Материал: конспект-лекций

21

ческие сигналы. Большинство практических сигналов являются нестационарными на достаточно больших интервалах задания, но могут содержать в своем составе стационарные частотные со-

ставляющие. Так, модулированные сигналы радио и телевидения относятся к числу нестационар-

ных, но имеют стационарные несущие частоты.

Классификация случайных сигналов. Случайным сигналом называют функцию времени,

значения которой заранее неизвестны, и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью.

Случайный сигнал отображает случайное физическое явление или физический процесс, причем,

зарегистрированный в единичном наблюдении, сигнал не воспроизводится при повторных наблю-

дениях и не может быть описан явной математической зависимостью. При регистрации случайно-

го сигнала реализуется только один из возможных вариантов (исходов) случайного процесса, а до-

статочно полное и точное описание процесса в целом можно произвести только после многократ-

ного повторения наблюдений и вычисления определенных статистических характеристик ансам-

бля реализаций сигнала. В качестве основных статистических характеристик случайных сигналов принимают:

а) закон распределения вероятности нахождения величины сигнала в определенном интер-

вале значений;

б) спектральное распределение мощности сигнала.

Случайные сигналы подразделяют на стационарные и нестационарные. Случайные стацио-

нарные сигналы сохраняют свои статистические характеристики в последовательных реализациях случайного процесса. Что касается случайных нестационарных сигналов, то их общепринятой классификации не существует. Как правило, из них выделяют различные группы сигналов по осо-

бенностям их нестационарности.

1.2. ТИПЫ СИГНАЛОВ [1,10,15]

Выделяют следующие типы сигналов, которым соответствуют определенные формы их ма-

тематического описания.

Аналоговый сигнал (analog signal) является непрерыв-

ной функцией непрерывного аргумента, т.е. определен для любого значения аргументов. Источниками аналоговых сиг-

налов, как правило, являются физические процессы и явле-

ния, непрерывные в динамике своего развития во времени, в

пространстве или по любой другой независимой переменной,

при этом регистрируемый сигнал подобен (“аналогичен”) по-

рождающему его процессу. Пример математической записи сигнала: y(t) = 4.8 exp[-(t-4)2/2.8].

Пример графического отображения данного сигнала приведен на рис. 1.2.1, при этом как сама функция, так и ее аргументы, могут принимать любые значения в пределах некоторых интервалов y1 y y2, t1 t t2. Если интервалы значений сигнала или его независимых переменных не

22

ограничиваются, то по умолчанию они принимаются равными от - до + . Множество возмож-

ных значений сигнала образует континуум - непрерывное пространство, в котором любая сиг-

нальная точка может быть определена с точностью до бесконечности. Примеры сигналов, анало-

говых по своей природе - изменение напряженности электрического, магнитного, электромагнит-

ного поля во времени и в пространстве.

2,...,N. Величина, обратная шагу дискретизации: f = 1/ t, называется частотой дискретизации

(sampling frequency). Если дискретный сигнал получен дискретизацией (sampling) аналогового сигнала, то он представляет собой последовательность отсчетов, значения которых в точности равны значениям исходного сигнала по координатам n t.

Пример дискретизации аналогового сигнала, приведенного на рис. 1.2.1, представлен на рис. 1.2.2. При t = const (равномерная дискретизация данных) дискретный сигнал можно описы-

вать сокращенным обозначением y(n). В технической литературе в обозначениях дискретизиро-

ванных функций иногда оставляют прежние индексы аргументов аналоговых функций, заключая последние в квадратные скобки - y[t]. При неравномерной дискретизации сигнала обозначения дискретных последовательностей (в текстовых описаниях) обычно заключаются в фигурные скоб-

ки - {s(ti)}, а значения отсчетов приводятся в виде таблиц с указанием значений координат ti. Для числовых последовательностей (равномерных и неравномерных) применяется и следующее чис-

ловое описание: s(ti) = {a1, a2, ..., aN}, t = t1, t2, ...,tN. Примеры дискретных геофизических сигналов -

результаты вертикального электрического зондирования (дискретная величина разноса токовых электродов), профили геохимического опробования, и т.п.

Цифровой сигнал (digital signal) квантован по своим значениям и дискретен по аргументу.

Он описывается квантованной решетчатой функцией yn = Qk[y(n t)], где Qk - функция квантования с числом уровней квантования k, при этом интервалы квантования могут быть как с равномерным распределением, так и с неравномерным, например - логарифмическим. Задается цифровой сиг-

нал, как правило, в виде дискретного ряда (discrete series) числовых данных - числового массива по последовательным значениям аргумента при t = const, но в общем случае сигнал может зада-

ваться и в виде таблицы для произвольных значений аргумента.

23

По существу, цифровой сигнал по своим значениям

(отсчетам) является формализованной разновидностью дис-

кретного сигнала при округлении отсчетов последнего до определенного количества цифр, как это показано на рис

1.2.3. Цифровой сигнал конечен по множеству своих значе-

ний. Процесс преобразования бесконечных по значениям ана-

Рис. 1.2.3. Цифровой сигнал логовых отсчетов в конечное число цифровых значений назы-

вается квантованием по уровню, а возникающие при квантовании ошибки округления отсчетов

(отбрасываемые значения) – шумами (noise) или ошибками (error) квантования (quantization).

В системах цифровой обработки данных и в ЭВМ сигнал всегда представлен с точностью до определенного количества разрядов, а, следовательно, всегда является цифровым. С учетом этих факторов при описании цифровых сигналов функция квантования обычно опускается (подра-

зумевается равномерной по умолчанию), а для описания сигналов используются правила описания дискретных сигналов. Что касается формы обращения цифровых сигналов в системах хранения,

передачи и обработки, то, как правило, они представляет собой комбинации коротких одноили двуполярных импульсов одинаковой амплитуды, которыми в двоичном коде с определенным коли-

чеством числовых разрядов кодируются числовые последовательности сигналов (массивов дан-

ных).

В принципе, квантованными по своим значениям могут быть и аналоговые сигналы, зарегистрированные со-

ответствующей аппаратурой (рис. 1.2.4), которые принято называть дискретно-аналоговыми. Но выделять эти сигна-

лы в отдельный тип не имеет смысла - они остаются анало-

говыми кусочно-непрерывными сигналами с шагом кван-

Рис. 1.2.4. Дискретно-аналоговый

тования, который определяется допустимой погрешностью

сигнал

измерений.

Большинство сигналов, с которыми приходится иметь дело при обработке геофизических данных, являются аналоговыми по своей природе, дискретизированными и квантованными в силу методических особенностей измерений или технических особенностей регистрации, т.е. преобра-

зованными в цифровые сигналы. Но существуют и сигналы, которые изначально относятся к клас-

су цифровых, как, например, отсчеты количества гамма-квантов, зарегистрированных по последо-

вательным интервалам времени.

Преобразования типа сигналов. Формы математического отображения сигналов, особенно на этапах их первичной регистрации (детектирования) и в прямых задачах описания геофизиче-

ских полей и физических процессов, как правило, отражают их физическую природу. Однако по-

следнее не является обязательным и зависит от методики измерений и технических средств детек-

24

тирования, преобразования, передачи, хранения и обработки сигналов. На разных этапах процес-

сов получения и обработки информации как материальное представление сигналов в устройствах регистрации и обработки, так и формы их математического описания при анализе данных, могут изменяться путем соответствующих операций преобразования типа сигналов.

Операция дискретизации (discretization) осуществляет преобразование аналоговых сигна-

лов (функций), непрерывных по аргументу, в функции мгновенных значений сигналов по дис-

кретному аргументу. Дискретизация обычно производится с постоянным шагом по аргументу

(равномерная дискретизация), при этом s(t) s(n t), где значения s(n t) представляют собой отсчеты функции s(t) в моменты времени t = n t, n = 0, 1, 2,..., N. Частота, с которой выполняются замеры аналогового сигнала, называется частотой дискретизации. В общем случае, сетка отсче-

тов по аргументу может быть произвольной, как, например, s(t)s(tk), k=1, 2, …, K, или зада-

ваться по определенному закону. В результате дискретизации непрерывный (аналоговый) сигнал переводится в последовательность чисел.

Операция восстановления аналогового сигнала из его дискретного представления обратна операции дискретизации и представляет, по существу, интерполяцию данных.

Дискретизация сигналов может приводить к определенной потере информации о поведении сигналов в промежутках между отсчетами. Однако существуют условия, определенные теоремой Котельникова-Шеннона, согласно которым аналоговый сигнал с ограниченным частотным спек-

тром может быть без потерь информации преобразован в дискретный сигнал, и затем абсолютно точно восстановлен по значениям своих дискретных отсчетов.

Как известно, любая непрерывная функция может быть разложена на конечном отрезке в ряд Фурье, т.е. представлена в спектральной форме - в виде суммы ряда синусоид с кратными (ну-

мерованными) частотами с определенными амплитудами и фазами. У относительно гладких функций спектр быстро убывает (коэффициенты модуля спектра быстро стремятся к нулю). Для представления "изрезанных" функций, с разрывами и "изломами", нужны синусоиды с большими частотами. Говорят, что сигнал имеет ограниченный спектр, если после определенной частоты F

все коэффициенты спектра равны нулю, т.е. сигнал представляется в виде конечной суммы ряда Фурье.

Теоремой Котельникова-Шеннона устанавливается, что если спектр сигнала ограничен ча-

стотой F, то после дискретизации сигнала с частотой не менее 2F можно восстановить исходный непрерывный сигнал по полученному цифровому сигналу абсолютно точно. Для этого нужно вы-

полнить интерполяцию цифрового сигнала "между отсчетами" специальной функцией (Котельни-

кова-Шеннона).

На практике эта теорема имеет огромное значение. Например, известно, что диапазон зву-

ковых сигналов, воспринимаемых человеком, не превышает 20 кГц. Следовательно, при дискрети-

зации записанных звуковых сигналов с частотой не менее 40 кГц мы можем точно восстановить

25

исходный аналоговый сигнал по его цифровым отсчетам, что и выполняется в проигрывателях компакт-дисков для восстановления звука. Частота дискретизации звукового сигнала при записи на компакт-диск составляет 44100 Гц.

Операция квантования или аналого-цифрового преобразования (АЦП; английский термин

Analog-to-Digital Converter, ADC) заключается в преобразовании дискретного сигнала s(tn) в циф-

ровой сигнал s(n) = sn s(tn), n = 0, 1, 2,.., N, как правило, кодированный в двоичной системе счис-

ления. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню

(quantization), а возникающие при этом потери информации за счет округления – ошибками или шумами квантования (quantization error, quantization noise).

При преобразовании аналогового сигнала непосредственно в цифровой сигнал операции дискретизации и квантования совмещаются.

Операция цифро-аналогового преобразования (ЦАП; Digital-to-Analog Converter, DAC)

обратна операции квантования, при этом на выходе регистрируется либо дискретно-аналоговый сигнал s(tn), который имеет ступенчатую форму (рис. 1.2.4), либо непосредственно аналоговый сигнал s(t), который восстанавливается из s(tn), например, путем сглаживания.

Так как квантование сигналов всегда выполняется с определенной и неустранимой погреш-

ностью (максимум - до половины интервала квантования), то операции АЦП и ЦАП не являются взаимно обратными с абсолютной точностью.

Алиасинг. А что произойдет, если спектр аналогового сигнала был неограниченным или имел частоту, выше частоты дискретизации?

услышим шумовой сигнал на частоте 30 – 44.1/2 8 кГц. Восстановленный сигнал будет выгля-

деть так, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, "зеркально" от нее отразились в нижнюю часть спектра и сложились с присутствующими там гармониками. Это так называемый эффект появления ложных (кажущихся) частот (aliasing). Эффект аналогичен всем известному эффекту обратного вращения колес автомобиля на экранах кино и телевизоров,

когда скорость их вращения начинает превышать частоту смены кадров. Природу эффекта можно наглядно видеть на рис. 1.2.5. Аналогично в главный частотный диапазон дискретных сигналов

"отражаются" от частоты дискретизации и все высокочастотные шумы, присутствующие в исход-