Материал: конспект-лекций

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

196

Rz( ) =

0

0

h( )h( ) Rx( + - ) d d Rx( ) h( + ) h( -

)9

Таким образом, функция корреляции выходного сигнала равна функции корреляции вход-

ного сигнала, свернутой дважды, в прямом и обратном направлении, с импульсным откликом си-

стемы, что сохраняет четность корреляционной функции выходного сигнала. Аналогичное заклю-

чение действительно и для ковариационных функций.

Заметим, что для свертки импульсных откликов, производя замену = t, мы имеем ра-

венство:

h( + ) h( - ) = h(t+ + ) h(t) = h(t) h(t+

) = Rh(t),

где Rh(t) - функция корреляции импульсного отклика системы. Отсюда:

 

Rz( ) = Rx( ) Rh( ).

(9.3.5)

т.е. функция корреляции выходного сигнала равна свертке функции корреляции входного сигнала с функцией корреляции импульсного отклика системы. Это означает появление в случайном сиг-

нале на выходе системы определенной ковариационной зависимости, вызванной инерционностью системы, причем радиус ковариации выходного сигнала обратно пропорционален верхней частоте,

пропускаемой системой.

Функции взаимной корреляции входного и выходного сигналов определяются аналогич-

но:

 

Rzx(t1,t2) = T1[Rx(t1,t2)], Rxz(t1,t2) = T2[Rx(t1,t2)].

(9.3.6)

Для функции Rxz входного и выходного сигналов имеем:

 

0

x(t) z(t+ ) d

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

h( ) x(t) x(t+ - ) d

d

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) d Rx( )

 

 

 

 

Rxz( ) =

h( ) Rx(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

h()

т.е. функция взаимной корреляции входного и выходного сигналов равна свертке функции корре-

ляции входного сигнала с функцией импульсного отклика системы.

Другая взаимно корреляционная функция Ryx может быть получена из соотношения:

Rzx( ) = Rxz(- ) Rx( ) h(). (9.3.8)

Отметим, что для статистически независимых случайных величин при одностороннем им-

пульсном отклике h( ) = 0 при <0 функция Rxz( ) также является односторонней, и равна 0 при

<0, а функция Rzx соответственно равна 0 при >0.

Спектральные соотношения, которые характеризуют систему в целом по отношению к преобразованию случайных сигналов, это соотношения спектральных плотностей случайных сиг-

налов (спектров мощности) на входе и выходе.

Применяя преобразование Фурье к выражениям (9.3.5), для спектра мощности выходного

197

 

сигнала получаем:

 

Sz(f) = Sx(f) |H(f)|2.

(9.3.9)

Спектр мощности случайного сигнала на выходе системы равен спектру мощности входно-

го сигнала, умноженному на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. С учетом четно-

сти ковариационных функций спектр мощности выходного сигнала также является четной дей-

ствительной функцией и содержит только амплитудную характеристику системы.

Аналогично, для взаимного спектра мощности сигналов на основе выражений (9.3.7-8) име-

ем:

 

Sxz(f) = Sx(f) H(f), Szx(f) = Sx(f) H(-f).

(9.3.10)

Взаимный спектр сигналов при одностороннем импульсном отклике является комплекс-

ным, и содержит как амплитудную, так и фазовую характеристику системы.

Отметим, что с использованием выражения (9.3.10) можно производить определение ча-

стотной характеристики и импульсного отклика системы:

H(f) = Sxz/Sx h(t).

Дисперсия выходного сигнала может быть определена с использованием формул (9.3.4, 9)

по функциям ковариации:

 

= Kz(0) =

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

Sx(f) |H(f)|2 df Kx(0)

h2(t) dt =

x2

h2(t) dt,

(9.3.11)

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

Если сигнал нецентрированный и значение дисперсии входного сигнала неизвестно, то по аналогичным формулам вычисляется сначала средний квадрат выходного сигнала или так называ-

емая средняя мощность сигнала:

z

2

 

= z2(t)

= Rz(0)

x

2

 

0

h2(t) dt

 

 

 

0

Sx(f) |H(f)|2 df.

(9.3.12)

Средняя мощность выходного сигнала равна средней мощности входного сигнала, умно-

женной на квадрат площади импульсной реакции системы (для цифровых систем - сумму квадра-

тов коэффициентов импульсного отклика). Для центрированных случайных сигналов средняя мощность равна дисперсии сигналов. Для нецентрированных выходных сигналов:

z 2 =

z

2

 

-

z

2 ( x2 - x 2)

0

h2(t) dt.

(9.3.13)

Функция когерентности дает оценку точности принятой линейной модели системы. Ко-

герентность входного и выходного сигналов системы оценивается по формуле:

xz2(f) = |Sxz(f)|2/[Sx(f) Sz(f)].

(9.3.14)

Если функции Sx(f) и Sz(f) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то для всех ча-

стот f значения функции когерентности заключены в интервале:

 

0

xz2(f) 1.

 

Для исключения дельта-функций на нулевой частоте определение функции когерентности производится по центрированным сигналам. Для линейных систем с постоянными параметрами

198

функция когерентности равна 1, в чем нетрудно убедиться, если в формулу (9.3.14) подставить выражения Sxz и Sz, определенные через Sx в формулах (9.3.9-10). Для совершенно не связанных сигналов функция когерентности равна нулю. Промежуточные между 0 и 1 значения могут соот-

ветствовать трем ситуациям:

1. Система осуществляет преобразование x(t) z(t), но в измерениях этих сигналов или одного из них присутствует внешний шум. Так, например, в сигналах, зарегистрированных с огра-

ничением по разрядности, появляется шум квантования (округления значений).

2. Система не является строго линейной. Это может наблюдаться, например, при опреде-

ленном ограничении по разрядности вычислений в цифровых системах, при накоплении ошибки в рекурсивных системах и т.п.

3. Выходной сигнал z(t) помимо x(t) зависит еще от каких-то входных или внутренних си-

стемных процессов.

Величина 1- xz2(f) задает долю среднего квадрата сигнала z(t) на частоте f, не связанную с сигналом x(t).

Аналогично можно вычислить функцию когерентности двух реализаций x(t) и y(t). Значе-

ния функции будут указывать на степень линейной зависимости одной реализации от другой, хотя это и не означает обязательности наличия какой-либо причинно-следственной связи между реали-

зациями. Функция когерентности xy сохраняется при точных однотипных линейных преобразо-

ваниях функций x(t) и y(t), что позволяет производить ее определение без измерения самих вели-

чин x(t) и y(t).

Преобразования случайных функций.

Сложение случайных функций. При сложении случайных функций, в общем случае, с

произвольными постоянными коэффициентами а и b, и образовании случайной функции суммы

Z(t) = a X(t) + b Y(t), функция математического ожидания процесса Z(t):

 

mz(t)= M{Z(t)}= M{aX(t)+bY(t)}= a M{X(t)}+b M{Y(t)}= a mx(t)+b my(t).

(9.3.15)

Корреляционная функция суммы вычисляется аналогично, и равна:

 

Rz(t1,t2) = M{Z(t1) Z(t2)}= M{[aX(t1)+bY(t1)][aX(t2)+bY(t2)]}=

 

= M{a2X(t1)X(t2)+b2Y(t1)Y(t2)+ ab[X(t1)Y(t2)+Y(t1)X(t2)]} =

 

= a2Rx(t1,t2)+b2Ry(t1,t2)+ab [Rxy(t1,t2)+Ryx(t1,t2)].

(9.3.16)

Для некоррелированных функций X(t) и Y(t) функции взаимной корреляции Rxy и Ryx обну-

ляются. Аналогичную форму записи имеют и ковариационные функции (как частный случай кор-

реляционных функций при центрировании случайных процессов). Выражения легко обобщаются на сумму любого числа случайных функций. В частности, для корреляционной функции стацио-

нарной случайной функции Z(t) = aiXi(t) при t2-t1 =

имеем:

 

i

 

 

 

Rz( ) = ai2Rxi(

) + aiajRxixj( ).

(9.3.16')

i

 

i j , j i

 

199

При сложении случайной функции X(t) с неслучайной функцией y(t) математическое ожи-

дание и корреляционная функция суммы Z(t)=X(t)+y(t) равны:

 

mz(t) = mx(t) + y(t),

Rz(t1,t2) = Rx(t1,t2).

(9.3.17)

При сложении случайной функции X(t) с некоррелированной случайной величиной Y ма-

тематическое ожидание и корреляционная функция суммы Z(t)=X(t)+Y:

 

mz(t) = mx(t) + my,

Rz(t1,t2) = Rx(t1,t2) + Dy.

(9.3.18)

Произведение случайной и неслучайной функций X(t) и f(t). Математическое ожидание и

корреляционная функция выходного сигнала:

 

 

mz(t) = M{Z(t)}= M{f(t) X(t)}= f(t) M{X(t)}= f(t) mx(t).

(9.3.19)

Rz(t1,t2)=M{f(t1)X(t1) f(t2)X(t2)}= f(t1)f(t2)M{X(t1)X(t2)}=

 

= f(t1)f(t2) Rx(t1,t2).

