Материал: Краткий курс физики. Часть 2. Электромагнетизм, колебания и волны, оптика, квантовая физика, физика ядра. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

7.11. Примеры решения задач по квантовой механике и физике атома

Пример 1. Поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой щелью шириной b= 2мкм. Найти скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на L= 50 см, ширина центрального дифракционного максимума  x = 0,36 мм.

Решение

Согласно гипотезе де Бройля длина волны , соответствующая частице массой m, движущейся со скоростью V, выражается формулой

= h/ mV . (1)

При дифракции на узкой щели ширина центрального дифракционного максимума равна расстоянию между дифракционными минимума- ми первого порядка. Дифракциионные минимумы при дифракции на одной щели наблюдаются при условии

b sin= k  , (2)

где k = 1,2,3… - порядковый номер минимумов.

Для минимумов первого порядка (k=1), угол заведомо мал, поэтому sin =  , и, следовательно, формула (2) примет вид

b  =  , (3)

ширина центрального максимума

x= 2L tg  = 2L  . (4)

Выражая  из (4) и подставляя его в (3), получаем

 = b x/ 2L. (5)

Искомую скорость электронов найдем из соотношения (1) с учетом формулы (5):

V= h/m = 2 h L/ m b x. (6)

После вычисления по формуле (6) получим V= 10⁶ м/с.

Пример 2. Определить длину волны де Бройля λ электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.

Решение

Связь длины волны де Бройля с импульсом

,

где h= 6,6310^-34Джс – постоянная Планка, причём импульс вычисляется различным образом для релятивистского ( ) и нерелятивистского ( ) случаев, где m, T, E₀ – соответственно масса, кинетическая энергия, энергия покоя частицы.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряю- щую разность потенциалов U,

Т= e U = 0,7эВ,

а энергия покоя электрона Е₀ = mc² = 0,5МэВ, т.е. в данном случае имеем дело с релятивистской частицей.

Тогда искомая длина волны де Бройля

где m = 9,1110^-31кг; c =310⁸м/c; е =1,610^-19Кл.

Вичисляя, получаем λ= 1,13пм.

Пример 3. Используя соотношения неопределенностей xp_x  h/ 2 , найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l.

Решение

Из данного соотношения следует, что, чем точнее определяется положение частицы, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Неопределенность координаты электрона  x= l / 2. Тогда соотношение неопределенностей можно записать в виде

l /2  p  h/ 2,

откуда

p  h/  l.

Физически разумная неопределенность импульса p, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса, т.е. p  p.

Энергия E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике, есть его кинетическая энергия T, величину которой можно связать с импульсом соотношением

T= p² / 2m .

Заменив p на p, получим

E_min= (h²/2 ²)/(m l²).

Пример 4. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной L. Вычислить вероятность обнаружения электрона на первом энергетическом уровне в интервале L /4, равноудаленном от стенок ямы.

Решение

Вероятность P обнаружить частицу в интервале x₁<x<x₂ определяется равенством

(1)

где (x) – нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальной яме, имеет вид

_n(x)= (2/L)^½ sin(n x/L).

Невозбужденному состоянию (n = 1) отвечает волновая функция

₁(x)= (2/L)^½ sin( x/L). (2)

Подставив ₁(x) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные за знак интеграла, получим

(3) Согласно условию задачи x₁=3L/8 и x₂=5L/8. Произведя замену sin²( x/L) = 1 /2 [1 – cos(2 x/L)] , получим

Пример 5. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3d – состоянии. Определить изменение механи- ческого и магнитного моментов, обусловленных орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.

Решение

Изменение механического L и магнитного P_m моментов находится как разность моментов в конечном (основном) и начальном (возбужденном) состояниях, т.е.

L = L₂ – L₁,

P_m = P_m2 - P_m1 .

Механические и магнитные моменты орбитального движения электрона зависят только от орбитального квантово- го числа l:

L = (h /2) ( l (l + 1))^½ , P_m = _Б ( l (l + 1))^½ .

Учитывая, что в основном состоянии l=0, L₂= 0, P_m= 0, а в возбужденном состоянии (3d) l=2, найдем изменение орбитального механического и магнитного моментов:

.

Знак минус показывает, что в данном случае происходит уменьшение орбитальных моментов.

Подставив значения, получим

L= -2,5710^-34 Дж с;

P_m = -2,2710^-23 Дж/Тл.

Пример 6. Определить скорость электронов, падающих на антикатод рентгеновской трубки, если минимальная длина волны _min в сплошном спектре рентгеновского излучения равна 1 нм.

Решение

В рентгеновской трубке электрон приобретает кинетиче- скую энергию T=mV²/2, которая связана с ускоряющей разностью потенциалов U соотношением

T= eU, (1)

где e – заряд электрона.

Следовательно, скорость электронов, падающих на анти- катод рентгеновской трубки, зависит от напряжения, приложенного к рентгеновской трубке:

V= (2e U/m)^½. (2)

Тормозное рентгеновское излучение возникает за счет энергии, теряемой электроном при торможении. В соответ-ствии с законом сохранения энергии энергия фотона не может превысить кинетическую энергию электрона. Максимальная энергия фотона определяется равенством

h_max = h c /_min = T = eU. (3)

Из последнего выражения находим U и, подставляя в (2), получаем:

V= (2 hc/ (m _min))^½.

Произведя вычисления, найдем:

V  21 Мм/с .

Пример 7. Вычислить длину волны  и энергию  фотона, принадлежащего K_ -линии в спектре характеристи- ческого рентгеновского излучения платины.

Решение

K_ - линия в спектре характеристического рентгенов- ского излучения платины возникает при переходе электрона с L-слоя на K-слой. Длина волны этой линии определяется по закону Мозли:

1/= R(z- σ)²((1/m²) – (1/n²)). (1)

Учитывая, что m = 1, n = 2,  = 1 (для K–серии), z = 78 (для платины), а постоянная Ридберга R = 1,1∙10^-7 1/м, находим:

 = 20,5∙10 ^-12 м

Зная длину волны, определим энергию фотона по формуле

= hc /. (2)

Подстановка числовых значений дает  = 60,5 кэВ.

8. Основы физики ядра

8.1. Основные свойства и строение ядра

Ядро - центральная часть атома, в которой сосредото- чена практически вся масса атома и его положительный электрический заряд. Все ядра состоят из протонов (р) и нейтронов (n), которые считаются двумя зарядовыми состояниями одной частицы – нуклона. Протон имеет положи- тельный заряд, равный по величине заряду электрона. Нейтрон не имеет заряда.

Ядро химического элемента обозначают , где X – символ химического элемента, Z – порядковый номер в таблице Менделеева, равный числу протонов в ядре, А - массовое число, равное числу нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре, следовательно, число нейтронов в ядре N = A - Z, заряд ядра . Ядра с одинаковыми Z, но различным А называются изотопами (например , - изотопы водорода).

Размер ядра характеризуется радиусом, равным

, (8.1)

где .

Плотность ядерного вещества постоянна для всех ядер и составляет ≈ .

Между нуклонами в ядре существует сильное ядерное взаимодействие, обеспечивающее устойчивость ядер несмотря на отталкивание одноименно заряженных протонов. Ядерные силы являются короткодействующими и проявляются лишь на расстояниях между нуклонами порядка . Они обнаруживают зарядовую независимость: притяжение между двумя нуклонами одинаково независимо от их зарядового состояния. Ядерные силы обладают свойством насыщения, которое проявляется в том, что нуклон в ядре взаимодействует лишь c ограниченным числом ближайших к нему соседей. Наконец, ядерные силы не являются центральными и зависят от ориентации взаимодействующих нуклонов.

Одной из важнейших величин, характеризующих прочность ядра, является энергия связи ядра. Она определя- ется работой, которую нужно совершить, чтобы расщепить ядро на составляющие его нуклоны. Мерой энергии связи ядра служит дефект массы, характеризующий уменьшение суммар- ной массы при образовании ядра из составляющих его нуклонов

,

или

(8.2)

где и - массы протона и нейтрона, - масса водорода, - масса ядра, -масса атома.