Материал: КонспектНМ14_2018

Для формальної строгості при завданні нечітких множин необхідно явно указувати відповідний універсум X елементів, з яких формується те або інша конкретна нечітка множина. У загальному випадку ніяких припущень щодо елементів цієї множини не робиться. Проте з практичної точки зору доцільно обмежити універсум елементами даної предметної області або вирішуваного завдання. Оскільки при побудові нечітких моделей систем використовуються кількісні змінні, то найчастіше, як універсум X використовується деяка підмножина дійсних чисел, наприклад, множина ненегативних дійсних чисел + або натуральних чисел .

Розглянемо деякі конкретні приклади нечітких множин.

Приклад 1.1. Припустимо, необхідно побудувати деяку нечітку множину, яка змістовно описувала б вихідні (неробочі) дні звичайного семиденного тижня. У термінології класичних множин ситуація тривіальна, а саме, дні тижня з понеділка по п'ятницю є робочими, а субота і неділя – вихідними. Зауважимо, що мова йде про традиційний календарний тиждень, а робочі дні вважаються без урахування змінності і інших особливостей трудовитрат. Таким чином, звичайна не нечітка множина вихідних днів А складається з двох елементів: А={субота, неділя}. Ця точка зору є загальноприйнятою для бухгалтерії при розрахунку заробітної платні співробітникам.

Що ж до визначення відповідної нечіткої множини , спробуємо суб'єктивно оцінити ступінь нашого емоційного відношення до різних днів тижня, розглядаючи їх з погляду вихідних і психології можливого відпочинку. Для більшості з нас ситуація вже не здаватиметься такою простою, як у попередньому випадку.

Що стосується днів з понеділка по четвер, то відношення до них як до робочих днів навряд чи зміниться. А ось п'ятниця, особливо її вечір для багатьох асоціюється з повноцінним відпочинком і високим ступенем позитивних емоцій. Субота є, безумовно, вихідним днем, протягом якого можуть бути забуті всі службові турботи, особливо в суботу увечері, а для багатьох – і вночі. А ось що стосується неділі, то ближче до вечора ситуація міняється – нерідко на розум приходить думка: "Завтра потрібно рано вставати і приступати до роботи", і настрій вже не можна вважати таким безхмарним.

Таким чином, дана нечітка множина , що описує вихідні дні тижня, може бути задана, наприклад, у вигляді: ={<понеділок, 0>, <вівторок, 0>, <середа, 0>, <четвер, 0>, <п'ятниця, 0.5>, <субота, 1.0>,<неділя, 0.8>}. Тут в якості універсуму виступають всі дні тижня: Х={понеділок, вівторок, середа, четвер, п'ятниця, субота, неділя}, а функція приналежності задається перерахуванням своїх значень. При цьому чим ближче її значення до 1, тим більше відповідає той або інший день тижня нашому відношенню до нього як до вихідного дня.

Спробуємо представити цю нечітку множину графічно. Зобразимо графічно функцію приналежності цієї нечіткої множини. Для цього на горизонтальній вісі відзначимо окремі значення елементів універсуму (у нашому випадку – елементи множини X), а на вертикальній осі – значення відповідної функції приналежності (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Графічне представлення скінченної нечіткої множини, що описує вихідні дні тижня, у формі значень функції приналежності цієї нечіткої множини

Навіть цей простий приклад показує, що однозначно визначити ту або іншу нечітку множину не представляється можливим, а іноді – і принципово неможливим. Якщо хтось вирішить, що його суб'єктивна оцінка вихідних днів відрізняється від розглянутої вище, то він буде по-своєму правий. Відповідно, у якості нечіткої множини могли б виступати множини: ={<понеділок, 0>, <вівторок, 0>, <середа, 0>, <четвер, 0.1>, <п'ятниця, 0.6>, <субота, 1.0>, <неділя, 0.7>} або ={<понеділок, 0>, <вівторок, 0.1>, <середа, 0> <четвер, 0.1>, <п'ятниця, 0.5>, <субота, 0.9>, <неділя, 0.8>}. Важливо уявляти собі, що з формальної точки зору всі вони повинні задовольняти лише початковому визначенню нечіткої множини у формі (1.1).

Продовжимо розгляд попереднього прикладу з метою його розширення на випадок нескінченної нечіткої множини. Оскільки наше відношення до вихідних днів тижня може змінюватися протягом часу доби, а горизонтальна вісь на рис. 1.1 легко перетворюється у безперервну вісь часу, то і відповідна нечітка множина допускає природне узагальнення. А саме, кожен з днів тижня представлятимемо як окрему добу з переходом о 0 годині до наступного дня тижня. Тоді функція приналежності нечіткої множини може бути задана аналітично у формі деякої кривої, яка в максимально нашому емоційному відношенню до вихідних днів протягом всієї доби.

Один з можливих варіантів такої функції приналежності зображений на рис. 1.2, на якому горизонтальна вісь відповідає добовому представленню семиденного тижня.

Рис. 1.2. Графічне представлення нескінченної нечіткої множини, що описує вихідні дні тижня, у формі кривій його функції приналежності

Для порівняння розглянемо представлення звичайної (не нечіткої) множини вихідних днів тижня A={субота, неділя} у формі нескінченної множини. В цьому випадку характеристична функція даної множини може бути записана у вигляді кусочно-безперервної функції, що приймає тільки два значення, – 0 і 1 на множині значень універсуму X (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Графічне представлення звичайної множини вихідних днів А у формі значень відповідної характеристичної функції

З розгляду даного прикладу видно, що характеристичну функцію звичайної множини А в тому або іншому контексті зручно вважати спеціальним випадком функції приналежності відповідної нечіткої множини . Цей факт дозволяє розглядати довільну нечітку множину як узагальнення звичайної множини А, а множина А – як звуження або окремий випадок відповідної нечіткої множини .

Приклад 1.2. В якості другого прикладу розглянемо типову побутову ситуацію, з якою стикається багато хто з нас при спробі дати характеристику температури того або іншого напою. Подібна характеристика зазвичай грунтується виключно на суб'єктивних відчуттях, наприклад, гаряча кава або чай, холодний квас або кола. Стосовно цієї ситуації розглянемо нечітку множину, яке характеризуватиме "гарячу каву". В цьому випадку в якості універсуму природно узяти шкалу температури, виміряної в градусах Цельсія і поміщеної у відкритий інтервал (0°С, 100°С), тобто Х={х | 0°С <x< 100°С}. Вибір цього інтервалу цілком виправданий з фізичної точки зору, оскільки саме в цьому діапазоні температур кава потенційно може існувати як напій. Очевидно, що окрема чашка кави, скажемо x1, з температурою 10°С не може бути визнана гарячою, тому для неї значення функції приналежності даній множині дорівнюватиме нулю, тобто . З іншого боку інша чашка кави x2 з температурою 90°С цілком може бути визнана гарячою, тому для неї значення функції приналежності даній множині дорівнюватиме 1, тобто .

Що стосується значень температур, які знаходяться між цими крайніми значеннями, то ситуація представляється вже не такою однозначною. Більш того, вона за своєю суттю є виключно суб'єктивною і невизначеною, оскільки чашка кави з температурою 55°С для одного індивідуума може опинитися гарячою, а для іншого – не дуже гарячою. Саме в цьому і проявляється нечіткість завдання відповідної множини. Проте, ми можемо бути цілком упевнені в загальному вигляді функції приналежності, а саме – в тому, що відповідна функція приналежності є такою, що монотонно зростає (або більш строго – монотонно неубувує).

Таким чином, в якості множини, що описує гарячу каву, можна розглядати, наприклад, таку нечітку множину, для якої функція приналежності має наступний вигляд (див. рис. 1.4, а або 1.4, б).

Рис. 1.4. Графіки варіантів функцій приналежності для нечіткої множини, що описує "гарячу каву"

Розглянутий приклад допускає узагальнення на інші ситуації, пов'язані з представленням аналогічної нечіткої інформації. Зокрема, цілий ряд властивостей технічних пристроїв, побутових приладів і соціальних явищ можуть ініціювати схожі нечіткі множини. Наприклад, такі фрази, як "швидкісний автомобіль", "високооплачувана робота", "упорядкована квартира", "щедрі чайові", "престижний район", "смачна вечеря" породжують нечіткі множини, аналогічні тим, що розглянуті в прикладі 1.2. При цьому загальний вигляд функцій приналежності таких множин буде подібний зображеним на рис. 1.4, а, б.

Приклад 1.3. Наступний приклад пов'язаний з розпізнаванням букв деякого алфавіту і десяткових цифр, що є вельми актуальним завданням при скануванні текстових документів. Припустимо, є деяке графічне зображення, на якому представлені деякі буква і цифра (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Графічне зображення деякої букви (а) і деякої десяткової цифри (б)

Перше зображення породжує на множині усіх прописних букв (наприклад, українського) алфавіту X={А, Б, В..., Я} деяку скінченну нечітку множину ={<А, (А) >, <Б, (Б) >,..., <Я, (Я) >}. Ця нечітка множина змістовно описує відповідність зображення, представленого на рис. 1.5, а, тій або іншій букві алфавіту. Такою множиною може бути, наприклад наступна нечітка множина: ={<А, 0>, <Б, 0>...,<И, 1.0>, <Й, 0.9>, <К, 0.4>, <Л, 0>, <М, 1.0>, <Н, 1.0>, <О, 0>...,<Х, 0.3>,...,<Я, 0>}. Пропущені елементи відповідають нульовим значенням функції приналежності для решти букв алфавіту.

Друге зображення породжує на множині всіх десяткових цифр Х={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} скінченну нечітку множину ={<0 (0) >, <1 (1)>,..., <9 (9))>}. Ця нечітка множина змістовно описує відповідність зображення, представленого на рис. 1.5, б, тій або іншій десятковій цифрі. У окремому випадку такою нечіткою множиною може бути, наприклад, наступна: ={<0, 0.8>, <1, 0>, <2, 0>, <3, 0.9>, <4, 0>, <5, 0.2>, <6, 1.0>, <7, 0>, <8, 1.0>, <9, 0.9>}. Тут вказані всі значення функції приналежності для елементів універсуму.

Розглянуті вище приклади ілюструють характерні аспекти невизначеності, які зустрічаються в практиці нечіткого моделювання. По-перше, кожна з нечітких множин допускає в загальному випадку неоднозначне представлення, що відображає суб'єктивну точку зору на моделювання відповідних практичних ситуацій. Іншими словами, якщо хтось не згоден з конкретним варіантом завдання нечітких множин , і , то він може запропонувати свої варіанти значень функцій приналежності. І формально по-своєму будуть праві, оскільки адекватність цих представлень обумовлюється їх подальшим практичним використанням для вирішення того або іншого завдання. По-друге, ці приклади добре ілюструють концептуальну відмінність між теорією нечітких множин і теорією ймовірності, оскільки розглянуті варіанти невизначеності мають не стохастичний характер. І, нарешті, по-третє, вибір аналітичної функції або вигляду кривої для тієї або іншої функції приналежності з метою завдання відповідної нечіткої множини часто визначається міркуваннями зручності і простоти.

Перейдемо до розгляду основних характеристик нечітких множин, які використовуються для їх детальнішого опису і систематичного вивчення.

2. Основні характеристики нечітких множин

Хай = – довільна нечітка множина (скінченна або нескінченна) з елементами з універсуму X і функцією приналежності .

Визначення 2.1. Узагальненням носія нечіткої множини є поняття множини -рівня, під якою розуміється звичайна множина , що задовольняє наступній умові: , де – деяке дійсне число з інтервалу [0,1], т. е. [0, 1].

Іноді можна зустріти також визначення множини строгого -рівня, яка відрізняється строгою нерівністю в умові: . Очевидно, в цьому випадку носій довільної нечіткої множини є його множина строгого 0-рівня, тобто справедлива формальна рівність: .

Як приклад розглянемо визначену вище нечітку множину, що представляє в деякому контексті "невелике натуральне число" і рівне: = {<1, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>, <4, 0.8>, <5, 0.6>, <6, 0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, 0.1>}. Тоді деякі з його множин -рівня дорівнюють: _0.8 = {1, 2, 3, 4}; : _0.5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; : _0.1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Визначення 2.2. Величина, де супремум береться по всіх значеннях функції приналежності для , називається висотою нечіткої множини . Згідно цьому визначенню, нечітка множина порожня, якщо її висота в точності дорівнює 0, тобто .

Наприклад, висота скінченної нечіткої множини "невелике натуральне число" дорівнює 1 і відповідає двом елементам універсуму: 1 і 2.

Розглянемо в якості ще одного прикладу нескінченну нечітку множину, яка представляє "велике дійсне число", з функцією приналежності, заданої таким математичним виразом: для і 1 для . Висота цієї нечіткої множини також дорівнює 1, однак серед елементів універсуму X=R+ відсутні числа, для яких =1 (рис. 2.1). Дійсно, яке б число ми не розглянули, відповідне значення функції приналежності завжди буде строго менше 1