Материал: Краткий курс физики. учебное пособие. Гиоргадзе А.Л., Бурова С.В

Видно, что кинетическую энергию можно определить как Е_к = . Полученное тождество, утверждающее, что изменение кинетической энергии равно работе результирующей силы, называют теоремой о кинетической энергии.

Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий всех точек системы и равна:

Е_к = + Е_отн,

где m – масса системы, _ц – скорость ее центра, Е_отн – кинетическая энергия в системе центра масс (теорема Кенига).

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех сил, действующих на ее точки.

Консервативные силы. Сила взаимодействия между точками называется консервативной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения точек, но не зависит от траектории их перемещения (сила упругости, сила тяжести). Силы, не удовлетворяющие этому условию, называют неконсервативными (сила трения, сила сопротивления). Поле консервативных сил взаимодействия, создаваемое неподвижными внешними источниками, является потенциальным полем (поле тяготения, электростатическое поле).

Потенциальная энергия. Потенциальная энергия (E_п) характеризует взаимодействие между материальными точками и зависит от их взаимного расположения. Разность потенциальных энергий для двух положений точки определяют как работу поля по ее переносу из одного положения в другое:

Е_п ( ₁) – E_п ( ₂) = A₁₂ .

Следовательно, изменение потенциальной энергии _п = E_п( ₂) - Е_п( ₁) = - A равно работе сил поля, взятой с обратным знаком с точностью до константы. Однозначное определение значения возможно, если задана величина потенциальной энергии в какой–то точке пространства или задана точка с нулевой потенциальной энергией.

Например, работа силы тяжести m при перемещении точки массой m с высоты h на высоту h равна (m h – m h ). Отсюда следует, что потенциальная энергия точки в поле тяжести равна Е_п = m h, где высота отсчитывается от оговоренного нулевого уровня.

Работа силы упругости равна (-kx)dx = kx₁² - kx₂², где x₁, x₂ - начальная и конечная деформации пружины. Следовательно, потенциальная энергия упругой пружины равна Е_п = kx², где за нуль принята энергия недеформированной пружины.

Работа сил трения, сопротивления отрицательна как на каждом участке пути, так и вдоль замкнутой траектории. Так как сила трения и скорость точки имеют противоположные направления, работа силы трения на каждом участке пути отрицательна:

dA = d = dt = - Fvd t = - Fds < 0.

Силы трения типичные неконсервативные (диссипативные) силы.

Для двух близких точек на одной оси x разность потенциальных энергий определяется соотношением E_п(x) – E_п(x + dx) = F_xdx. Следовательно, проекция силы на произвольное направление выражается через производную от потенциальной энергии F_x = - . Получаем, что вектор силы равен градиенту потенциальной энергии:

= - ( ) = - gradE_п.

Для центрального поля проекция силы равна F_r = - .

Механическая энергия системы Е_мех определяется как сумма ее кинетической энергии Е_к, потенциальной энергии взаимодействия между частицами внутри системы Е_{п внктр} и потенциальной энергии во внешнем поле Е_{п внешн}:

Е_мех = Е_к + Е_{п внутр} + Е_{п внешн} ,

где сумма (Е_к + Е_{п внутр}) определяет собственную механическую энергию системы. Кроме того, кинетическая энергия системы равна Е_к = + Е_отн, то есть энергии ее движения как целого и кинетической энергии взаимодействия частиц Е_отн – внутренней энергии системы.

Изменение кинетической энергии равно работе всех сил (консервативных и неконсервативных), приложенных к точкам системы: ∆Ε_к = A_конс + A_неконс.

Изменение потенциальной энергии равно работе всех консервативных сил (внутренних и внешних, включая работу потенциальных полей), взятой с обратным знаком:

∆Ε_п = - A_конс .

Получается, что изменение механической энергии равно работе всех неконсервативных сил: ∆Ε_мех = ∆Ε_к + ∆Ε_п = A_неконс.

Полная энергия, кроме механической энергии, включает в себя также различные виды внутренней энергии: тепловую, химическую, ядерную. Общий принцип сохранения энергии вытекает из однородности времени, означающего независимость законов движения от выбора начала отсчета времени.

Закон сохранения энергии гласит: полная энергия замкнутой системы сохраняется, и при этом механическая энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной.

Закон сохранения момента импульса. Моментом импульса материальной точки относительно центра О называют векторную величину:

= [ , ],

где – радиус-вектор материальной точки, проведенный из центра О, – импульс точки.

Момент импульса это одна из мер механического движения точки или системы. При движении с постоянной скоростью момент импульса не меняется. Модуль момента импульса равен L = prsinα = pd, где α – угол между импульсом и радиусом - вектором, d – расстояние между центром О и линией действия импульса, которое называют плечом импульса.

