Документ: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti, страницы 1-5

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

А.Т. Козинова Н.Н. Ошарина

МАТЕМАТИКА Линейная алгебра. Аналитическая геометрия.

Линейное программирование

Учебное пособие

Рекомендовано методической комиссией института экономики и предпринимательства для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки/ специальности: 43.03.02 «Туризм», 43.03.03 «Гостиничное дело», 08.05.01 «Экономическая безопасность»

Нижний Новгород

2019

УДК 512.6(07) ББК 22.1я7

К59

К 59 Козинова А.Т., Ошарина Н.Н. МАТЕМАТИКА. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Линейное программирование: Учебное пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2019. – 128с.

Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент С.А. Лапинова к.ф.-м.н., доцент Е.В. Губина

Учебное пособие предназначено для методической поддержки лекционных и практических занятий по дисциплине «Математика» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки/ специальности: 43.03.02 «Туризм», 43.03.03 «Гостиничное дело», 08.05.01 «Экономическая безопасность».

В данном издании представлены следующие разделы дисциплины «Математика»: векторная алгебра, матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, многочлены и комплексные числа, элементы аналитической геометрии, линейное программирование. По всем темам предлагаются примеры решения типовых задач, задания для самостоятельной работы, вопросы для самоконтроля и подготовки к аттестации.

Ответственный за выпуск: председатель методической комиссии ИЭП ННГУ,

к.э.н., доцент Едемская С.В.

УДК 512.6(07) ББК 22.1я7

Введение

Дисциплина «Математика» создает одну из фундаментальных основ экономического образования. Наряду с другими дисциплинами «Математика» включает важнейшие понятия и методы, которые наиболее часто востребованы в профессиональной деятельности, а также являются элементами общей культуры. Важнейшей целью изучения дисциплины «Математика» является формирование навыков применения математических понятий для решения теоретических и прикладных задач в разных областях. В данном учебном пособии приведены многочисленные примеры использования математических методов в экономике.

Учебное пособие включает следующие разделы: векторы и линейные пространства (глава 1), матрицы и определители (глава 2), системы линейных алгебраических уравнений (глава 3), многочлены и комплексные числа (глава 4), аналитическая геометрия (глава 5) и линейное программирование (глава 6). Результаты освоения любой темы дисциплины зависят от хороших знаний по другим темам, представленным в учебном пособии, как ранее, так и позднее. Например, для отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы (глава 3), нужно уметь анализировать многочлены и находить корни алгебраических уравнений (глава 4), а для анализа многочленов, их представления в виде суммы многочлена и конечной суммы элементарных дробей (глава 4), нужно уметь решать системы линейных уравнений (глава 3).

По всем темам в учебном пособии даны основные понятия, представлены важнейшие теоретические положения, приведены примеры типовых задач и показаны методы их решения, сформулированы задания для самостоятельной работы и вопросы для подготовки к аттестации.

Студентам следует учесть, что результаты изучения любой вузовской дисциплины зависят не только от умения работать с новыми понятиями и методами, но и от хороших знаний из программы среднего (полного) общего образования. Эти знания можно восполнить, используя учебно-справочную литературу, указанную и в данном учебном пособии.

3

Глава 1. Векторы и линейные пространства

1.1.Системы координат

Прямая линия с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчёта O и единицей масштаба называется числовой (координатной

осью).

Точка

M этой прямой

характеризуется

определенным

числом

–

координатой x , т.е. M x .

Расстояние s между точками M1(х1) и M 2 x2 на оси:

s

х2 х1

Координата

точки М (х) ,

делящий

отрезок

M1M 2

в

отношении

M1M : MM 2 , определяется по формуле:

х

х1 х2

1

Пример 1. Отрезок

АВ двумя точками C и D разделён на три части в

отношении 1: 2 : 2 . Определим координаты точек деления и длину отрезка CD ,

если А( 6) , В(4) .

Точка C делит отрезок АВ в отношении 1: 4 0.25 , тогда:

х

х1 х2

6 0.25 4 4 , т.е. C 4 .

1

1 0.25

Точка D делит отрезок АВ в отношении 3: 2 1.5, тогда:

х

х1 х2

6 1.5 4

0 , т.е. D 0 .

1

1 1.5

4

Длина отрезка CD :

s

0

4 .

Две взаимно перпендикулярные оси Ox и Oy , имеющие общее начало

отсчета O и одинаковую единицу

масштаба

образуют

прямоугольную

декартову систему координат на плоскости Oxy .

Ось Ox называется осью

абсцисс, ось Oy - осью ординат,

точка O -

началом координат. Любой точке

M этой

плоскости

соответствуют пара

чисел –

абсцисса x

и ордината

y ,

называемых ее координатами, т.е. М (х, y) .

Расстояние s между точками M1(х1, y1) и M 2 x2 , y2 на плоскости:

s

х

2

х 2 у

2

у

2

1

Координаты точки М (х, y) ,

делящей отрезок между точками M1(х1, y1) и

M 2 x2 , y2 в заданном отношении определяются по формулам:

х

х1 х2

;

у

у1 у2

1

4

Пример 2. Даны вершины треугольника: А( 2,1) , В( 1, 4) и С( 11,0) .

Найдем длину медианы, проведённой из вершины А.

Координаты точки основания медианы M , проведенной из вершины А


(середина отрезка BC ):
х 1 11 6 ,	у 4 0 2 , т.е. M ( 6, 2) .
2	2
Вычислим длину медианы AM :

s 6 2 2 2 1 2			5
		16 9
Три взаимно перпендикулярные координатные оси Ox , Oy				и Oz с
общим началом координат	O и одинаковой единицей масштаба			образуют

прямоугольную декартову систему координат в пространстве Oxyz , где ось

Oz называется осью аппликат. Любая точка пространства М характеризуется

тремя координатами −

абсциссой

x ,

ординатой

y

и аппликатой z ,

т.е.

М (х, y, z)

Расстояние s между точками M1(х1, у1, z1)

и M 2 (х2 , у2 , z2 ) :

s

х

2

х

2 у

2

у 2 z

2

z 2

1

Координаты

точки

М (х, y, z) ,

делящей

отрезок

между

точками

M1(х1, y1, z1 ) и

M 2 x2 , y2 , z2

в

заданном

отношении

,

определяются

по

формулам:

х

х1 х2

;

у

у1 у2

;

z

z1 z2

1

Пример 3.

Найдем

длину

диагоналей параллелограмма ABCD , если

заданы три его вершины A 2,1,3 , B 5,2, 1 , C 3,3, 3 .

Длина диагонали AC равна s

3 2 2 3 1 2

3 3 2

65

Точка пересечения диагоналей

M x, y

делит их пополам. Тогда координаты

точки M , середины отрезка AC , равны:

3 2

1

3 1

3 3

1

х

, у

2 ,

z

0 , т.е. M

,2,0 .

2

1

2 2 2 0 1 2

5 5

Определим длину отрезка BM s

5

.

2

Следовательно, длина диагонали BD 2BM 5

5 .

Полярная система координат состоит из некоторой точки O ,

называемой полюсом, и исходящего из него луча, называемого полярной осью. Любая точка M , плоскости характеризуется полярными координатами:

5

Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Смотрите также: