Задача 2. Предприятие выпускает два вида продукции, используя три вида ресурсов. Известны A − матрица норм затрат ресурсов, B − запасы ресурсов, C − прибыль на единицу продукции. Требуется: а) составить модель задачи планирования оптимальных цен ресурсов, при которых затраты предприятия на ресурсы будут минимальные; найти решение задачи модифицированным симплексным методом; б) найти оптимальное решение и оптимум двойственной задачи с помощью теорем двойственности.
2 |
4 |
12 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
8 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, C 4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, B |
|
|
|
|
, C 8 |
4 |
|||||
1. A |
3 |
2 |
, B 12 |
|
2. A |
|
2 |
3 |
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||
|
5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 5 |
|
5 |
|
|
|
|
1 |
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, B |
|
|
|
|
, C 8 |
4 |
4. A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, C 6 |
4 |
|||||
3. A |
|
2 |
3 |
|
|
6 |
|
|
3 |
2 |
|
, B 12 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
2 |
|
8 |
|
|
|
|
1 |
4 |
|
12 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, B |
|
|
|
|
, C 8 |
2 |
6. A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, C 2 |
8 |
|||||
5. A |
|
3 |
2 |
|
|
6 |
|
|
3 |
2 |
|
, B 12 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 1 |
|
8 |
|
|
|
|
|
1 5 |
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
7. A |
|
|
|
|
|
|
, B |
|
|
|
|
, C 6 |
9 |
8. A |
|
|
|
|
|
|
, B |
|
|
|
|
, C 8 |
2 |
|||||
|
2 |
3 |
|
6 |
|
|
2 |
|
3 |
|
6 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
4 |
|
8 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
18 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|||||
9. A |
2 |
3 |
|
, |
B |
6 |
, C 4 |
10. A |
2 |
|
3 |
, |
|
|
B 12 |
, C 9 |
||||||||||||||||
|
4 |
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
12 |
|
|
|
||||||||||||||||
4 |
2 |
40 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
40 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, C 3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, C 2 |
3 |
||||
11. A |
3 |
5 |
|
, B |
45 |
|
12. A |
2 |
3 |
|
, |
B |
30 |
|
||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
121
Задача 3. Решить задачу модифицированным симплексным методом. Составить двойственную задачу. Найти решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности.
1. F x1 x2 max |
|
x1 x2 |
0 |
|
2 |
x1 2x2 |
|
x 0, |
x 0 |
1 |
2 |
3. F x1 x2 |
max |
||
x x |
0 |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
x1 |
x2 |
|
|
x |
0, |
x |
0 |
1 |
|
2 |
|
5. F x1 2x2 |
max |
|
x1 x2 |
0 |
|
|
2 |
|
x1 2x2 |
||
x 0, |
x |
0 |
1 |
2 |
|
7. F x1 |
x2 max |
|
x x |
0 |
|
1 |
2 |
2 |
x1 |
x2 |
|
x 0, |
x 0 |
|
1 |
|
2 |
9. F x1 2x2 |
max |
||||
|
x1 x2 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
x1 2x2 |
|
||||
x 0, |
x |
|
0 |
||
|
1 |
2 |
|
|
|
11. F 2x1 x2 |
max |
||||
|
x1 x2 3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
x1 2x2 1 |
|||||
x 0, |
x |
2 |
0 |
||
|
1 |
|
|
||
2. |
Z y1 2 y2 min |
|||||||
|
y1 y2 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
y2 |
2 |
||||
|
2 y1 |
|||||||
|
y |
0, |
y |
2 |
0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Z y1 y2 min |
|||||||
|
y |
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
y1 |
2 y2 |
|
|
||||
|
y |
0, |
y |
2 |
0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Z y1 2 y2 |
|
min |
|||||
|
y1 |
y2 |
0 |
|
|
|||
|
|
2 y2 |
2 |
|
||||
|
y1 |
|
||||||
|
y |
0, |
|
y |
2 |
0 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
8. |
Z y1 y2 min |
|||||||
|
y |
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
||
|
y1 |
2 y2 |
|
|||||
|
y |
0, |
y |
2 |
0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
10. Z 2 y1 |
y2 min |
|||||||
|
y1 y2 0 |
|
||||||
|
|
|
y2 |
2 |
||||
|
2 y1 |
|||||||
|
y |
0, |
y |
2 |
0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
12. Z 2 y1 y2 min
|
|
y1 y2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y1 y2 1 |
|||||
y |
0, |
y |
2 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
122
Заключение
Вопросы для самоконтроля студентов и подготовки к аттестации
1.Числовая (координатная) ось. Расстояние между точками на оси.
2.Координата (на числовой оси) точки деления отрезка на части в заданном отношении.
3.Декартовая система координат на плоскости. Расстояние между точками на плоскости.
4.Координаты (на плоскости) точки деления отрезка на части в заданном отношении.
5.Декартовая система координат в трехмерном пространстве. Расстояние между точками в трехмерном пространстве.
6.Координаты (в трехмерном пространстве) точки деления отрезка на части в заданном отношении.
7.Полярная система координат.
8.Геометрические двухмерные и трехмерные векторы. Основные понятия.
9.Координатный способ представления векторов.
10.Линейные операции над геометрическими векторами и их свойства. 11.Скалярное произведение векторов и его свойства.
12.Примеры приложений скалярного произведения векторов в геометрии.
13.Векторное произведение векторов и его свойства.
14.Примеры приложений векторного произведения векторов в геометрии.
15.Смешанное произведение векторов и его свойства.
16.Примеры приложений смешанного произведения векторов в геометрии.
17.Обобщенный n - мерный вектор.
18.Линейные операции над n - мерными векторами и их свойства. 19.Скалярное произведение n - мерных векторов и его свойства. 20.Линейная комбинация векторов. Разложение вектора по другим векторам. 21.Линейная зависимость и независимость векторов.
22.Линейное векторное пространство, его базис и размерность. 23.Пространство n - мерных векторов и его базис. 24.Евклидово пространство.
25.Понятие матрицы. Виды матриц.
26.Операции над матрицами.
27.Основные свойства операций над матрицами.
28.Понятие и правила вычисления определителя квадратной матрицы.
29.Вычисление определителя квадратной матрицы по теореме Лапласа.
30.Свойства определителей и их следствия.
31.Обратная матрица.
32.Необходимое и достаточное условие существования и единственности обратной матрицы.
33.Ранг матрицы и его вычисление по определению.
34.Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы.
123
35.Решение матричных уравнений вида.
36.Модель многоотраслевой экономики Леонтьева.
37.Система линейных алгебраических уравнений. Основные понятия.
38.Матричная форма системы линейных алгебраических уравнений.
39.Разрешимость систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
40.Метод обратной матрицы для решения определенных систем линейных алгебраических уравнений.
41.Методы решения определенных систем линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.
42.Эквивалентные (равносильные) преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
43.Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
44.Определение обратной матрицы с помощью метода Гаусса.
45.Базисные решения неопределенной системы линейных алгебраических уравнений. Допустимые базисные решения.
46.Общее решение неопределенной системы линейных алгебраических уравнений.
47.Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений.
48.Фундаментальная система решений неопределенной однородной линейной системы алгебраических уравнений.
49.Общее решение однородной неопределенной линейной системы алгебраических уравнений.
50.Общее решение неоднородной неопределенной системы линейных алгебраических уравнений.
51.Собственные значения квадратной матрицы.
52.Собственные векторы квадратной матрицы.
53.Модель обмена в международной торговле.
54.Комплексные числа. Основные понятия.
55.Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
56.Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления комплексных чисел.
57.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
58.Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме.
59.Многочлены. Основные понятия.
60.Алгебраические уравнения. Основные понятия.
61.Решение кубичных уравнений методом Кардано.
62.Решение «неполных» кубичных уравнений.
63.Решение уравнений четвертой степени методом Ферари.
64.Разложение многочленов на множители. Деление многочленов.
65.Элементарные дроби.
66.Уравнения прямой линии на плоскости. Полуплоскости.
67.Угол между прямыми линиями на плоскости. Условия параллельности и
124
перпендикулярности прямых линий.
68.Общее и параметрическое уравнения плоскости. Полупространства.
69.Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
70.Общее, каноническое и параметрическое уравнения прямой линии в пространстве.
71.Угол между прямыми линиями в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых линий в пространстве.
72.Прямая линия и плоскость в пространстве. Угол между ними. Условия параллельности и перпендикулярности прямой линии и плоскости в пространстве.
73.Прямая и гиперплоскость в n - мерном точечном пространстве. Полупространства в n - мерном точечном пространстве.
74.Кривая второго порядка – эллипс, ее свойства и каноническое уравнение. 75.Кривая второго порядка – гипербола, ее свойства и каноническое
уравнение.
76.Кривая второго порядка – парабола, ее свойства и каноническое уравнение.
77.Поверхность второго порядка – эллипсоид, ее свойства и каноническое уравнение.
78.Поверхность второго порядка – гиперболоид, ее свойства и каноническое уравнение.
79.Поверхность второго порядка – параболоид, ее свойства и каноническое уравнение.
80.Общая постановка задачи линейного программирования.
81.Каноническая форма задачи линейного программирования.
82.Взаимно-двойственные задачи линейного программирования.
83.Теоремы двойственности.
84.Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования.
85.Графический метод решения задачи линейного программирования.
86.Симплексный метод решения задачи линейного программирования.
87.Модифицированный симплексный метод решения задачи линейного программирования.
125