Материал: конспект-лекций
26
ном аналоговом сигнале.
Для предотвращения алиасинга следует повышать частоту дискретизации или ограничить спектр сигнала перед оцифровкой фильтрами низких частот (НЧ-фильтры, low-pass filters), ко-
торые пропускают без изменения все частоты, ниже заданной, и подавляют в сигнале частоты,
выше заданной. Эта граничная частота называется частотой среза (cutoff frequency) фильтра. Ча-
стота среза анти-алиасинговых фильтров устанавливается равной половине частоты дискретиза-
ции. В реальные АЦП почти всегда встраивается анти-алиасинговый фильтр.
Графическое отображение сигналов общеизвестно и особых пояснений не требует. Для одномерных сигналов график – это совокупность пар значений {t, s(t)} в прямоугольной системе координат (рис. 1.2.1 – 1.2.4). При графическом отображении дискретных и цифровых сигналов используется либо способ непосредственных дискретных отрезков соответствующей масштабной длины над осью аргумента, либо способ огибающей (плавной или ломанной) по значениям отсче-
тов. В силу непрерывности геофизических полей и, как правило, вторичности цифровых данных,
получаемых дискретизацией и квантованием аналоговых сигналов, второй способ графического отображения будем считать основным.
Тестовые сигналы (test signal). В качестве тестовых сигналов, которые применяются при моделировании и исследовании систем обработки данных, обычно используются сигналы про-
стейшего типа: гармонические синус-косинусные функции, дельта-функция и функция единичного скачка.
Дельта-функция или функция Дирака. По определению, дельта-функция описывается сле-
дующими математическими выражениями (в совокупности):
(t- ) = 0 при t 
,
-
(t- ) dt = 1.
Функция (t- ) не является дифференцируемой, и имеет размерность, обратную размерно-
сти ее аргумента, что непосредственно следует из безразмерности результата интегрирования.
Значение дельта-функции равно нулю везде за исключением точки , где она представляет собой бесконечно узкий импульс с бесконечно большой амплитудой, при этом площадь импульса равна
1.
Дельта-функция является полезной математической абстракцией. На практике такие функ-
ции не могут быть реализованы с абсолютной точностью, так как невозможно реализовать значе-
ние, равное бесконечности, в точке t = на аналоговой временной шкале, т.е. определенной по времени также с бесконечной точностью. Но во всех случаях, когда площадь импульса равна 1,
длительность импульса достаточно мала, а за время его действия на входе какой-либо системы сигнал на ее выходе практически не изменяется (реакция системы на импульс во много раз больше длительности самого импульса), входной сигнал можно считать единичной импульсной функцией
27
со свойствами дельта - функции.
При всей своей абстрактности дельта - функция имеет вполне определенный физический смысл. Представим себе импульсный сигнал прямоугольной формы П(t- ) длительностью , ам-
плитуда которого равна 1/ , а площадь соответственно равна 1. При уменьшении значения дли-
тельности импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, равную 1, и возрас-
тает по амплитуде. Предел такой операции при 0 и носит название дельта - импульса. Этот сигнал (t- ) сосредоточен в одной координатной точке t = , конкретное амплитудное значение сигнала не определено, но площадь (интеграл) остается равной 1. Это не мгновенное значение функции в точке t = , а именно импульс (импульс силы в механике, импульс тока в электротехни-
ке и т.п.) – математическая модель короткого действия, значение которого равно 1.
Дельта-функция обладает фильтрующим свойством. Суть его заключается в том, что если дельта-функция (t- ) входит под интеграл какой-либо функции в качестве множителя, то резуль-
тат интегрирования равен значению подынтегральной функции в точке |
расположения дельта- |
импульса, т.е.: |
|
-
f(t) (t- ) dt = f( ).
Интегрирование в этом выражении может ограничиваться ближайшими окрестностями точ-
ки .
Функция единичного скачка или функция Хевисайда иногда называется также функцией включения. Полное математическое выражение функции:
0 |
если |
t 0, |
|
|
|
если |
t 0, |
σ(t) 1/2 |
|||
|
1 |
если |
t 0. |
|
|||
При моделировании сигналов и систем значение функции скачка в точке t=0 очень часто принимают равным 1, если это не имеет принципиального значения.
Функция единичного скачка используется при создании математических моделей сигналов конечной длительности. При умножении любой произвольной функции, в том числе периодиче-
ской, на прямоугольный импульс, сформированный из двух последовательных функций единично-
го скачка
s(t) = (t) - (t-T),
из нее вырезается участок на интервале 0-Т, и обнуляются значения функции за пределами этого интервала.
Функция Кронекера. Для дискретных и цифровых систем разрешающая способность по ар-
гументу сигнала определяется интервалом его дискретизации t. Это позволяет в качестве еди-
ничного импульса использовать дискретный интегральный аналог дельта-функции - функцию единичного отсчета (k t-n t), которая равна 1 в координатной точке k = n, и нулю во всех
28
остальных точках. Функция (k t-n t) может быть определена для любых значений t = const,
но только для целых значений координат k и n, поскольку других номеров отсчетов в дискретных
функциях не существует.
Математические выражения (t- ) и (k t-n t) называют также импульсами Дирака и
Кронекера. Однако, применяя такую терминологию, не будем забывать, что это не просто единич-
ные импульсы в координатных точках и n t, а полномасштабные импульсные функции, опреде-
ляющие как значения импульсов в определенных координатных точках, так и нулевые значения по всем остальным координатам, в пределе от - до .
1.3. СИСТЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ [1, 9, 14, 18]
Сигналы, в любой форме материального представления, содержат определенную полезную информацию. Если при преобразованиях сигналов происходит нарушение заключенной в них ин-
формации (частичная утрата, количественное изменение соотношения информационных состав-
ляющих или параметров, и т.п.), то такие изменения называются искажениями сигнала. Если по-
лезная информация остается неизменной или адекватной содержанию во входном сигнале, то та-
кие изменения называются преобразованиями сигнала.
Математические преобразования сигналов осуществляются для того, чтобы получить ка-
кую-то дополнительную информацию, недоступную в исходном сигнале, или выделить из входно-
го сигнала полезную информацию и сделать ее более доступной для дальнейшей обработки, изме-
рений каких-либо параметров, передаче по каналам связи, и пр. Преобразованный сигнал принято называть трансформантой исходного.
Любые изменения сигналов сопровождаются изменением их спектра, и по характеру этого изменения разделяются на два вида: линейные и нелинейные. К нелинейным относят изменения,
при которых в составе спектра сигналов появляются (вводятся) новые гармонические составляю-
щие, отсутствующие во входном сигнале. При линейных изменениях сигналов изменяются ампли-
туды и/или начальные фазы гармонических составляющих спектра (вплоть до полного подавления в сигнале определенных гармоник). И линейные, и нелинейные изменения сигналов могут проис-
ходить как с сохранением полезной информации, так и с ее искажением. Это зависит не только от характера изменения спектра сигналов, но и от спектрального состава самой полезной информа-
ции.
Общее понятие систем. Преобразование и обработка сигналов осуществляется в систе-
мах. Понятия сигнала и системы неразрывны, так как любой сигнал существует в пределах какой-
либо системы. Система обработки сигналов может быть реализована как в материальной форме
(специальное устройство, измерительный прибор, совокупность физических объектов с опреде-
ленной структурой взаимодействия и т.п.), так и программно на ЭВМ или любом другом специа-
лизированном вычислительном устройстве. Форма реализации системы существенного значения не имеет, и определяет только ее возможности при анализе и обработке сигналов.
29
Безотносительно к назначению система всегда имеет вход, на ко-
торый подается внешний входной сигнал, в общем случае многомерный, Рис. 1.3.1. Графиче- и выход, с которого снимается обработанный выходной сигнал. Собственно система представляет собой системный оператор (алгоритм)
преобразования входного сигнала s(t) – воздействия или возбуждения, в сигнал на выходе систе-
мы y(t) – отклик или выходную реакцию системы. Символическое обозначение операции преобра-
зования (трансформации сигнала): y(t) = T[s(t)].
Системный оператор T - это набор правил преобразования (transformation) сигнала s(t) в
сигнал y(t). Так, например, в самом простейшем случае таким правилом может быть таблица пере-
кодировки входных сигналов в выходные.
Для детерминированных входных сигналов соотношение между выходными и входными сигналами всегда однозначно задается системным оператором. В случае реализации на входе си-
стемы случайного входного процесса происходит изменение статистических характеристик сигна-
ла (математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции и пр.), которое также опре-
деляется системным оператором.
Для полного определения системы необходимо задание характера, типа и области допусти-
мых величин входных и выходных сигналов. По типу обработки входных сигналов они обычно подразделяются на системы непрерывного времени для обработки сигналов в процессе измерений,
и цифровые системы для обработки данных, зарегистрированных на промежуточных носителях.
Совокупность системного оператора Т и областей входных и выходных сигналов образует мате-
матическую модель системы.
Линейные и нелинейные системы составляют два основных класса систем обработки сиг-
налов.
Термин линейности (linear) означает, что система преобразования сигналов должна иметь произвольную, но в обязательном порядке линейную связь между входным сигналом (возбужде-
нием) и выходным сигналом (откликом) с определенным изменением спектрального состава вход-
ного сигнала (усиление или подавление определенных частотных составляющих сигнала. В нели-
нейных (nonlinear) системах связь между входным и выходным сигналом определяется произволь-
ным нелинейным законом с дополнением частотного состава входного сигнала частотными со-
ставляющими, отсутствующими во входном сигнале.
Стационарные и нестационарные системы. Система считается стационарной и имеет
постоянные параметры, если ее свойства (математический алгоритм оператора преобразования) в
пределах заданной точности не зависят от входного и выходного сигналов и не изменяются ни во времени, ни от каких-либо других внешних факторов. В противном случае система является не-
стационарной, и называется параметрической или системой с переменными параметрами. Среди последних большое значение имеют так называемые адаптивные системы обработки данных. В
30
этих системах производится, например, оценивание определенных параметров входных и выход-
ных сигналов, по результатам сравнения которых осуществляется подстройка параметров преоб-
разования (переходной характеристики системы) таким образом, чтобы обеспечить оптимальные по производительности условия обработки сигналов или минимизировать погрешность обработки.
Основные системные операции. К базовым линейным операциям, из которых могут быть сформированы любые линейные операторы преобразования, относятся операции скалярного
умножения, сдвига и сложения сигналов: |
|
|
y(t) = c s(t), |
y(t) = s(t- t), |
y(t) = a(t)+b(t). |
Для нелинейных систем выделим важный тип безинерционных операций нелинейной трансформации сигнала, результаты которой зависят только от его входных значений. К ним отно-
сятся, например, операции квадратирования и логарифмирования сигнала: y(t) = [s(t)]2, y(t) = log[s(t)].
Линейные системы. Система считается линейной, если ее реакция на входные сигналы ад-
дитивна (выполняется принцип суперпозиции сигналов) и однородна (выполняется принцип про-
порционального подобия). Другими словами, отклик линейной системы на взвешенную сумму входных сигналов должен быть равен взвешенной сумме откликов на отдельные входные сигналы независимо от их количества и для любых весовых коэффициентов, в том числе комплексных.
При программной реализации линейных систем на ЭВМ особых затруднений с обеспечени-
ем линейности в разумных пределах значений входных и выходных сигналов, как правило, не воз-
никает. При физической (аппаратной) реализации систем обработки данных диапазон входных и выходных сигналов, в котором обеспечивается линейность преобразования сигналов, всегда огра-
ничен и должен быть специально оговорен.
Инвариантность систем к сдвигу. Система называется инвариантной к сдвигу, если сдвиг входного сигнала по аргументам (времени, координатам пространства и т.п.) вызывает соответ-
ствующий сдвиг выходного сигнала:
y(x,t) = T[s(x,t)], T[s(x- x,t- t)] = y(x- x,t- t).
Это означает, что форма выходного сигнала зависит только от входного сигнала, и не зави-
сит от времени поступления сигнала на вход системы. Инвариантность системы к сдвигу является одним из подтверждений постоянства ее параметров.
Линейные системы, инвариантные к сдвигу. Линейность и инвариантность к сдвигу яв-
ляются независимыми свойствами систем и не определяют друг друга. Так, например, операция квадратирования сигнала инвариантна к сдвигу, но нелинейна.
В теории анализа и обработки данных основное место занимают системы, линейные и ин-
вариантные к сдвигу (ЛИС - системы). Они обладают достаточно широкими практическими воз-
можностями при относительной простоте математического аппарата. В дальнейшем, если это спе-
циально не оговаривается, будем иметь в виду именно такие системы.