Материал: конспект-лекций

Отсюда следует, что корреляционная функция случайного стационарного эргодического процесса представляет собой обратное преобразование Фурье его спектра мощности. Соответ-

ственно, для спектра мощности случайного процесса имеем прямое преобразование Фурье:

В этом состоит суть теоремы Винера-Хинчина. Функции W( ) и R( ) являются веще-

ственными и четными, а соответственно в тригонометрической форме:

Спектр ковариационных функций. Так как ковариационные функции стационарных про-

цессов являются частным случаем корреляционных функций, то эти выражения действительны и для ФАК, а, следовательно, преобразования Фурье ковариационных функций, являются спектрами мощности флюктуирующей составляющей процессов. С этих позиций дисперсия случайных про-

цессов представляет собой среднюю мощность его флюктуаций

т.е., равна суммарной мощности всех его частотных составляющих процессов.

При представлении ковариационной функции на интервале 0-Т, шаг по спектру функции с учетом четности ковариационной функции устанавливается равным = /T, i = i , а спектр определяется обычно непосредственно по косинусам в односторонней форме:

т.е. дисперсия стационарного случайного процесса равна сумме дисперсий всех случайных гармо-

ник ее спектрального разложения.

Эффективная ширина спектра мощности является обобщенной характеристикой спек-

тра случайного процесса и определяется по формуле:

практической характеристикой случайного процесса, и вычисляется, как правило, для реальных частот по одностороннему спектру процесса.

При использовании предельного перехода T и соответственно интегралов Фурье в вы-

ражениях (9.2.23), двусторонние функции дисперсий D( i) заменяются функциями S( ), а одно-

сторонние - функциями G( ), которые называют соответственно дву- и односторонними функци-

ями спектральной плотности случайных процессов. Такое же индексирование в научно-

технической литературе применяют и для спектров корреляционных функций, а зачастую и для дискретных преобразований ковариационных функций вместо D( i), хотя последнее примени-

тельно к ковариационным функциям более точно отражает физическую сущность величин. Но оно может считаться вполне приемлемым для сохранения общности математических описаний.

Эффективная ширина спектра для функций спектральной плотности случайных процессов:

Соотношение неопределенности связывает эффективную ширину спектра Bk с эффектив-

ным интервалом ковариации Tk. Для его определения найдем произведение BkTk случайного про-

цесса с использованием формул (9.1.10) и (9.2.27):

Оценка этого произведения и приводит к соотношению неопределенности:

риации в общем случае являются произвольными, и соответственно функции взаимного спектра представляют собой комплексные выражения:

193

Sxy(- ) = Sxy*( ) = Syx( ).

Квадратурным аналогом нормированной взаимной ковариационной функции или функции коэффициентов ковариации двух процессов (9.1.14) в спектральной области является функция ко-

Функция когерентности обычно используется при анализе линейных систем преобразова-

ния входной функции X(t) в выходную функцию Y(t) (рассмотрено ниже).

В заключение данного раздела еще раз отметим, что спектральные плотности случайных процессов и спектры плотности мощности, это одно и то же понятие. Оба термина используются достаточно широко в научно-технической литературе. Учитывая то обстоятельство, что понятие мощности по своему смыслу больше связано с энергетическими понятиями, а понятие спектраль-

ной плотности - с анализом сигналов и систем, при дальнейшем рассмотрении случайных сигна-

лов и процессов будем использовать, в основном, понятие спектральной плотности или (для дис-

кретных величин) спектров случайных сигналов и процессов.

194

9.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ [1, 26, 27].

Системы преобразования случайных функций. Пусть имеется система преобразования с одним входом, на который поступает (подается) входная случайная функция X(t) - функция воз-

действия или возбуждения, и с одним выходом, с которого снимается выходная функция Z(t) -

отклик или выходная реакция системы. Система осуществляет преобразование X(t) Z(t) и опи-

сывается определенным системным оператором трансформации Т - функцией, алгоритмом,

набором правил преобразования входного сигнала в выходной. Обозначение операции преобразо-

вания: Z(t) = T[X(t)]. Символическое и полное отображение операции преобразования:

где h( ) - математическая функция импульсного отклика системы на единичное входное воздей-

ствие. Импульсный отклик определяет соответствующую частотную передаточную характеристи-

ку системы: h( )  H( ).

Для неслучайных (детерминированных) входных сигналов соотношение между выходными и входными сигналами всегда однозначно задается системным оператором. В случае реализации на входе системы случайного входного процесса (случайного сигнала) тоже существует однознач-

ное соответствие процессов на выходе и входе системы, однако при этом одновременно происхо-

дит изменение статистических характеристик выходного сигнала (математического ожидания,

дисперсии, ковариационной функции и пр.).

Линейные и нелинейные системы составляют два основных класса систем обработки сиг-

налов. Термин линейности означает, что система преобразования сигналов должна иметь произ-

вольную, но в обязательном порядке линейную связь между входным сигналом (возбуждением) и

выходным сигналом (откликом). В нелинейных системах связь между входным и выходным сиг-

налом определяется произвольным нелинейным законом.

Основные системные операции линейных систем, из которых могут быть сформированы любые линейные операторы преобразования, это операции скалярного умножения, сдвига и сло-

жения сигналов:

s(t) = c a(t), s(t) = a(t- t), s(t) = a(t)+b(t).

Для нелинейных систем выделим важный тип безынерционных операций нелинейной трансформации сигнала, результаты которой зависят только от его входных значений. К ним отно-

сятся, например, операции квадратирования и логарифмирования сигнала: y(t) = [s(t)]2, y(t) = log[s(t)].

Система считается линейной, если ее реакция на входные сигналы аддитивна (выполня-

ется принцип суперпозиции сигналов) и однородна (выполняется принцип пропорционального подобия). Другими словами, отклик линейной системы на взвешенную сумму входных сигналов должен быть равен взвешенной сумме откликов на отдельные входные сигналы независимо от их количества и для любых весовых коэффициентов, в том числе комплексных.