Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

− полярный радиус,

− полярный угол,

образованный отрезком ОМ

с

полярной осью. Угол

0 2 считается

положительным при отсчёте

от

её полярные координаты и связаны формулами:

х cos

у

у

х2

у2 ,

tg

arctg

,

у sin

х

х

Пример 4.

Точка

задана

полярными координатами

М 8,

. Найдем

6

соответствующие координаты точки в декартовой системе координат.

Координаты точки M в декартовой системе координат равны:

х 8 соs

4 , т.е. М 4

3,4 .

4 3 ,

у 8 sin

6

6

конца АВ ,

либо одной буквой a . Длиной (модулем или нормой)

AB

вектора

называется

число, равное длине отрезка AB . Вектор

0 , начало

которого

x, y или

x, y, z . Вектор

x, y, z может быть

координат:

а

а

а

представлен в виде:

а x i y j

z k ,

где i , j , k

− единичные векторы (орты), совпадающие с направлением осей

1,

1,

1.

соответственно Ox, Oy, Oz ;

i

j

k

Равенство называется

разложением вектора по координатным осям.

x, y, z

равна

x2

y 2

z 2 .

Длина вектора а

a

x, y, z называются косинусы

Направляющими косинусами вектора а

углов , , , образуемых вектором а

с осями координат Ox, Oy, Oz :

cos

x

cos

y

cos

z

,

,

,

x2 y2

z 2

x2 y2 z 2

x2 y2 z2

причём

cos2 cos2 cos2 1.

Если вектор задан координатами начала A(х1, y1, z1 ) и конца B x2 , y2 , z2 ,

то в координатной форме для вектора AB справедливы соотношения:

АВ x2 x1 , y2 y1 , z2 z1

z2

AB x2 x1 i y2 y1

j

z1 k

x x 2

y

y 2 z

z

2

АВ

2

2

2

1

1

1

Проекция прх а вектора а на ось Ox определяется формулой:

прх а

a

cos , где − угол наклона вектора а к оси Ox .

прх ( а

в ) прх а

прх b

на число , называется вектор

1. Произведением вектора

а

b

а ,

имеющий длину

b

a

и направленный одинаково с вектором

а ,

если 0, и противоположно

а , если 0 .

2. Суммой векторов а

и b называется вектор

с

а

b , начало которого

совпадает с началом вектора

а , а конец −

с концом вектора b при

условии, что начало вектора

b приложено к концу вектора

а (правило

2.

а

b

с

а

b

с

3.

а

а

а

а

4.

а

а b .

5.

а b

Вектор

1 а

а

называется обратным вектором к вектору

а .

Справедливы следующие равенства:

1. а

а

0

2. b а b

а

Пример 5. Найдем длину диагоналей параллелограмма, построенного на

2,1,0 .

векторах

а 0, 2,1 и b

Обозначим векторы, соответствующие диагоналям параллелограмма,

d1

и d2 . Диагонали параллелограмма равны:

d1

a b

0, 2,1 2,1,0 2, 1,1

0, 2,1 2,1,0 2, 3,1

d2

a

b

Тогда длины диагоналей:

d1

4 1

1

6 ,

d2

4 9 1 14

Пример 6. Определим длину и направление вектора M1M 2 , если заданы

его начало M1 4,2,6 и конец M 2

1,4,0 .

Координаты вектора равны M1M 2 3,2, 6 .

Определим длину вектора и его направляющие косинусы:

cos

3

, cos

2

cos

6

M M

2

9 4

36 7 ,

,

.

1

7

7

7

Скалярным произведением двух ненулевых векторов

а и b называется

число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

a b

a

b

cos ,

где 0 − угол между векторами а и b .

Если векторы заданны своими координатами

а x1, y1, z1

и

b x2 , y2 , z2

,

то

a b x1x2 y1y2 z1z2 ,

x1x2 y1y2 z1z2

cos

a b

x 2

y 2

z 2

x 2

y

2

z

2

a

b

1

1

1

2

2

2

Если векторы a и b перпендикулярны, то а b 0 , т.е. x1x2

y1 y2 z1z2 0 .

x1

y1

z1

.

Если векторы a и b

коллинеарны, то а

b

, т.е.

x2

y2

z2

а

b

2.

b

а b

а

3.

с

а b а с

а b

Пример 7.

Даны векторы

а

2 m

4 n и

b

m n , где

m и

n −

0

4 3

a b

2 m 4 n m

n 2 m m 6 m n 4 n n 2 6cos120

2

2

0 16

a

2 m 4 n

4 m m

16 m n 16 n n 4 16 cos120

12

2

2

1 2cos1200 1 1

b

m n

m m 2 m n n n

cos

a b

3

3

30o

2

12

a

b

Пример

8.

Даны

радиус

вектора

трёх

последовательных

вершин

параллелограмма

ABCD :

rA i j

k ,

rB

2 i

3 j

5 k ,

rC

7 i

9 j

11 k . Определим радиус вектор четвёртой вершины.

Пусть rD

x i

y

j z k .

Векторы, соответствующие сторонам параллелограмма, равны:

AB rB

rA

i

2 j

4 k

BC rC

rB

5 i

6 j

6 k

DC

rC

rD

7 x

i

9

y j 11

z k

AD

rD

rA

x 1

i

y 1 j z 1 k

Так как векторы AB , DC и AD , BC коллинеарные, то соответственно

7 x

9 y

11 z

,

x 1

y 1

z 1

1