Материал: КонспектНМ14_2018

де а, b – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: а<b. Графік цієї функції для деякої нечіткої множини і універсуму X=[0, 10] зображений на рис. 3.3, а, при цьому значення параметрів відповідно дорівнюють: a=3, b=6.

Сплайн-функція може бути також задана іншим виразом:

де а, b – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: а<b. Графік цієї функції для деякої нечіткої множини і універсуму X=[0, 10] зображений на рис. 3.3, б, при цьому значення параметрів відповідно дорівнюють: a=3, b=6.

Ці функції приналежності породжують нормальні опуклі нечіткі множини з ядром [b + ) і носієм (а, + ).

Мал. 3.3. Графіки S-образних функцій приналежності f_S1 і f_S2 для значень параметрів а=3, b=6

До типу S-образних і одночасно Z-образних функцій приналежності може бути віднесена так звана сигмоїдальна функція (сигмоїд), яка в загальному випадку задається аналітично наступним виразом:

(3.7)

тут а, b– деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: a<b, а е – основа натуральних логарифмів, яка ініціює завдання відповідній експоненціальній функції. При цьому у разі а>0 може бути отримана S-образна функція приналежності, а у разі a<0 – Z-образна функція приналежності.

Графіки цієї функції для деякої нечіткої множини і універсуму Х=[0, 10] зображені на рис. 3.4. При цьому S-образній функції приналежності відповідають значення параметрів а=3, b=6 (рис. 3.4, а), а Z-образній функції приналежності відповідають значення параметрів а=-3, b=6 (рис. 3.4, б).

Ці функції приналежності породжують субнормальні опуклі нечіткі множини з носієм і межею і точкою переходу b.

Рис. 3.4. Графіки сигмоїдальної функції приналежності f_S3 для значень параметрів а=3, b=6 (а) і а=-3, b=6 (б)

Розглянуті S-образні функції використовуються для представлення таких нечітких множин, які характеризуються невизначеністю типу: "велика кількість", "велике значення", "значна величина", "високий рівень доходів і цін", "висока норма прибули", "висока якість послуг", "високий сервіс обслуговування" і багато інших. Загальним для всіх таких ситуацій є високий ступінь прояву тієї або іншої якісної або кількісної ознаки. Особливість нечіткого моделювання при цьому полягає в представленні відповідних нечітких множин за допомогою неубуваючих (монотонно зростаючих) функцій приналежності.

Як окремі випадки Z- і S-образних кривих зручно розглядати так звану лінійну Z-образну функцію (рис. 3.5, а) і лінійну S-образну функцію (рис.3.5, б). Перша з цих функцій в загальному випадку може бути задана аналітично наступним виразом:

(3.8)

де а, b – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: а<b. Графік цієї функції для деякої нечіткої множини і універсуму X=[0,10] зображений на рис. 3.5, а, при цьому значення параметрів відповідно дорівнюють: а=3, b=6.

Друга з цих функцій в загальному випадку може бути задана аналітично наступним виразом:

(3.9)

де а, b – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: а<b. Графік цієї функції для деякої нечіткої множини і універсуму X=[0, 10] зображений на рис. 3.5, б, при цьому значення параметрів відповідно також дорівнюють: а=3, b=6.

Мал. 3.5. Графіки лінійної Z-образной функції (а) і лінійної S-образной функції (б) приналежності для значень параметрів а=3, b=6

Ці функції приналежності породжують нормальні опуклі нечіткі множини з межами (а, b).

Слід відмітити, що дані лінійні Z- і S-образні функції можуть бути використані для побудови розглянутих вище трикутної і трапецієвидної функцій приналежності (див. рис. 3.1). Зокрема трикутна функція приналежності може бути отримана як композиція лінійної Z-образної і лінійної S-образної функцій за наступною формулою:

(3.10)

де а, b, с – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: а b с. У виразі (3.10) використовується операція отримання мінімуму (позначена знаком min) зі всіх значень, вказаних у фігурних дужках через кому. При цьому якщо відповідні функціональні значення залежать від деякої незалежної змінної (у нашому випадку від х), то під знаком мінімуму явно вказується діапазон або множина значень цієї змінної (у нашому випадку – універсум).

Трапецієвидна функція приналежності може бути отримана як композиція двох лінійних Z-образної і S-образної функцій за наступною формулою:

де а, b, с, d – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: a b c d.

П-образні функції приналежності

До даного типу функцій приналежності можна віднести цілий клас кривих, які по своїй формі нагадують дзвін, згладжену трапецію або букву "П".

Перша з подібних функцій так і називається – П-образна функція, і в загальному випадку задається аналітично наступним виразом:

(3.12)

де а, b, с, d – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: a b c d, а знак "·" позначає звичайний арифметичний твір значень відповідних функцій.

