Материал: КонспектНМ14_2018

Рис. 2.1. Графік функції приналежності нескінченної нечіткої множини, яка представляє "велике дійсне число"

Особливість визначення висоти полягає в тому, що висота нечіткої множини завжди існує і дорівнює деякому дійсному числу з інтервалу [0, 1], якому може відповідати декілька елементів універсуму. Дійсно, для кінцевих нечітких множин висота завжди дорівнює максимальному значенню їх функцій приналежності. Для нескінченних нечітких множин область значень відповідних функцій приналежності завжди є компактною множиною, тому що є підмножиною інтервалу [0, 1]. А оскільки для довільної компактної множини завжди існує найменша верхня грань, то вона і приймається за визначенням в якості висоти нечіткої множини.

Визначення 2.3. Нечітка множина називається нормальною, якщо максимальне значення її функції приналежності дорівнює 1. Формально це означає, що для нормальної нечіткої множини необхідне виконання наступної умови:

(2.1)

Наприклад, нечітка множина "невелике натуральне число" є нормальною, оскільки її висота дорівнює 1 і відповідає двом її елементам: 1 і 2. Навпаки, нечітка множина "велике дійсне число" не є нормальною.

Визначення 2.4. Якщо висота нечіткої множини дорівнює одиниці ( ), але умова (2.1) не виконується, то таку нечітку множину називатимемо субнормальною.

Очевидно, нечітка множина "велике дійсне число" є субнормальною.

Визначення 2.5. Ядром нечіткого множина називається така звичайна множина А₁, елементи якої задовольняють умові:

.

Наприклад, ядро нечіткої множини "невелике натуральне число" дорівнює двоелементній множині А₁={1, 2}. Нечітка множина "велике дійсне число" має порожнє ядро.

Не важко помітити, що якщо довільна нечітка множина не є нормальною, то ядро такої нечіткої множини буде порожнім. Таким чином, має місце наступна фундаментальна теорема. Для того, щоб деяка нечітка множина була нормальною, необхідно і достатньо, щоб воно мало не порожнє ядро.

Оскільки, як було показано вище, висота нечіткої множини завжди існує, то довільну не порожню нечітку множину завжди можна перетворити щонайменше до субнормальної нечіткої множини ’ за наступною формулою:

(2.2)

Більш того, якщо в початковій нечіткій множині знайдеться хоча б один елемент , для якого значення функції приналежності дорівнює висоті цієї нечіткої множини, тобто , то отримана після перетворення (2.2) нечітка множина буде нормальною.

Визначення 2.6. Межами нечіткої множини називаються такі елементи універсуму, для яких значення функції приналежності відмінні від 0 і 1. Іншими словами, межі нечіткої множини = включають ті і лише ті елементи універсуму, для яких виконується умова: 0< <1.

Визначення 2.7. Елементи нечіткої множини, для яких виконується умова: , називаються точками переходу цієї нечіткої множини.

Визначення 2.8. Часто виявляється корисним поняття чіткої множини А, найближчої до нечіткої множини . Характеристична функція такої множини може бути визначена наступним чином:

(2.3)

Рис. 2.2. Ядро, носій і межі нечітких множин, одне з яких є нормальним (а), а інше – не є нормальним (б)

Для характеристики нечітких множин використовують також поняття опуклості, яке асоціюється з відповідним графічним зображенням функції приналежності.

Визначення 2.9. Нечітку множину з універсумом X називають опуклою, якщо її функція приналежності задовольняє наступній нерівності:

(2.4)

для будь-яких значень , при яких і .

Рис. 2.3. Графіки функцій приналежності опуклої (а) і не опуклої (б) нечіткої множини

Визначення опуклості для нечітких множин відрізняється від відомого в аналізі, оскільки має більш загальний математичний контекст. Проте, його вельми зручно використовувати на практиці, оскільки окрім безперервних функцій приналежності воно може бути застосовне до скінченних нечітких множин, а також до множин, функція приналежності яких не є безперервною кривою.

На рис. 2.3 зображені графіки двох функцій приналежності, перша з яких є опуклою, а друга – не є опуклою.