Моментом импульса точки относительно оси z называется проекция L на эту ось момента импульса относительно любой точки на этой оси. Момент импульса относительно оси определяется проекцией импульса точки на плоскость, перпендикулярную к оси. Если разложить и на параллельную и перпендикулярную составляющие к оси, соответственно,

= + и = + ,

то составляющие параллельные оси, не дадут вклада в проекцию момента импульса на ось. Следовательно, L = [ , ] . Модуль момента относительно оси также равен произведению импульса на плечо.

Производная по времени от момента импульса материальной точки относительно центра О равна:

= [ ] + [ ] = [ , ] + [ , ] = ,

г

Рис. 2.17

де - момент результирующей силы относительно центра О (член [ , ] = 0 в силу параллельности векторов и ).

Момент силы относительно центра О (рис. 2.17) определяется равенством:

= [ , ],

где – радиус-вектор точки приложения силы . Момент силы не меняется при перемещении силы вдоль линии ее действия.

М

Рис. 2.18

омент силы, векторная величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии ее на твердое тело. Модуль момента равен M = Frsinα = Fl, где α – угол между силой и радиусом – вектором, l – расстояние между центром О и линией действия силы, которое называют плечом силы.

Моментом силы относительно оси z (рис. 2.18) называют проекцию М на эту ось момента сил относительно любой точки на этой оси. Аналогично свойствам момента импульса, момент силы относительно оси определяется проекцией силы точки на плоскость, перпендикулярную оси: М = [ ] . Модуль момента относительно оси равен произведению силы на плечо.

Моментом импульса системы материальных точек относительно центра О называется сумма моментов импульса материальных точек, составляющих эту систему. Момент импульса системы равен:

= [ _ц, ] + _отн ,

где _отн – момент импульса в системе центра масс. Суммируя уравнение

= = _внутр + _внешн по всем точкам системы и учитывая, что суммарный момент внутренних сил _внутр равен нулю, получим

= _внешн ,

то есть производная по времени от момента импульса системы равна суммарному моменту внешних сил _внешн.

Закон сохранения момента импульса замкнутой системы выводится из условия, что импульс внешних сил для замкнутой системы равен нулю ( _внешнdt = 0). При этом приращение момента импульса d = 0, а момент импульса замкнутой системы сохраняется =const. Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом, отражающим изотропность пространства, то есть равноправие всех его направлений. Как и в случае законов сохранения импульса и энергии, действие закона сохранения момента импульса выходит за пределы ньютоновской механики, в рамках которой он был выведен.

Момент импульса незамкнутой системы сохраняется в следующих случаях:

1. Если суммарный момент внешних сил _внешн = 0.

2. Если момент импульса внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то момент импульса относительно этой оси сохраняется.

Столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию, называется абсолютно упругим ударом. В этом случае выполняются законы сохранения импульса и механической энергии.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти конечные скорости ₁ и ₂ упругих шаров массой m₁ и m₂ после центрального удара, если их скорости до удара равнялись ₁ и ₂, соответственно.

Решение: При центральном ударе упругих шаров сохраняется и импульс системы, и ее механическая энергия:

,

.

Вместо второго уравнения удобно использовать условие, что относительная скорость шаров не меняется по величине, но изменяет свой знак: v_1х – v_2х = u_2х - u_1х. Это уравнение можно вывести из первых двух, но оно становится очевидным при переходе в инерциальную систему центра масс. В этой системе отсчета полный импульс системы равен нулю, и после удара скорости шаров просто меняются на противоположные. Решая два линейных уравнения, находим конечные скорости шаров:

, .

При упругом ударе о движущуюся стенку (т₂>>т₁) получим

u_{2x } v_2x, u_{1x  -} v_1x + 2v_2x.

Пример 2. Два шара массами т₁ и т₂, летящие со скоростями и , соответственно, навстречу друг другу, неупруго соударяются. Найти количество выделившегося тепла Q.

Решение: После абсолютно неупругого удара шары движутся поступательно с одинаковой скоростью , то есть как одно составное тело без вращения, если удар центральный. Скорости сравниваются в результате действия неконсервативных сил, то есть при неупругом ударе обязательно выделяется тепло Q. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью закона сохранения импульса конечную скорость шаров: , после чего вычислим уменьшение механической энергии:

.

2.5. Динамика абсолютно твердого тела

Плоское движение твердого тела является суперпозицией поступательного движения центра масс и вращательного движения в системе центра масс. Движение центра масс описывается вторым законом Ньютона и определяется результирующей внешней силой. Вращательное движение подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела. Перед написанием уравнения введем основные динамические понятия вращательного движения твердого тела.

Моментом силы относительно оси z называют проекцию на эту ось момента сил относительно любой точки О на этой оси.