(9.3.20)

Если f(t) = const = C и Z(t) = C X(t), то соответственно имеем:

 

mz(t) = С mx(t), Rz(t1,t2) = С2 Rx(t1,t2).

(9.3.21)

Производная от случайной функции Z(t) = dX(t)/dt. Если функция X(t) является непре-

рывной и дифференцируемой, то математическое ожидание производной:

 

mz(t) = M{Z(t)} = M{dX(t)/dt} = d(M{X(t)})/dt = dmx(t)/dt,

(9.3.22)

т.е. математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее мате-

матического ожидания. Для корреляционной функции имеем:

Rz(t1,t2) = M{(dX(t1)/dt1)(dX(t2)/dt2)}=

 

 

2

 

t t

2

1

M{X(t1)X(t2)}=

 

 

2

 

t t

2

1

Rx(t1,t2), (9.3.23)

т.е. корреляционная функция производной случайной функции равна второй смешанной частной производной от корреляционной функции исходной случайной функции.

Интеграл от случайной функции

 

 

t

mz(t) = M{Z(t)} = M{

 

 

 

 

 

0

 

 

t

 

 

Z(t) =

X(v)dv.

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

t

X(v)dv} =

M{X(v)}dv =

 

 

 

 

 

0

t0

mx(v)dv,

(9.3.24)

т.е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математи-

ческого ожидания. Для корреляционной функции имеем:

Rz(t1,t2) = M{ 0t X(t1)dt1 0t X(t2)dt2} = M{ 0t 0t X(t1)X(t2)dt1dt2} =

 

 

t

 

t

 

 

t

 

t

=

 

M{X(t1)X(t2)}dt1dt2

=

 

Rx(t1,t2)dt1dt2,

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

0

 

0

(9.3.25)

т.е. корреляционная функция интеграла от случайной функции равна двойному интегралу от кор-

реляционной функции исходной случайной функции.

Преобразования стационарных случайных функций выполняются по вышеприведенным формулам и дают следующие результаты (вместо корреляционных функций приводятся ковариа-

ционные функции, которые обычно используются на практике).

Математическое ожидание выходного сигнала Z(t) входной стационарной случайной

200

 

 

функции X(t) по (9.3.2):

 

 

 

 

 

mz = h( ) * mx = mx

h( ) d

 

 

 

 

(9.3.26)

Отсюда следует, что математическое ожидание выходных сигналов системы равно матема-

тическому ожиданию входных сигналов, умноженному на площадь (или сумму коэффициентов)

импульсного отклика системы, т.е. на коэффициент усиления системой постоянной составляющей.

Если система не пропускает постоянную составляющую сигналов (площадь или сумма коэффици-

ентов импульсного отклика системы равна нулю), то случайный выходной сигнал всегда будет иметь нулевое математическое ожидание.

Сумма двух стационарных случайных функций X(t) и Y(t) дает стационарную случайную функцию Z(t), при этом:

mz = mx + my, Dz = Dx + Dy + 2Kxy(0).

(9.3.27)

Kz(t1,t2) = Kz( ) = Kx( ) + Ky( ) + Kxy( ) + Kyx( ).

(9.3.28)

Сумма стационарной случайной и неслучайной функций X(t) и y(t) нестационарна по мате-

матическому ожиданию:

 

 

mz(t) = mx + y(t),

Kz( ) = Kx( ).

(9.3.29)

Произведение стационарной случайной и неслучайной функций X(t) и y(t) - нестационарная

случайная функция, так как:

 

 

mz(t) = y(t) mx,

Dz(t) = y2(t) Dx.

(9.3.30)

Kz(t, ) = y(t)y(t+ )Kx( ).

(9.3.31)

Производная от стационарной случайной функции - стационарная случайная функция с ма-

тематическим ожиданием mz = 0 и ковариационными функциями:

 

 

2

 

d

2

 

 

 

 

 

 

Kz(t1,t2) =

t t

Kx(t1-t2) = -

 

2

Kx( ) = Kz( ).

 

 

d

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

Kzx( ) = d(Kx( ))/d , Kxz( ) = -d(Kx( ))/d

(9.3.32)

Из выражения (9.3.32) следует также, что для дифференцируемости X(t) необходимо, чтобы ее ковариационная функция была дважды дифференцируемой по .

Интеграл от стационарной случайной функции - нестационарная случайная функция с ма-

тематическим ожиданием mz(t) =

t o

mx(t)dt и функцией ковариации:

t1

t2

 

Kz(t1,t2) = 0

0

Kx(u1-u2) du1du2.

(9.3.34)

9.4. МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ [2, 28].

Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграф-

ный сигнал, белый шум, гауссовый случайный процесс, гауссовый шум.

Источник: https://studfile.net/preview/16436030/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния