Материал: конспект-лекций

41

Лекция 2. ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ

Содержание

1. Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение сигналов. Коэффициент корреляции сигна-

лов. Координатный базис пространства.

2.Мощность и энергия сигналов. Понятия мощности и энергии сигналов.

3.Пространства функций. Нормирование метрических параметров. Ортогональные сигна-

лы. Ортонормированный базис пространства. Разложение сигнала в ряд. Ортонормированные си-

стемы функций. Разложение энергии сигнала.

4. Функции корреляции сигналов. Корреляционные функции сигналов. Взаимная корре-

ляционная функция.

5. Математическое описание шумов и помех. Шумы и помехи. Природа помех. Характери-

стики помех.

ВВЕДЕНИЕ

В данной теме метрология сигналов рассматривается, в основном, на уровне понятий и ба-

зовых определений, предваряя их более подробное изучение в дальнейших темах курса. Это объ-

ясняется тем, что при детальном изучении каких-либо характеристик или свойств сигналов их рас-

смотрение не может выполняться в отрыве от других метрологических характеристик сигналов и требует определенной ориентировки в общей метрологии сигналов, хотя бы на уровне понятий.

2.1. ПРОСТРАНСТВО СИГНАЛОВ [1,3,16,29].

Важнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключается в том, что их линей-

ные комбинации также являются аналоговыми или дискретными сигналами. Линейные комбина-

ции цифровых сигналов, в силу их ограничения по разрядности, в принципе относятся к разряду нелинейных операций, однако последним фактором можно пренебречь, если ошибки, которые вносятся в результаты наблюдений при квантовании отсчетов, достаточно малы по сравнению с шумами зарегистрированной информации. При дискретизации и квантовании данных непосред-

ственно на входах в ЭВМ это условие выполняется практически всегда, поскольку ошибки опре-

деляются разрядностью ЭВМ и программными системами обработки данных, которые обычно не ниже 6-12 десятичных разрядов.

Множества сигналов. Сигналы обычно рассматриваются в составе определенных мно-

жеств L, объединенных каким-либо свойством Р, характерным для всех и каждого из сигналов данного множества. Условное отображение множества: L = {s; P} – множество всех s, для кото-

рых справедливо свойство Р. Определив свойство Р, мы тем самым можем ограничивать сигналы,

действующие в каких-либо системах, определенными типами, условиями, границами по парамет-

рам и т.п.

42

Пример 1. Множество гармонических сигналов.

L = {s; s(t) = A·cos ( t+ ), - < t < }.

Множество содержит гармонические сигналы с произвольными значениями амплитуд, частот и

Терминология операций с множествами сигналов. Множества сигналов могут образо-

вываться из других (ранее определенных) множеств логическими операциями объединения (ин-

декс объединения - ) и пересечения (индекс - ):

L = S1 S2 = {s; s S1 или s S2}, L = S1 S2 = {s; s S1 и s S2}.

Возможно также разбиение множества сигналов на непересекающиеся подмножества, бо-

лее удобные для обработки, при этом для множества S, разбитого на совокупность подмножеств

{S1, S2, S3, …, SN}, должны выполняться условия:

S = S1 S2 S3 … SN, Sn Sm = для n ≠ m.

Запись S1 S означает, что множество S1 входит в состав множества S, т.е. является под-

множеством в составе S.

Преобразование элементов vi множества V в элементы gi множества G называется отобра-

жением (трансформацией, преобразованием) V в G (символьные записи: g = T[v] или v → g), при этом элементы v называют прообразом множества g, а элементы g – образом множества v.

Если преобразование выполняется над числами одного множества R (например, x = T[y]),

то такое преобразование порождает функциональную зависимость x = f(y).

Если преобразование выполняется над функциями одного и того же множества L (напри-

мер, f(t) = T[g(t)]), то алгоритм преобразования T[..] называют оператором преобразования f(t) в g(t).

Преобразование g = T[f(t)] функций f(t) множества F называют функционалом, если резуль-

татом преобразования являются числовые значения g множества G. Примерами функционалов яв-

ляются интегралы функций в определенных пределах.

Преобразование может выполняться функциональными операторами с переводом функций одной переменной, например t, в функции по другой переменной, например , Типичным приме-

ром функционального оператора является преобразование Фурье. В комплексной форме:

S( ) = s(t) exp(-j t) dt.

43

Пространство сигналов. Для анализа и обработки информации, которая может быть за-

ключена в сигналах, требуется выделять из множества сигналов сигналы с определенными пара-

метрами, сравнивать сигналы друг с другом, оценивать изменение сигналов при их прохождении через системы обработки данных, и т.п. Это может выполняться только при "помещении" множе-

ства сигналов в определенные метрические пространства с заранее оговоренными свойствами и единицами измерений. Так, "квартирное пространство" любого города включает, как минимум,

три структурных единицы: названия улиц, номера домов, номера квартир, что и определяет про-

странство "квартирных сигналов". Но это пространство не является метрическим, так как оно не имеет нулевой точки и единиц измерений, по нему нельзя определить расстояние между двумя

"квартирными сигналами". Положение на поверхности Земли любого объекта однозначно опреде-

ляется по "координатному сигналу" в заранее сформированных метрических координатных про-

странствах с нулевыми точками и принятыми единицами измерений. Для практического использо-

вания определенными структурными ограничениями сформированы также различные простран-

ства картографических проекций, жестко установленная метрология которых позволяет транс-

формировать информацию из одного пространства в другое, например, более удобное для обра-

ботки определенными программами.

Главным условием превращения множество сигналов L{s1(t), s2(t), …}, которые имеют ка-

кие-то общие свойства, в функциональное пространство сигналов является выполнение условия однозначной реализации. Если пространство значений независимой переменной t задано выраже-

нием R:=(- ,+ ), то пространство сигналов LP[R] определяет множество сигналов в этом про-

странстве, для которых условие однозначной реализации записывается в следующей форме:

|s(t)|p dt < .

Для анализа сигналов наиболее часто используется гильбертово пространство, сигналы в котором должны удовлетворять условию интегрирования с квадратом:

да:

02π |s(t)|2 dt < .

Интуитивно понятно, что метрические пространства должны иметь определенную систему

координат, что позволяет рассматривать любые произвольные сигналы х и у, принадлежащие про-

странству, в виде векторов, соединяющих начало координат с определенными точками этого про-

странства, и определять расстояние между этими точками (x,y). Так как расстояние между точ-

ками должно быть числовым, а сигналы х и у представляют собой функции, то (x,y) представля-

ет собой функционал, для которого в метрическом пространстве должны быть справедливы сле-

44

дующие аксиомы:

(x,y) ≥ 0; (x,y) = 0 при х = у,

Каждый элемент векторного пространства может отображаться проекциями на координат-

ные оси, а для обработки и преобразований сигналов могут использоваться операции векторной алгебры. Достаточно простые алгебраические взаимосвязи между сигналами характерны для ли-

нейных пространств.

Линейное пространство сигналов. Множество сигналов L образует линейное простран-

ство сигналов, если для него справедливы следующие аксиомы

1.Множество содержит такой нулевой элемент , что для всех сигналов u(t) L выпол-

няется равенство u(t) + = u(t).

2.Для любых сигналов u(t) L и v(t) L существует их сумма s(t) = u(t)+v(t), которая также содержится в L. При этом операция суммирования должна быть

-коммутативна: u(t)+v(t) = v(t)+u(t),

-ассоциативна: u(t)+(v(t)+x(t)) = (u(t)+v(t))+x(t),

-однородна: u(t) + (-u(t)) = .

3. Существует множество скалярных элементов , на которые может выполняться умно-

жение любого сигнала s(t) L, при этом результат умножения является новым сигна-

лом y(t) = s(t) в том же пространстве, у(t) L. Операция умножения должна быть

Пример. Множество сигналов L состоит из импульсных сигналов произвольной формы с ам-

плитудой не более 10 вольт. Образуют ли эти сигналы линейное пространство?

Нет, не образуют, так как не выполняется, по крайней мере, вторая аксиома линейного пространства (сумма двух сигналов с амплитудой более 5 вольт превышает 10 вольт). Требу-

ются дополнительные структурные ограничения по параметрам сигналов.

Сигналы могут описываться как вещественными, так и комплексными функциями, и ли-

нейные пространства также могут быть вещественными или комплексными. Скалярные множе-

ства обычно отождествляются с множествами действительных или комплексных чисел, но на них также могут накладываться определенные ограничения. Так, например, в теории связи широко применяется бинарное скалярное множество {0, 1}.

Множество L, для которого выполняются приведенные выше аксиомы, при анализе сигна-

лов и систем может рассматриваться как специальным образом сконструированное многомерное