3. Функція приналежності і методи її побудови

На практиці зручно використовувати ті функції приналежності, які допускають аналітичне представлення у вигляді деякої простій математичній функції. Це спрощує не тільки відповідні чисельні розрахунки, але і скорочує обчислювальні ресурси, необхідні для зберігання окремих значень цих функцій приналежності.

Класифікація функцій приналежності

Кусочно-лінійні функції приналежності

В якості першого типу функцій приналежності розглянемо функції, які, як випливає з їх назви, складаються з відрізків прямих ліній, утворюючи безперервну або кусочно-безперервну функцію. Найбільш характерним прикладом таких функцій є "трикутна" (рис. 3.1, а) і "трапецієвидна" (рис. 3.1, б) функції приналежності. У нашому випадку кожна з цих функцій задана на універсумі Х=[0, 10], у якості якого обраний замкнутий інтервал дійсних чисел. У загальному випадку вибір універсуму може бути довільним, і не обмежений ніякими правилами.

Рис. 3.1. Графіки функцій приналежності трикутної (а) і трапецієвидної (б) форми

Перша з цих функцій приналежності в загальному випадку може бути задана аналітично наступним виразом:

(3.1)

де а, b, с – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: .

Стосовно конкретної функції, зображеної на рис. 3.1, а, значення параметрів дорівнюють: а=2, b=4, с=7. Як неважко помітити, параметри а і з характеризують основу трикутника, а параметр b – його вершину. Ця функція приналежності породжує нормальну опуклу унімодальну нечітку множину з носієм – інтервалом (а, с), межами (а, с \{b}), ядром {b} і модою b.

Трапецієвидна функція приналежності в загальному випадку може бути задана аналітично наступним виразом:

(3.2)

де а, b, с, d – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням:

Стосовно конкретної функції, зображеної на рис. 3.1, б, значення параметрів дорівнюють: a=1, b=3, с=5, d=8. Як неважко помітити, параметри а і d характеризують нижню основу трапеції, а параметри b і с– верхню основу трапеції. При цьому дана функція приналежності породжує нормальну опуклу нечітку множину з носієм – інтервалом (а, d), межами (а, b) (с, d) і ядром [b, с].

Ці функції використовуються для завдання таких властивостей множин, які характеризують невизначеність типу: "приблизно рівний", "середнє значення", "розташований в інтервалі", "подібний до об'єкту", "схожий на предмет" і ін. Вони також служать, для представлення нечітких чисел і інтервалів, які будуть розглянуті далі.

Z-образні і S-образні функції приналежності

Ці функції приналежності також отримали свою назву із за вигляду кривих, які представляють їх графіки. Перша з функцій цієї групи називається Z-образною кривою або сплайн-функциєю і в загальному випадку може бути задана аналітично наступним виразом:

де а, b – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: а<b. Графік цієї функції для деякої нечіткої множини і універсуму Х=[0, 10] зображений на рис. 3.2, а, при цьому значення параметрів відповідно дорівнюють: а=3, b=6.

Сплайн-функція може бути також задана іншим виразом:

де а, b – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: а<b. Графік цієї функції для деякої нечіткої множини і універсуму X=[0, 10] зображений на мал. 3.2, б, при цьому значення параметрів відповідно рівні а=3, b=6.

Рис. 3.2. Графіки Z-образних функцій приналежності f_z1 і f_z2 для значень параметрів а=3, b=6

Хоча на перший погляд відмінність між цими функціями ледве помітна, проте вона існує, в чому можна переконатися за допомогою поєднання їх графіків на одному рисунку.

Дані функції приналежності породжують нормальні опуклі нечіткі множини з ядром (- , а] і носієм (- , b).

Ці функції використовуються для представлення таких властивостей нечітких множин, які характеризуються невизначеністю типу: "мала кількість", "невелике значення", "незначна величина", "низька собівартість продукції", "низький рівень цін або доходів", "низька процентна ставка" і багато інших. Загальним для всіх таких ситуацій є слабкий ступінь прояву тієї або іншої якісної або кількісної ознаки. Особливість нечіткого моделювання при цьому полягає в представленні відповідних нечітких множин за допомогою незростаючих (монотонно убуваючих) функцій приналежності.

Друга з функцій даної групи називається S-образною кривою або сплайн-функцією і в загальному випадку може бути задана аналітично наступним виразом: