Материал: конспект-лекций

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам
Следовательно:
Rx( )= c2
Рис. 9.4.2. Функция корреляции сигнала.

 

201

 

 

Телеграфный сигнал -

это случайный процесс

 

 

xk(t), представляющий собой

последовательность пря-

 

моугольных положительных и отрицательных импульсов

Рис. 9.4.1. Телеграфный сигнал.

со случайными длительностями и детерминированными

 

 

 

значениями амплитуд c и -с,

причем перемены знака

 

внутри любого интервала (t, t+ ) происходят с интенсивностью в случайные моменты времени,

и не зависят от процессов в смежных интервалах времени. Если считать случайной величиной те-

леграфного сигнала значение n - количество перемен знака внутри интервала

то распределе-

ние вероятностей значений n будет описываться законом Пуассона:

 

P(n) = ( | |)2 exp(- | |)/n!

(9.4.1)

При вычислении корреляционной функции те-

леграфного сигнала каждое отдельное произведение xk(t)xk(t+ ) равно либо с2, либо -с2 в зависимости от совпадения или несовпадения знаков xk(t) и xk(t+ ),

причем вероятность с2 равна сумме вероятностей Р(0)+Р(2)+Р(4)+..., а вероятность -с2 определяется со-

ответственно суммой вероятностей Р(1)+Р(3)+Р(5)+... .

 

 

 

 

n

0

(-1)nP(n)= c2 exp(- | |)

 

 

 

 

n

0

(-1)n( | )n/n! = c2 exp(-2 | |). (9.4.2)

Параметр

полностью определяет ковариационные и спектральные свойства телеграфного

сигнала. При

0 характеристики сигнала приближаются к характеристикам постоянной со-

ставляющей, при - к характеристикам белого шума.

Интервал ковариации сигнала:

= 2

0

(Rx(

)/c2) d = 2/ .

(9.4.3)

 

Отсюда следует, что чем больше

, тем меньше время

 

ковариации процесса. При

0 Tk и процесс вырожда-

 

ется в детерминированный (стремится к постоянной составля-

 

ющей). При

Tk 0 и процесс вырождается в белый

Рис. 9.4.3. Спектр сигнала.

шум с некоррелированными отсчетами даже на соседних вре-

 

 

 

 

 

 

менных точках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Двусторонняя спектральная плотность сигнала:

 

 

 

 

 

 

 

c2/( 2+ 2).

 

Sx( )= Rx( ) exp(-j

) d

=

(9.4.4)

Односторонняя спектральная плотность:

 

 

 

 

 

Gx( )= 2

c2/(

2+

2).

(9.4.5)

 

 

 

 

202

 

 

Ширина спектра телеграфного сигнала:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Gx(

d Gx(0)

 

 

Sx( ) d Sx(0) =

.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

(9.4.6)

Отсюда следует, что спектр случайного процесса тем шире, чем меньше интервал ковариа-

ции процесса.

Белый шум является стационарным случайным процессом q(t), у которого автокорреляци-

онная функция описывается дельта - функцией Дирака и, соответственно, спектральная плотность мощности не зависит от частоты и имеет постоянное значение Wq(f) = , равное дисперсии зна-

чений q(t). Другими словами, все спектральные составляющие белого шума имеют одинаковую мощность (как белый цвет содержит все цвета видимого спектра). По существу, это идеализиро-

ванный случайный процесс с бесконечной энергией. Но в случае постоянства спектральной плот-

ности мощности случайного процесса в конечном диапазоне частот введение такой идеализации позволяет разрабатывать достаточно легко реализуемые оптимальные методы фильтрации. Мно-

гие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях, в том числе в информатике, рас-

сматривают как белый шум, если эффективная ширина спектра сигналов Bs много меньше эффек-

тивной ширины спектра шумов Bq

Bs/Bq << 1,

и спектральная плотность мощности шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала. Поня-

тие "белый шум" определяет только спектральную характеристику случайного процесса, а, следо-

вательно, под это понятие подпадают любые случайные процессы, имеющие равномерный энерге-

тический спектр и различные законы распределения.

Если частотный диапазон спектра, на котором рассматриваются сигналы и помехи, равен 0-

В, то спектральная плотность шума задается в виде:

 

 

 

Wq(f)=

2, 0 f B;

Wq(f)=0, f > B,

(9.4.7)

при этом корреляционная функция шума определяется выражением:

 

Rq( )=

2 B sin(2

B

)/2 B .

(9.4.8)

Эффективный интервал корреляции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tk = 2 0

|Rq(

)|d

/Rq(0).

(9.4.9)
Рис. 9.4.4. Функции корреляции бе-
лого шума в частотном интервале 0-В.

203

Реальный интервал корреляции целесообразно определять по ширине главного максимума функции

Rq( ) (значения при первых пересечениях нулевой ли-

нии), в котором сосредоточена основная часть энергии шумов, при этом Tk = 1/В и BTk = 1 > 1/2, т.е. соотноше-

ние неопределенности выполняется.

Как следует из всех этих выражений и наглядно видно на рис. 9.4.4, при ограничении частотного диапазо-

на в шумах появляется определенная корреляция между значениями, и, чем меньше частотный диапазон шумов, тем больше их радиус корреляции. По существу, ограничение шумов определенным частотным диапазоном эквивалентно фильтрации белого шума частотным фильтром с соответствующей шириной полосы пропускания, при этом,

корреляционная функция импульсного отклика фильтра свертывается с дельта – функцией белого шума.

Модель белого шума q(t) можно формировать как случайную по времени (аргументу) по-

следовательность дельта - импульсов (ti) со случайными амплитудными значениями ai:

q(t) = i ai (t-ti),

(9.4.10)

которая удовлетворяет условиям статистической однородности: постоянное среднее число им-

пульсов в единицу времени и статистическая независимость появления каждого импульса от предыдущих. Такой поток импульсов, который называют пуассоновским, является некоррелиро-

ванным и имеет равномерный спектр плотности мощности:

Wq( ) = c2 = N a2,

где N - число импульсов на интервале Т реализации случайного процесса, a2 -дисперсия ампли-

туд импульсов.

Спектральное описание белого шума оказывается удобным при учете влияния на него ам-

плитудно-частотных характеристик различных устройств. Если на входе фильтра с импульсным

откликом h(t) действует белый шум q(t), то сигнал на выходе фильтра:

 

g(t) = h(t) q(t) = h(t) i ai (t-ti) = i ai h(t-ti),

(9.4.11)

т.е. выходной сигнал будет представлять собой последовательность сигналов импульсной реакции фильтра h(t) с амплитудой ai, при этом автокорреляционная функция и спектр мощности выходно-

го потока также становятся подобными ФАК и спектру мощности импульсной реакции фильтра, и

в первом приближении определяются выражениями:

Rg(

) N

a2 Rh(

) = c2 Rh(

),

(9.4.12)

Wg(

) N

a2 |H(

)|2 = c2 |H(

)|2.

(9.4.13)

Этот результат известен как теорема Кэмпбелла.

Гауссовый шум возникает при суммировании статистически независимых белых шумов и

 

 

204

 

 

 

имеет следующую функцию корреляции:

 

 

 

 

 

Rx(

) = a exp(-2

2

2).

(9.4.14)

Спектральная плотность шумов:

 

 

 

 

Sx(f) = (a/

2 ) exp(-f2/2

2),

- < f < .

(9.4.15)

Эффективные шумовые ширина спектра и время ковариации:

 

Bk =

2 /2 = 1.25 , Tk = 1/

2 = 0.4/ .

(9.4.16)

Соотношение неопределенности превращается в равенство: BkTk = 1/2.

Гауссовые случайные процессы преобладают в практических задачах. Случайный процесс

x(t) называется гауссовым, если для любого набора фиксированных моментов времени tn случай-

ные величины x(tn) подчиняются многомерному нормальному распределению. Плотность вероят-

ностей мгновенных значений x(t) эргодического гауссового процесса определяется выражением:

 

p(x) = ( x

2 )-1 exp(-(x-mx)2/2 2).

(9.4.17)

Среднее значение и его оценка по достаточно большому интервалу Т:

 

mx =

 

mx (1/T)

T

 

x p(x) dx,

x(t) dt.

 

 

 

 

0

 

При нулевом среднем (или при центрировании функции x(t) для упрощения расчетов) дис-

персия не зависит от переменной t, и равна:

 

 

 

 

x2

=

x2 p(x) dx.

 

 

 

 

 

Оценка дисперсии при больших значениях Т:

T

 

 

 

x2 (1/T) 0

x2(t) dt = Sx(f) df =

0

Gx(f) df.

(9.4.18)

Следовательно, плотность вероятностей гауссового процесса полностью характеризуется спектральной плотностью, по которой можно определить значение дисперсии процесса. На вид спектральных плотностей и соответствующих им ковариационных функций никаких ограничений не накладывается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Учебник для вузов. - М. Высшая шко-

ла, 1988.- 448 с.

2.Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.

25.Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.

26. Вероятностные методы в вычислительной технике: Учебное пособие для вузов./

А.В.Крайников и др. - М.: Высшая школа, 1986. - 312 с.

26. Вероятностные методы в вычислительной технике: Учебное пособие для вузов./

А.В.Крайников и др. - М.: Высшая школа, 1986. - 312 с.

205

27.Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1971.- 328 с.

28.Игнатов В.А. Теория информации и передачи сигналов. - М.: Советское радио, 1979.

42.Ю.М. Яневич. Задачи приема сигналов и определения их параметров на фоне шумов:

Курс лекций. / СПбУ.

Источник: https://studfile.net/preview/16436030/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния