
ство, что для гармонических функций и их комплексного анализа разработан мощный математи-
ческий аппарат.
Примеры частотного представления сигналов приводятся ниже (рис. 1.1.5 – 1.1.12).
Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие виды разложения сигналов: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, полиномам Чебышева, Лаггера, Лежандра и др. Главное усло-
вие однозначности и математической идентичности отображения сигналов - ортогональность функций разложения. Но при качественном анализе сигналов могут применяться и неортогональ-
ные функции, выявляющие какие-либо характерные особенности сигналов, полезные для интер-
претации физических данных.
Математические модели сигналов. Теория анализа и обработки физических данных бази-
руется на математических моделях соответствующих физических полей и физических процессов,
на основе которых создаются математические модели сигналов. Математические модели сигналов дают возможность обобщенно, абстрагируясь от физической природы, судить о свойствах сигна-
лов, предсказывать изменения сигналов в изменяющихся условиях, заменять физическое модели-
рование процессов математическим. С помощью математических моделей имеется возможность описывать свойства сигналов, которые являются главными, определяющими в изучаемых процес-
сах, и игнорировать большое число второстепенных признаков. Знание математических моделей
13
сигналов дает возможность классифицировать их по различным признакам, характерным для того или иного типа моделей. Так, сигналы разделяются на неслучайные и случайные в зависимости от возможности точного предсказания их значений в любые моменты времени. Сигнал является не-
случайным и называется детерминированным, если математическая модель позволяет осуществ-
лять такое предсказание. Детерминированный сигнал задается, как правило, математической функцией или вычислительным алгоритмом, а математическая модель сигнала может быть пред-
ставлена в виде
s = F(t, z, ,…; A, B, C,…),
где s – информативный параметр сигнала; t, z, w, … – независимые аргументы (время, простран-
ственная координата, частота и др.); A, B, C… – параметры сигналов.
Модель должна быть, по возможности, проще, минимизирована по количеству независи-
мых аргументов и адекватна изучаемому процессу, что во многом предопределяет результаты из-
мерений. Рассмотрим этот вопрос на примере геофизических данных.
Под геофизическим полем понимают собственное или индуцированное определенным внешним воздействием распределение какой-либо физической величины, создаваемое геологиче-
ским объектом или геологической структурой в пространстве, во времени или по любому другому аргументу (независимой переменной). В простейшем случае геофизический сигнал - это измене-
ние какой-либо составляющей геофизического поля, т.е. сечение поля по одному из аргументов. В
пределе все геофизическое поле в целом может рассматриваться как первичный многомерный сигнал в прямом физическом отображении, с которого путем измерений могут сниматься форма-
лизованные копии определенных составляющих (сечений) сигнала на материальные носители ин-
формации.
Геофизическим полям в определенных условиях их регистрации соответствуют определен-
ные математические модели сигналов, т.е. их описание на каком-либо формальном языке. Мате-
матическое описание не может быть всеобъемлющим и идеально точным и, по существу, всегда отображает не реальные объекты, а их упрощенные (гомоморфные) модели. Модели могут зада-
ваться таблицами, графиками, функциональными зависимостями, уравнениями состояний и пере-
ходов из одного состояния в другое и т.п. Формализованное описание может считаться математи-
ческой моделью оригинала, если оно позволяет с определенной точностью прогнозировать состо-
яние и поведение изучаемых объектов путем формальных процедур над их описанием.
Неотъемлемой частью любой математической модели сигнала является область определе-
ния сигнала, которая устанавливается интервалом задания независимой переменной. Примеры за-
дания интервала для переменных:
a ≤ x ≤ b, a < y ≤ b, a < z < b,
x [a, b]. y (a, b]. z (a, b).
14
Пространство значений независимой переменной обычно обозначается через индекс R. Так,
например, R:=(- , + ), x R.
Кроме задания области определения сигнала могут быть также заданы виды численных значений переменных (целые, рациональные, вещественные, комплексные).
Математические модели полей и сигналов на первом этапе обработки и анализа результатов наблюдений должны позволять в какой-то мере игнорировать их физическую природу и возвра-
щать ее в модель только на заключительном этапе интерпретации данных.
Виды моделей сигналов. При анализе физических данных используются два основных под-
хода к созданию математических моделей сигналов.
Первый подход оперирует с детерминированными сигналами, значения которых в любой момент времени или в произвольной точке пространства (а равно и в зависимости от любых дру-
гих аргументов) являются априорно известными или могут быть достаточно точно определены
(вычислены). Такой подход удобен в прямых задачах геофизики (расчеты полей для заданных мо-
делей сред), в задачах активных воздействий на среду при заранее известных параметрах и форме сигнала воздействия (вибрационная сейсморазведка, электромагнитные методы каротажа и пр.), а
также при использовании хорошо известных и достоверных геолого-геофизических данных. Для описания неслучайных сигналов используются также квазидетерминированные модели, в которых значения одного или нескольких параметров априорно неизвестны, и считаются случайными ве-
личинами с малой случайной компонентой, влиянием которой можно пренебречь.
Второй подход предполагает случайный характер сигналов, закон изменения которых во времени (или в пространстве) носит случайный характер, и которые принимают конкретные зна-
чения с некоторой вероятностью. Модель такого сигнала представляет собой описание статисти-
ческих характеристик случайного процесса путем задания законов распределения вероятностей,
корреляционной функции, спектральной плотности энергии и др.
Случайность может быть обусловлена как собственной физической природой сигналов, что характерно, например, для методов ядерной геофизики, так и вероятностным характером реги-
стрируемых сигналов как по времени или месту их появления, так и по содержанию. С этих пози-
ций случайный сигнал может рассматриваться как отображение случайного по своей природе процесса или физических свойств объекта (процесса), которые определяются случайными пара-
метрами или сложным строением геологической среды, результаты измерений в которой трудно предсказуемы.
Между этими двумя видами сигналов нет резкой границы. Строго говоря, детерминирован-
ных процессов и отвечающих им детерминированных сигналов в природе не существует. Даже сигналы, хорошо известные на входе в среду (при внешнем воздействии на нее), по месту их реги-
страции всегда осложнены случайными помехами, влиянием дестабилизирующих факторов и априорно неизвестными параметрами, и строением самой среды. С другой стороны, модель слу-
15
чайного поля часто аппроксимируется методом суперпозиции (сложения) сигналов известной формы. Детерминированные модели могут использоваться и для изучения чисто случайных про-
цессов, если уровень полезного сигнала в этом процессе значительно выше уровня статистических флюктуаций, что имеет место, например, при регистрации ионизирующих излучений от горных пород.
На выбор математической модели поля в том или ином методе геофизики в немалой степе-
ни влияет также сложность математического аппарата обработки сигналов и сложившиеся тради-
ции геологической интерпретации результатов наблюдений. Не исключается и изменение модели,
как правило, с переводом из вероятностной в детерминированную, в процессе накопления инфор-
мации об изучаемом явлении или объекте.
Классификация сигналов осуществляется на основании существенных признаков соответ-
ствующих математических моделей сигналов. Все сигналы разделяют на две крупных группы: де-
терминированные и случайные. Классификация сигналов внутри групп приведена на рис. 1.1.4.
Рис. 1.1.4. Классификация сигналов.
С математических позиций группы сигналов обычно называют множествами, в которые объединяют сигналы по какому-либо общему свойству. Принадлежность сигнала s к множеству LР
записывается в виде LP = {s; P}, где Р – определенное свойство данного множества сигналов.
Классификация детерминированных сигналов. Обычно выделяют два класса детермини-
рованных сигналов: периодические и непериодические.
К множеству периодических относят гармонические и полигармонические сигналы. Для периодических сигналов выполняется общее условие s(t) = s(t + kT), где k = 1, 2, 3, ... - любое це-
лое число (из множества целых чисел I от -∞ до ∞), Т - период, являющийся конечным отрезком независимой переменной. Множество периодических сигналов:
LP = {s(t); s(t+kT) = s(t), -∞ < t < ∞, k I}.
Рис. 1.1.5. Гармонический сигнал и спектр его амплитуд. Гармонические сигналы (синусоидальные), описываются следующими формулами: