Материал: конспект-лекций
|
16 |
|
|
|
s(t) = A sin (2 fоt+ ) = A sin ( |
оt+ ), |
|
|
s(t) = A cos( оt+ |
), |
(1.1.1) |
где А, fo, o, |
- постоянные величины, которые могут исполнять роль информационных па- |
||
раметров сигнала: А - амплитуда сигнала, fо - циклическая частота в герцах, |
о = 2 fо - угловая |
||
частота в радианах, и - начальные фазовые углы в радианах. Период одного колебания T = 1/fо
= 2 / o. При = - /2 синусные и косинусные функции описывают один и тот же сигнал. Ча-
стотный спектр сигнала представлен амплитудным и начальным фазовым значением частоты fо
(при t = 0).
Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную группу пе-
риодических сигналов и описываются суммой гармонических колебаний:
N |
|
s(t) = An sin (2 fnt+ n), |
(1.1.2) |
n 0 |
|
или непосредственно функцией s(t) = y(t kTp), k = 1,2,3,..., где Тр - период одного полного коле-
бания сигнала y(t), заданного на одном периоде. Значение fp =1/Tp называют фундаментальной ча-
стотой колебаний. Полигармонические сигналы представляют собой сумму определенной посто-
янной составляющей (fо=0) и произвольного (в пределе - бесконечного) числа гармонических со-
ставляющих с произвольными значениями амплитуд An и фаз n, с периодами, кратными периоду фундаментальной частоты fp. Другими словами, на периоде фундаментальной частоты fp, которая равна или кратно меньше минимальной частоты гармоник, укладывается кратное число периодов всех гармоник, что и создает периодичность повторения сигнала. Частотный спектр полигармони-
ческих сигналов дискретен, в связи с чем второе распространенное математическое представление сигналов - в виде спектров (рядов Фурье).
В качестве примера на рис. 1.1.6 приведен отрезок периодической сигнальной функции, ко-
торая получена суммированием постоянной составляющей (частота постоянной составляющей равна 0) и трех гармонических колебаний с разными значениями частоты и начальной фазы коле-
баний. Математическое описание сигнала задается формулой:
3
s(t) = Ak cos(2 fk t+ k),
k 0
где: Ak = {5, 3, 4, 7} - амплитуда гармоник; fk = {0, 40, 80, 120} - частота в герцах; k = {0, -0.4, -0.6, -0.8} - начальный фазовый угол колебаний в радианах; k = 0, 1, 2, 3. Фундаментальная частота сигнала 40 Гц.
17
Частотное представление данного сигнала (спектр сигнала) приведено на рис. 1.1.7. Обратим внимание, что ча-
стотное представление периодического сигнала s(t), ограни-
ченного по числу гармоник спектра, составляет всего восемь отсчетов и весьма компактно по сравнению с временным представлением.
Периодический сигнал любой произвольной формы может быть представлен в виде суммы гармонических коле-
баний с частотами, кратными фундаментальной частоте ко-
лебаний fр = 1/Тр. Для этого достаточно разложить один пе-
риод сигнала в ряд Фурье по тригонометрическим функциям синуса и косинуса с шагом по частоте, равным фундаментальной частоте колебаний f = fp:
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
s(t) = |
|
(ak cos 2 |
k ft + bk sin 2 k ft), |
|||||
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
ao = (1/T) |
T |
|
|
|
|
T |
|
|
s(t) dt, |
|
ak = (2/T) |
|
s(t) cos 2 k ft dt, |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
bk = (2/T) |
|
s(t) sin 2 |
|
k |
ft dt. |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(1.1.3)
(1.1.4)
(1.1.5)
Количество членов ряда Фурье K = kmax обычно ограничивается максимальными частотами fmax гармонических составляющих в сигналах так, чтобы fmax < K·fp. Однако для сигналов с разры-
вами и скачками имеет место fmax , при этом количество членов ряда ограничивается по допу-
стимой погрешности аппроксимации функции s(t).
Одночастотные косинусные и синусные гармоники можно объединить и представить раз-
ложение в более компактной форме:
|
K |
|
|
|
s(t) = |
|
Sk cos (2 k ft- k), |
||
|
k 0 |
|
|
|
Sk = |
2 |
2 |
, |
k = argtg (bk/ak). |
ak bk |
||||
(1.1.3')
(1.1.6)
Рис. 1.1.8. Прямоугольный периодический сигнал (меандр).
Пример представления прямоугольного периодического сигнала (меандра) в виде ампли-
тудного ряда Фурье в частотной области приведен на рис. 1.1.8. Сигнал четный относительно t=0,
не имеет синусных гармоник, все значения k для данной модели сигнала равны нулю.
18
Информационными параметрами полигармонического сигнала могут быть как определен-
ные особенности формы сигнала (размах от минимума до максимума, экстремальное отклонение от среднего значения, и т.п.), так и параметры определенных гармоник в этом сигнале. Так,
например, для прямоугольных импульсов информационными параметрами могут быть период по-
вторения импульсов, длительность импульсов, скважность импульсов (отношение периода к дли-
тельности). При анализе сложных периодических сигналов информационными параметрами могут также быть:
- Текущее среднее значение за определенное время, например, за время периода:
|
|
t T |
||||||
(1/Т) |
|
|
|
s(t) dt. |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
||
- Постоянная составляющая одного периода: |
||||||||
(1/Т) |
|
T |
s(t) dt. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
- Среднее выпрямленное значение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
||||
(1/Т) |
|
|s(t)| dt. |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
||
- Среднее квадратичное значение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
2 |
|||
T |
0 |
x(t) dt . |
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
К непериодическим сигналам относят почти периодические и апериодические сигналы.
Основным инструментом их анализа также является частотное представление.
Почти периодические сигналы близки по своей форме к полигармоническим. Они также представляют собой сумму двух и более гармонических сигналов (в пределе – до бесконечности),
но не с кратными, а с произвольными частотами, отношения которых (хотя бы двух частот мини-
мум) не относятся к рациональным числам, вследствие чего фундаментальный период суммарных колебаний бесконечно велик.
|
Так, например, сумма двух гармо- |
|
ник с частотами 2f и 3.5f дает перио- |
|
дический сигнал (2/3.5 – рациональное |
|
число) с фундаментальной частотой |
|
0.5f , на одном периоде которой будут |
|
укладываться 4 периода первой гармони- |
Рис. 1.1.9. Почти периодический сигнал и спектр его |
ки и 7 периодов второй. Но если значе- |
|
|
амплитуд. |
ние частоты второй гармоники заменить |
|
|
|
|
близким значением 
12 f , то сигнал перейдет в разряд непериодических, поскольку отношение 2/
12 не относится к числу рациональных чисел. Как правило, почти периодические сигналы по-
рождаются физическими процессами, не связанными между собой. Математическое отображение
19
сигналов тождественно полигармоническим сигналам (сумма гармоник), а частотный спектр так-
же дискретен.
Апериодические сигналы составляют основную группу непериодических сигналов и зада-
ются произвольными функциями времени. На рис. 1.1.10 показан пример апериодического сигна-
ла, заданного формулой на интервале (0, ):
s(t) = exp(-a t) - exp(-b t),
где a и b – константы, в данном случае a = 0.15, b = 0.17.
Рис. 1.1.10. Апериодический сигнал и модуль спектра. Рис. 1.1.11. Импульсный сигнал и мо-
дуль спектра.
К апериодическим сигналам относятся также импульсные сигналы, которые в радиотехни-
ке и в отраслях, широко ее использующих, часто рассматривают в виде отдельного класса сигна-
лов. Импульсы представляют собой сигналы, как правило, определенной и достаточно простой формы, существующие в пределах конечных временных интервалов. Сигнал, приведенный на рис.
1.1.11, относится к числу импульсных.
Частотный спектр апериодических сигналов непрерывен и может содержать любые гармо-
ники в частотном интервале [0, ]. Для его вычисления используется интегральное преобразова-
ние Фурье, которое можно получить переходом в формулах (1.1.3) от суммирования к интегриро-
ванию при f 0 и k f f.
|
|
|
|
|
s(t) = 0 |
(a(f) cos 2 ft + b(f) sin 2 |
ft) df = 0 |
S(f) cos(2 ft- (f)) df. |
(1.1.7) |
a(f) =
T0
s(t) cos 2
ft dt, b(f) =
T0
s(t) sin 2
ft dt,
(1.1.8)
S(f) = 
a(f)2 b(f)2 , (f) = argtg (b(f)/a(f)). (1.1.9)
Частотные функции a(f), b(f) и S(f) представляют собой не амплитудные значения соответ-
ствующих гармоник на определенных частотах, а распределения спектральной плотности ампли-
туд этих гармоник по частотной шкале. Формулы (1.1.8-1.1.9) обычно называют формулами пря-
мого преобразования Фурье, формулы (1.1.7) – обратного преобразования.
Если нас не интересует поведение сигнала за пределами области его задания [0, Т], то эта область может восприниматься, как один период периодического сигнала, т.е. значение Т прини-
мается за фундаментальную частоту периодический колебаний, при этом для частотной модели
20
сигнала может применяться разложение в ряды Фурье по области его задания (1.1.3-1.1.6).
В классе импульсных сигналов выделяют подкласс радиоимпульсов. Пример радиоимпуль-
са приведен на рис. 1.1.12.
|
Уравнение |
радиоимпульса |
|
||
|
имеет вид |
|
|
s(t) = u(t) cos(2 |
fot+ o). |
|
где cos(2 fot+ o) – гармоническое |
|
|
колебание заполнения радиоимпуль- |
|
|
са, u(t) – огибающая радиоимпульса. |
|
Рис. 1.1.12. Радиоимпульс и модуль его спектра. |
Положение главного |
пика спектра |
|
|
|
|
радиоимпульса на частотной шкале |
|
|
||
соответствует частоте заполнения fo, а его ширина определяется длительностью радиоимпульса.
Чем больше длительность радиоимпульса, тем меньше ширина главного частотного пика.
С энергетических позиций сигналы разделяют на два типа: с ограниченной (конечной)
энергией и с бесконечной энергией.
Для множества сигналов с ограниченной энергией должно выполняться условие:
L2E = {s;
|s(t)|2 dt < ∞}.
О сигналах s(t) данного множества принято говорить, что они интегрируемы с квадратом.
Очевидно, что этому множеству могут соответствовать только сигналы, стремящиеся к нулю на
бесконечности: |
lim |
s(t) → 0. |
|
|t| |
|
Как правило, к этому типу сигналов относятся апериодические и импульсные сигналы, не имеющие разрывов 2-го рода при ограниченном количестве разрывов 1-го рода. Любые периоди-
ческие, полигармонические и почти периодические сигналы, а также сигналы с разрывами и осо-
быми точками 2-го рода, уходящими в бесконечность, относятся к сигналам с бесконечной энер-
гией. Для их анализа применяются специальные методы.
Для бесконечных по энергии сигналов, в том числе для периодических, ограничение по энергии может задаваться для определенного интервала (периода) T = t1-t2:
L2E(T) = {s; t2t1 |s(t)|2 dt < ∞}.
Иногда в отдельный класс выделяют сигналы конечной длительности, отличные от нуля только на ограниченном интервале аргументов (независимых переменных). Такие сигналы обычно называют финитными.
С позиций временной динамики сигналы подразделяются на стационарные и нестацио-
нарные. Стационарными называются сигналы, частотный спектр которых не изменяется во време-
ни и не зависит от интервала задания сигналов. К ним относятся периодические и почти периоди-