При цьому можуть бути використані будь-які з розглянутих вище Z- і S-образних функцій. Зокрема, якщо використовувати функції f_Sl і f_Z1 то отримаємо П-функцію f_П1, графік якої для деякої нечіткої множини і універсуму X=[0, 10] зображений на рис. 3.6, а. При цьому значення параметрів для функції f_S1 дорівнюють: a=1, b=4, а для функції f_Z1 – с=5, d=9. Якщо ж використовувати функції f_S2 і f_Z2, то отримаємо П-функцію f_П2, графік якої для деякої нечіткої множини і універсуму Х=[0, 10] зображений на рис. 3.6, б для тих же значень параметрів.

Очевидно, цей тип функцій приналежності породжує нормальні опуклі нечіткі множини з носієм (а, d) і ядром [b, с].

Рис. 3.6. Графіки П-образних функцій приналежності f_П1 (а) і f_П2 (б) для значень параметрів а=1, b=4, с=5, d=9

Наступна функція цього типу П-образних функцій визначається як твір двох сигмоїдальних функцій і в загальному випадку може бути задана аналітично наступним виразом:

(3.13)

де а, b, с, d – деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення, причому а>0, с<0, і впорядковані відношенням: a b<|c| d. Знак "·" позначає арифметичний твір значень відповідних функцій, а функція |х| – модуль дійсного числа.

До П-образних функцій відноситься також так звана дзвіноподібна (bell-shaped) функція, яка в загальному випадку задається аналітично наступним виразом:

(3.14)

де а, b, с– деякі числові параметри, що приймають довільні дійсні значення і впорядковані відношенням: а<b<с, причому параметр b>0. Тут функція |х| позначає модуль дійсного числа.

Рис. 3.7. Графіки П-образних функцій приналежності f_П3 для значень параметрів а=1, b=5, с=-7, d=9 (а) і для значень параметрів а=2, b=4, с=-5, d=9 (б)

Нарешті, останньою з даних функцій даного типу є добре відома в теорії вірогідності функція щільності нормального розподілу в припущенні, що , і яка в нашому випадку задається аналітично наступним виразом:

(3.15)

Тут і c – числові параметри, при цьому квадрат першого з них в теорії вірогідності називається дисперсією розподілу, а другий параметр c – математичним очікуванням.

Очевидно, ці останні типи функцій приналежності породжують нормальні опуклі нечіткі множини.

Рис. 3.8. Графіки П-образних функцій приналежності f_П4 для значень параметрів а=2, b=3, с=6 (а) і f_П5 для значень параметрів =2, с=4 (б)

Побудова функцій приналежності

Деякі рекомендації по побудові функцій приналежності нечітких множин

При побудові функцій приналежності для нечітких множин слід дотримуватися деяких правил, які зумовлюються характером невизначеності, що має місце при побудові конкретних нечітких моделей.

З практичної точки зору з кожною нечіткою множиною зручно асоціювати деяку властивість, ознаку або атрибут, які характеризують дану сукупність об'єктів універсуму. При цьому по аналогії з класичними множинами ця властивість може породжувати деякий предикат, який цілком природно назвати нечітким предикатом. Даний нечіткий предикат може приймати не одне з двох значень істинності ("істина" або "хиба"), а цілий континуум значень істинності, які для зручності вибираються з інтервалу [0,1]. При цьому значенню "істина" як і раніше відповідає число 1, а значенню "хиба" – число 0.

Змістовно це означає наступне. Чим більшою мірою елемент володіє даною властивістю, тим більш близьке до 1 повинне бути значення істинності відповідного нечіткого предиката. І навпаки, ніж у меншій мірі елемент володіє даною властивістю, тим більш близьке до 0 повинне бути значення істинності цього нечіткого предиката. Якщо елемент безумовно не володіє даною властивістю, то відповідний нечіткий предикат приймає значення "хиба" (або число 0). Якщо ж елемент безумовно володіє даною властивістю, то відповідний нечіткий предикат приймає значення "істина" (або число 1).

Тоді в загальному випадку завдання нечіткої множини з використанням спеціальної властивості еквівалентно завданню такої функції приналежності, яка змістовно представляє ступінь істинності відповідного одномісного нечіткого предикату.

Найбільшого поширення при побудові функцій приналежності нечітких множин набули прямі і непрямі методи.

Прямі методи побудови функцій приналежності

У прямих методах експерт або група експертів просто задають для кожного значення функції приналежності . Як правило, прямі методи побудови функцій приналежності використовуються для таких властивостей, які можуть бути виміряні в деякій кількісній шкалі. Наприклад, такі фізичні величини, як швидкість, час, відстань, тиск, температура та інші мають відповідні одиниці і еталони для свого вимірювання. При цьому доцільно обмежити розгляд тільки тими значеннями величин, які мають фізичний сенс в контексті вирішуваного завдання.

При прямій побудові функцій приналежності слід враховувати ту обставину, що теорія нечітких множин не вимагає абсолютно точного завдання функцій приналежності. Часто буває досить зафіксувати лише найбільш характерні значення і вигляд (тип) функції приналежності.

Так, наприклад, якщо необхідно побудувати нечітку множину, яка представляє властивість "швидкість руху автомобіля близько 50 км/г", на початковому етапі може виявитися достатнім представити відповідну нечітку множину трикутною функцією приналежності з параметрами а = 40 км/г, b = 50 км/г і с = 60 км/г. Аналогічно, у разі побудови нечіткої множини для представлення властивості "швидкість руху автомобіля знаходиться приблизно в межах 50–60 км/г", на початковому етапі може виявитися достатнім представити відповідну нечітку множину трапецієвидною функцією приналежності з параметрами а = 45 км/г, b = 50 км/г, з = 60 км/г і d = 65 км/г. У подальшому функція приналежності може бути уточнена дослідним шляхом на основі аналізу результатів вирішення конкретних завдань.

Процес побудови або завдання нечіткої множини на основі деякого відомого заздалегідь кількісного значення вимірної ознаки отримав навіть спеціальну назву – фазифікація або приведення до нечіткості. Мова йде про те, що хоча іноді нам буває відоме деяке значення величини, що вимірюється, ми визнаємо той факт, що це значення відоме неточно, можливо з погрішністю або випадковою помилкою. При цьому, чим менше ми упевнені в точності вимірювання ознаки, тим більш великим буде інтервал носія відповідної нечіткої множини. Слід пам'ятати, що в більшості практичних випадків абсолютна точність вимірювання є лише зручною абстракцією для побудови математичних моделей.

Саме з цієї причини фазифікація дозволяє адекватніше представити об'єктивно присутню неточність результатів фізичних вимірювань.

Непрямі методи побудови функцій приналежності

Як правило, непрямі методи визначення значень функції приналежності використовуються в тих випадках, коли відсутні очевидні вимірні властивості, які можуть бути використані для побудови нечітких моделей даної предметної області.

Серед непрямих методів найбільш відомий так званий метод попарних порівнянь. Цей метод використовується для скінченних нечітких множин і заснований на наступному припущенні. Якби значення шуканої функції приналежності були відомі і дорівнювали б значенням для i ∊ {1, 2...,n}, то попарні порівняння відповідних елементів носія нечіткої множини можна було б представити у вигляді матриці А з елементами a_ij, при цьому елементи цієї матриці дорівнюють: , де символ "/" позначає операцію ділення.

На практиці буває простішим спочатку побудувати матрицю А в припущенні, що її діагональні елементи повинні бути рівні 1, а симетричні щодо головної діагоналі елементи повинні бути взаємно зворотними, тобто і 1/ . Остання умова означає, що якщо ступінь приналежності одного з елементів оцінюється в а раз сильніше за ступінь приналежності іншого, то ступінь приналежності другого елементу повинен бути в 1/а разів сильніше за ступінь приналежності першого елементу.

В цьому випадку завдання побудови функції приналежності зводиться до знаходження такого вектора w, який є розв’язанням наступного рівняння:

Аw = _maxw

де _max – найбільше власне значення матриці А. Оскільки всі значення елементів матриці А невід’ємні за визначенням, розв’язання цього рівняння існує і є невід’ємним.

Власне процес попарного порівняння елементів може бути заснований на суб'єктивній інтуїції або на виконанні деякої послідовності алгоритмічних або логічних дій. При цьому окремі елементи універсуму можуть використовуватися як еталони або всі елементи можуть бути розділені на групи з подальшим порівнянням цих груп між собою.

З алгоритмічних процедур найбільшу популярність здобули методи ітеративного уточнення значень функцій приналежності, засновані на нейронних мережах і генетичних алгоритмах. Логічні процедури використовують методи індуктивного навчання і побудови нечітких метаправил. Іноді застосовуються методи обробки статистичних даних, факторного і дискримінанта аналізу з метою виділення значущих ознак для подальшого порівняння елементів даного універсуму.

На закінчення слід зазначити, що у разі недостатку інформації про особливості функцій приналежності нечітких змінних рекомендується починати побудову нечіткої моделі з використання найбільш простих форм функції приналежності, а саме – кусочно-лінійних функцій. Надалі їх характер може бути уточнений і врахований на етапі корекції нечіткої моделі.