Материал: Краткий курс физики. Часть 2. Электромагнетизм, колебания и волны, оптика, квантовая физика, физика ядра. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

Решение

Запишем уравнение гармонических колебаний частицы в виде:

x = Acos(₀t + ₀), (1)

тогда уравнение скорости будет иметь вид:

(2)

Для нахождения параметров данных уравнений воспользуемся начальными условиями. При t = 0 имеем:

х₀ = Аcos₀,

₀ = -А₀sin₀,

откуда и φ₀= -/4,

.

Координата и скорость частицы  в момент времени t = 2,4 с найдутся из уравнений (1) и (2):

х = - 29 см,  = -81 см/с.

Пример 2. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,6 с и амплитудой А = 10 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течении которого она проходит путь А/2:

а) из положения равновесия; б) из крайнего положения.

Решение

Выберем за начало отсчета времени момент, когда точка проходит положение равновесия. Тогда уравнение колебаний имеет вид:

х = Аsin₀t.

Исходя из этого уравнения определим момент времени t₁, соответствующий смещению точки х = А/2. Имеем:

,

откуда t₁ = T /12 .

Значение средней скорости точки при ее движении из положения равновесия определяется из формулы:

_ср1 = 100 см/с.

Время движения точки из крайнего положения до половины амплитуды будет равно:

.

С учетом этого:

; _ср2 = 50 см/с.

Аналогичные результаты могут быть получены при использовании формулы:

Пример 3. Найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух одинаково направленных колебаний, выражаемых уравнениями: х₁ = 3cos(t + /3) см, х₂ = 8sin(t + /3) см.

Написать уравнение результирующего колебания.

Решение

Вначале, используя тригонометрические формулы, приведем уравнение второго колебания к виду

х₂ = 8 cos(t - /6) см.

Затем построим векторную диаграмму сложения одно- направленных колебаний (см.рис.). Согласно теореме косинусов получим

,

где  = ₂ - ₁ .

Произведя вычисления, найдем А = 8,5 см. Тангенс начальной фазы результирующего колебания определится из рисунка

, откуда  = - 0.2 рад.

Уравнение результирующего колебания запишется в виде:

х = 8,5cos(t – 0.2) см.

Пример 4. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m₁ = 0,4 кг укреплены шарики малых размеров массами m₂ = 0,2 кг и m₃ = 0,4 кг. Стержень колеблется около горизонталь- ной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Опреде- лить период колебаний, совершаемых стержнем.

Решение

Стержень с шариком (см. рис.) представляет собой физический маятник, период колебаний которого определяется формулой

,

где  - момент инерции маятника относительно оси колебаний; m – масса; l_c – расстояние от центра масс маятника до оси.

Принимая шарики за материальные точки, общий момент инерции маятника определяем выражением

 = (1/12)m₁l² + m₂(l/2)² + m₃(l/2)² = (1/12) l²(m₁ + 3m₂ + 3m₃),

 = 0,183 кгּ м².

Масса маятника m = m₁ + m₂ + m₃ = 1 кг.

Расстояние l_c от оси маятника до его центра масс равно

Произведя вычисления, найдем l_c = 10 см, Т = 2,7 с.

Пример 5. Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течении времени t =50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления r.

Решение

Энергия тела, совершающего колебания, определяется по формуле

E = mA²²/2.

Учитывая зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени A = А₀ е^{-  t},

получим или

E = E₀ е ^{-2 t}, (1)

где – энергия тела в момент времени t = 0.

К моменту времени t =50 с тело потеряло 60% своей перво- начальной энергии, следовательно,

E = 0,4E₀. (2)

Приравнивая (1) и (2), сокращая на E₀ и, логарифмируя обе части равенства, найдем:

ln2,5 = 2t.

Отсюда выражаем :

 = (ln2,5)/2t. (3)

С другой стороны,  = r/2m. (4)

Из сравнения (3) и (4) получим r = (m ln2,5)/t

После подстановки числовых значений найдем

r = 9,1610^-5 кг/с.

Пример 6. Тело массой m = 10 г совершает затухающие колебания с максимальным значением амплитуды 7 см, начальной фазой, равной нулю, коэффициентом затухания, равным 1,6 с^-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид x =5sin(10t - 0,75) см. Найти: 1) уравнение свобод- ных колебаний; 2) уравнение внешней периодической силы.

Решение

Уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

х = А₀ е ^{- t} sin t, (1)

где - частота затухающих колебаний; ₀ – собствен ная частота колебаний;  - коэффициент затухания.

По условию сдвиг фаз  между собственными и вынужден- ными колебаниями равен – 3/4; следовательно, tg(-3/4) = 1.

С другой стороны,

Из равенства

cледует (2)

У нас _в = 10,  = 1,6 с^-1. Подставляя эти значения в (2), получим ₀=10,5c^-1. С учётом того, что ² << ₀², получим, что частота  затухающих колебаний равна частоте ₀ собственных колебаний. Следовательно, уравнение свободных затухающих колебаний примет вид

х = 7 e^-1,6t sin10,5  t см.

Уравнение внешней периодической силы

F = F₀ sin t. (3)

Амплитудное значение вынуждающей силы

(4)

После подстановки числовых значений получаем F₀ =

= 72 мН. С учетом этого уравнение внешней периодической силы будет иметь вид

F = 72 sin10 t мН.

Пример 7. Сила, действующая на материальную точку, изменяется по гармоническому закону F = F₀ sin t. В началь- ный момент времени скорость точки равна нулю. Как с течением времени изменяется скорость и положение точки?

Решение

По второму закону Ньютона

, или (1)

Отсюда тогда скорость колеблющейся

точки (2)

Обозначая , перепишем (2) в виде

График изменение скорости представлен на рисунке.

Если начальное положение точки принять за начало координат, то координата точки в любой момент времени определяется выражением

Таким образом, движение точки под действием периоди- ческой силы является поступательным с периодическим возрастанием скорости от 0 до 2_m, а затем снова до 0.

Пример 8. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью υ =20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии х₁=12 м и х₂=15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз Δφ = 0,75 π. Найти длину волны λ, написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t = 1,2 с, если амплитуда колебаний А = 0,1 м.

Решение

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны λ, колеблются с разностью фаз, равной 2π; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Δx, колеблются с разностью фаз, равной

.

Решая это равенство относительно λ, получим

. (1)

Подставляя числовые значения величин, входящих в выражение (1), получим λ = 8 м.

Для того, чтобы написать уравнение плоской волны, надо ещё найти циклическую частоту ω. Так как ω=2π/T (T = λ/υ – период колебаний), то

.

Произведя вычисления, найдём

Зная амплитуду колебаний А, циклическую частоту ω скорость распространения волны υ, можно написать уравнение плоской волны для данного случая

(2)

где А= 0,1м, ω=5π с^-1, υ= 20 м/c.

Чтобы найти смещение указанных точек y , достаточно в уравнение (2) подставить значения t и х:

y₁ = - 0,1м ; y₂ = 7,1см.

Пример 9. Омическое сопротивление контура Ом, индуктивность , ёмкость . Определить силу тока в контуре в момент времени , если при заряд на конденсаторе , а начальная сила тока равна нулю.

Решение

Общий вид уравнения затухающих колебаний в контуре запишем в виде:

, (1)

где ,

.