Материал: конспект-лекций

Коэффициенты корреляции: Екатеринбург – Дели: rED = E, D / (||E|| ||D||) = 0.602.

Екатеринбург – Буэнос-Айрес: rEB = 0.095, Дели – Буэнос-Айрес: rDB = 0.847,

Как следует из вычислений, полученные коэффициенты корреляции маловыразительны.

Практически не регистрируется разнонаправленная корреляция Екатеринбург - Буэнос-Айрес, и не различаются одно- (Екатеринбург – Дели) и разнонаправленные (Дели – Буэнос-Айрес) типы кор-

реляции.

Повторим вычисления в шкале Фаренгейта (0оF = -17,8oC, 100oF = +37,8oC), и в абсолют-

ной шкале температур Кельвина. Дополнительно вычислим значения коэффициентов корреляции в шкале Цельсия и Фаренгейта для центрированных сигналов. Центрированный сигнал вычисля-

ется путем определения среднего значения сигнала по интервалу его задания и вычитания этого среднего значения из исходных значений сигнала, т.е. среднее значение центрированного сигнала равно нулю. Сводные результаты вычислений приведены в таблице.

Как видно из таблицы, значения коэффициента корреляции нецентрированных сигналов существенно зависят от положения сигналов относительно нулевой точки пространства. При од-

ностороннем смещении сигналов относительно нуля (шкала Фаренгейта) значение коэффициента корреляции может быть только положительным, и тем ближе к 1, чем дальше от сигналов нулевая точка (шкала Кельвина), т.к. при больших значениях сигналов-векторов значение скалярного про-

изведения сигналов стремится к значению произведения норм сигналов.

Для получения значений коэффициентов корреляции, независимых от нуля сигнального пространства и от масштаба единиц измерений, необходимо вычислять коэффициент по центри-

рованным сигналам, при этом в оценках коэффициента, как это видно из результатов, приведен-

ных в таблице, появляется знаковый параметр совпадения (или несовпадения) по "направлению"

корреляции и исчезает зависимость от масштаба представления сигналов. Это позволяет вычис-

лять коэффициенты корреляции различных сигналов вне зависимости от физической природы сигналов и их величины.

Координатный базис пространства. Для измерения и отображения одномерных величин

52

достаточно одного нормированного параметра – стандарта величины или единицы ее измерения

(для измерения длины – сантиметр, для измерения тока – ампер, и т.п.).

В пространстве сигналов роль такого метрологического стандарта выполняет координат-

ный базис пространства - подмножество векторов {е1, е2, е3, …} со свойствами ортогональных ко-

ординатных осей с определенной единицей измерений, по которым можно разложить любой про-

извольный сигнал, принадлежащий этому линейному пространству.

Число базисных векторов определяет размерность векторного пространства. Так, для дву-

мерных векторов в качестве ортогонального базиса пространства могут быть приняты векторы {v1, v2}, если выполняется условие их взаимной перпендикулярности – нулевое значение скалярного произведения v1, v2 = 0. При ||v1|| = ||v2|| = 1 эта пара векторов является ортонормированным ба-

зисом с единичными векторами координатных осей в качестве стандарта (единицы измерения)

пространства.

Пример. Могут ли быть приняты в качестве координатного базиса двумерного пространства

векторы

мированы. Векторы могут быть ортонормированным базисом пространства.

Разложение произвольного двумерного вектора - сигнала s в двумерном пространстве, по координатным осям v1 и v2 элементарно:

где коэффициенты с1 и с2 выражают значения составляющих вектора s по направлениям векторов v1 и v2, т.е. являются проекциями вектора s на координатный базис пространства {v1, v2}. Значения проекций определяются скалярными произведениями:

c1 = s, v1 , c2 = s, v2 .

В этом нетрудно убедиться, если вычислить скалярные произведения левой и правой части

выражения (2.1.9) сначала с вектором v1:

s, v1 = (c1v1+c2v2), v1 = с1v1, v1 + с2v2, v1 = с1 v1, v1 + с2 v2, v1 .

При ортонормированности базиса {v1, v2} имеем:

v1, v1 = ||v1||2 = 1, v2, v1 = 0.

Отсюда следует: s, v1 = с1. Аналогичным образом можно получить и выражение для зна-

чения c2 = s, v2 .

Пример. Разложить вектор s = ( 3 /2, 5/2) по базису, представленному векторами

54

ни, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) -

вещественные функции, мгновенная мощность (instantaneous power) сигнала по определению зада-

ется выражением:

т.е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции

Энергия сигнала (также по определению) равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. В пределе:

Мгновенная мощность w(t) является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию на интервалах ненулевой длины:

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют фи-

нитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности,

которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

Как правило, сигналы изучаются на определенном интервале Т, для периодических сигна-

лов - в пределах одного периода Т, при этом средняя мощность (average power) сигнала:

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энер-

гия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное опре-

деление средней мощности сигнала должно производиться по формуле:

Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (средне-

квадратическое) значение сигнала (root mean sqare, RMS).

55

Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии со-

ответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):

w(t) = |s(t)|2/R,

а полная выделенная на резисторе тепловая энергия определяется соответствующим интегрирова-

нием мгновенной мощности w(t) по интервалу задания напряжения s(t) на резисторе R. Физиче-

ская размерность мощности и энергии в этом случае определяется соответствующей физической размерностью функции напряжения s(t) и сопротивления резистора R. Для безразмерной величины s(t) при R=1 это полностью соответствует выражению (2.2.1). В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналов используются в более широком смысле, чем в физике. Они представляют собой специфические метрологические характеристики сигналов.

Из сравнения выражений (2.1.2) и (2.2.2) следует, что энергия и норма сигнала связаны со-

отношениями:

Пример. Цифровой сигнал задан функцией s(n) = {0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,0,0,0....}.

Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t)

Как следует из этого выражения, энергии сигналов (а равно и их мощности), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сиг-

нала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию

Нетрудно заметить, что энергия взаимодействия сигналов равна их удвоенному скалярному произведению