Материал: конспект-лекций
46
Пример. Имеем множество сигналов в виде числовых последовательностей, каждая из кото-
рых состоит из N чисел (N-мерные вектор-строки). Для сигналов задано скалярное простран-
ство чисел R = { , 0 ≤ ≤ 10}. При этом пространство сигналов N-мерно и может быть опре-
делено линейной комбинацией:
L = {y; y =
N n 0
n xn, 0 ≤ ≤ 10, xn – базис пространства}.
x0 = {1,0,0,0,…,0}, x1= {0,1,0,0,…,0}, x2= {0,0,1,0,…,0},
………………….
xN= {0,0,0,0,…,1},
Любой сигнал в этом пространстве определен точкой с N - координатами в базисе xn.
Основными метрическими параметрами линейного пространства являются норма, метрика и скалярное произведение сигналов.
Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов, и обознача-
ется индексом ||s(t)|| - норма (norm). В математике существуют различные формы норм. При анали-
зе сигналов обычно используются квадратичные нормы
|
|
2 |
|
|
|
|
||s(t)|| = |
s |
(t) dt . |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Соответственно, для дискретных сигналов: |
|
|
|
|
|
|
||s(n)|| = |
|
|
|
2 |
(n) . |
|
s |
||||||
|
||||||
|
n |
|
|
|||
Для комплексных сигналов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
||s(t)|| = |
|
|
|
(t) dt , |
||
s(t)s |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2.1.2)
(2.1.2')
(2.1.2'')
где s*(t) – величины, комплексно сопряженные с s(t).
Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу про-
странства s(t) однозначно сопоставлена его числовая норма ||s(t)||, и выполняются следующие ак-
сиомы:
1.Норма неотрицательна (||s(t)|| ≥ 0) и равна нулю тогда и только тогда, когда сигнал равен нулю (||s(t)|| = , при s(t) = ).
2.Для любого числа b должно быть справедливо равенство ||bs(t)|| = |b| ||s(t)||.
3.Если v(t) и u(t) – сигналы из пространства L, то должно выполняться неравенство тре-
угольника ||v(t)+u(t)|| ||v(t)|| + ||u(t)||.
Пример норм для двумерных цифровых сигналов приведен на рис. 2.1.2.
47
Метрика сигналов. Линейное пространство сигналов L является метрическим, если каждой паре сигналов s(t) L и v(t) L однозначно сопоставляется неотрицательное число (s(t), v(t)) –
метрика (metric) или расстояние между векторами. Пример метрики для двух векторов в двумер-
ном пространстве приведен на рис. 2.1.2. |
|
|
|
|
|
Для метрик сигналов в метрическом про- |
|||
|
||||
|
странстве любой размерности должны выпол- |
|||
|
няться аксиомы: |
|
||
|
1. |
(s(t),v(t)) = |
(v(t),s(t)) – рефлексив- |
|
|
ность метрики. |
|
||
Рис. 2.1.2. Норма и метрика сигналов. |
2. |
(s(t),s(t)) = 0 |
для любых s(t) L. |
|
|
|
|
||
|
3. |
(s(t),v(t)) |
(s(t),a) + (a,v(t)) для |
|
любых a L. |
||||
|
|
|
||
Метрика определяется нормой разности двух сигналов (см. рис. 2.1.2) |
||||
(s(t),v(t)) = || s(t) – v(t) ||. |
(2.1.3) |
|||
В свою очередь норму можно отождествлять с расстоянием от выбранного элемента про-
странства до нулевого ||s(t)|| = (s(t), ).
По метрике сигналов можно судить, например, о том, насколько точно один сигнал может
быть аппроксимирован другим сигналом, или насколько изменяется выходной сигнал относитель-
но входного при прохождении через какое-либо устройство.
Пример. Сигнал на интервале (0,Т) представляет собой половину перио- |
|
|
|
да синусоиды амплитудой A: s(t) = A sin( t/T), 0 |
t T. Требуется ап- |
|
|
проксимировать сигнал прямоугольным импульсом п(t) (см. рис. 2.1.3). |
|
||
Если принять амплитуду импульса п(t) равной В, то квадрат рассто- |
|
||
T |
|
|
Рис. 2.1.3. |
|
|
|
|
яния между сигналами: 2(s,п) = (A sin( t/T)-В)2 |
dt = A2T/2 - 4ABT/ + |
|
|
|
|||
o |
|
|
|
B2T. |
|
|
|
Для решения задачи требуется найти минимум выражения 2(s,п). Дифференцируем по-
лученное выражение по В, приравниваем нулю и, решая относительно В, находим значение экстремума: В = 2A/ 0.64А. Это искомое значение минимума функции 2(s,п) (вторая произ-
водная функции по В положительна). При этом минимальное значение метрики: min 0.31A
T . Вычислим нормы сигналов при А = 1:
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еs = А2 |
T sin2 ( t/T) dt = A2 T/2 = 10. Норма: ||s(t)|| = |
E |
= 0.707 A |
T 3.16. |
|||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
Еп = B2 |
T dt = B2 T 8.1. Норма: ||п(t)|| = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E = B T 2.85. |
|
|
|||||||
|
0 |
п |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48
Скалярное произведение произвольных сигналов u(t) и v(t) отражает степень их связи
(сходства) по форме и положению в пространстве сигналов, и обозначается как u(t), v(t) .
u(t), v(t) = ||u(t)|| ||v(t)|| cos , (2.1.4)
Физическую сущность скалярного произведения векторов в двумерном пространстве мож-
но видеть достаточно наглядно (рис. 2.1.4). Это произведение "длины" (нормы) одного вектора на проекцию второго вектора по "направлению" первого вектора.
Рис. 2.1.4. Скалярное произведение сигналов в двумерном пространстве.
При кажущейся абстрактности скалярного произведения сигналов оно может приобретать вполне конкретный физический смысл для конкретных физических процессов, которые отобра-
жаются этими сигналами. Так, например, если v = F – сила, приложенная к телу, а u = s – переме-
щение тела под действием этой силы, то скалярное произведение W = F·s определяет выполнен-
ную работу, при условии совпадения силы с направлением перемещения. В противном случае, при наличии угла между векторами силы и перемещения, работа будет определяться проекцией си-
лы в направлении перемещения, т.е. W = s·F·cos .
Вычисление скалярного произведения обычно производится непосредственно по сигналь-
ным функциям. Поясним это на примере двумерных сигналов с использованием рисунка 2.1.2. Для
квадрата метрики сигналов s и v имеем: |
|
|
|
|
|
||s-v||2 = ||s||2 + ||v||2 – 2 ||s|| ||v|| cos |
|
||s||2 + ||v||2 – 2 s, v . |
|
|
2 s,v = ||s||2 + ||v||2 - ||s-v||2 = (s12+s22)+(v12+v22)–{(s1-v1)2+(s2-v2)2} = 2 (s1v1+s2v2). |
|||
|
s,v = s1v1+s2v2. |
|
||
Обобщая полученное выражение на аналоговые сигналы: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
s(t), v(t) = |
s(t)v(t) dt. |
(2.1.5) |
|
Соответственно, для дискретных сигналов в N-мерном пространстве: |
|
|||
|
|
|
N |
|
|
sn, vn = |
sn vn. |
(2.1.5') |
|
|
|
n 1 |
|
|
Скалярное произведение обладает следующими свойствами |
|
|||
1. |
s,v 0; |
|
|
|
2. |
s,v = v,s ; |
|
|
|
49
3.as,v = a s,v , где а – вещественное число;
4.s+v, a = s,a + v,a .
Линейное пространство аналоговых сигналов с таким скалярным произведением называет-
ся гильбертовым пространством Н (второе распространенное обозначение - L2). Линейное про-
странство дискретных и цифровых сигналов - пространством Евклида (обозначение пространства
- R2). В этих пространствах справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского (мо-
дуль косинуса в (2.1.4) может быть только равным или меньше 1) |
|
|||
| s,v | ||s|| ||v||. |
(2.1.6) |
|||
Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение вычисляется по фор- |
||||
муле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(t), v(t) = |
s(t)v*(t) dt. |
(2.1.7) |
||
|
||||
|
|
|
|
|
При определении функций в пространстве L2[a,b] вычисление скалярного произведения |
||||
производится соответственно с пределами интегрирования от а до b. |
|
|||
Из выражения (2.1.4) следует косинус угла между сигналами: |
|
|||
cos = s(t),v(t) /(||s|| ||v||). |
(2.1.8) |
|||
Пример. Имеется два смещенных во времени прямоугольных импульса с одинаковой ампли-
тудой и длительностью: s1(t) = 2 при 0 t 5, s1(t) = 0 при других t; и s2(t) = 2 при 4 t 9, s2(t)
= 0 при других t.
Квадраты норм сигналов: ||s1||2 = 50 s12(t)dt = 20.
||s2||2 =
94
s22(t)dt = 20
Скалярное произведение: s1,s2 = |
|
5 |
s1(t) s2(t) dt = 8. |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Отсюда имеем: cos = (s1,s2)/ (||s1|| ||s2||) = 8/20 = 0.4 и 1.16 радиан 66о |
|||||||
|
|
|
|
|
t 5 |
|
|
При полном совмещении сигналов: s1,s2 = |
s1(t) s2(t) dt = 20, cos |
= 1, = 0. |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
При отсутствии перекрытия сигналов; |
s1,s2 = 0, cos = 0, = 90о. |
|
|||||
Физическое понятие "угла" между многомерными сигналами довольно абстрактно. Однако
при рассмотрении выражения (2.1.8) совместно с выражением для квадрата метрики сигналов
|
|
(s,v) = [s(t)-v(t)]2 dt = ||s||2 + ||v||2 - 2 ||s|| ||v|| cos . |
|
можно отметить следующие закономерности. При |
(cos = 1) сигналы "совпадают по |
направлению" и расстояние между ними минимально. При |
= /2 (cos = 0) сигналы "перпен- |
дикулярны |
друг другу" (иначе говоря – ортогональны), и проекции сигналов друг на друга равны |
0. При = |
(cos = -1) сигналы "противоположны по направлению" и расстояние между сигна- |
лами максимально. Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их селек-
50
ции в многоканальных системах.
Коэффициент корреляции сигналов. Одновременно заметим, что значение косинуса в
(2.1.8) изменяется от 1 до -1, и не зависит от нормы сигналов ("длины" векторов). Максимальное значение cos = 1 соответствует полной тождественности относительной динамики сигналов,
минимальное значение cos = -1 наблюдается при полной противоположности значений относи-
тельной динамики сигналов. По существу, коэффициент r = cos 
является интегральным коэф-
фициентом степени сходства формы сигналов по пространству их задания. С учетом этого он и по-
лучил название коэффициента корреляции сигналов. На рис. 2.1.5 можно наглядно видеть значения коэффициента корреляции двух сигналов в зависимости от их формы и сдвига по независимой пе-
ременной.
Рис. 2.1.5. Коэффициент корреляции сигналов.
Однако количественные значения коэффициентов корреляции существен-
но зависят от выбора нулевой точки сиг-
нального пространства. Рассмотрим это более детально на конкретном примере.
На рис. 2.1.6 приведено измене-
ние средней месячной температуры возРис. 2.1.6. духа в трех городах земного шара в те-
чение одного календарного года. Харак-
тер корреляции между изменениями температур в городах достаточно хорошо виден на графиках.
Вычислим (см. пример ниже) значения коэффициентов корреляции для шкалы температур по Цельсию.
Пример. Среднемесячная температура воздуха в городах по Цельсию: |
|
|
|
Екатеринбург: |
Ek = {-12,-10,-4,5,11,19,23,21,15,5,-3,-8}. |
Дели: |
Dk = |
{15,18,22,28,33,35,33,32,30,28,21,17}.
Буэнос-Айрес: Bk = {26,24,21,18,14,11,10,10,12,15,20,23}. Нумерация месяцев: k = 1, 2, 3, …,
12.
Норма сигналов: ||E|| = |
|
k |
(E |
k |
)2 |
= 45.39, ||D|| = |
|
k |
(D )2 |
= 93.05, ||B|| = |
|
k |
(B )2 |
= 61.9. |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|