Документ: Краткий курс теоретич. механики, Тарг, страницы 406-410

rt , Jlf Jt. Определить угловую скорость Q2 колеса 2 в конце удара, «ели коэффи циент восстановления при ударе равен к.

Р е ш е н и е . При ударе на колеса действуют численно равные ударные им

пульсы Sj и S j (S1= S I= S ). Тогда, составив уравнение (167) для каждого из колес и учтя, что ш2= 0 , получим:

Л ( ® 1— **i)= — Srt , J2Q2= S r i .
Исключив из этих уравнений S, придем-к равенству
Л М ° 1—'<•>!>+V i fls= 0 -	(а)

Так как скорости точек D, и D 2 в начале и в конце удара равны соответственно p,=ci>i/i, u1= Q 1r1, us= 0 , u.2= Q 2r2, то формула (158'), определяющая коэффициент восстановления при прямом ударе, даст

° Л - 0 Л = ^ 1 -

(б)

Исключив из уравнений (а) и (б) (2lt найдем окончательно

Q .=-

(1 -(-к) cof.

И м п у л ь с и в н ы е р е а к ц и и . Найдем, чему равны при ударе импульсив ные реакция подпятника А и подшипника В. Проведем оси Ахуг так, чтобы центр масс С тела лежал в плоскости Ауг (рис. 383, а). Изобразим искомые импульсивные реакции их составляющими вдоль этих осей. Пусть АВ=Ь, а расстояние точки С от оси Аг равно а. Составим уравнения (154') в проекциях на все три оси, а уравне ния (155') в проекциях на оси Ах и Ау (уравнение в проекции на ось Аг уже ис пользовано при получении равенства 167). Поскольку тело за время удара не пере

мещается, векторы vc и ис будут параллельны оси Ах; следовательно, Q0x= = —Mvc = —.Маш, Qlx= —MaQ, Qy=

= Q * = 0. Используя одновременно при составлении уравнений (155') формулы (34) из § 115, получим

— Ма (Q — ш) = S 4Х+ Sbx+Sic,

0=Si4!/+>SflI( + St,, 0=S/(J4-S„

— J x z ^ —<t>)~ — SBvb + mx (S),

— Jttz (О—») = SBxb + mu (S).

(169)

Уравнения (168) и служат для опреде ления неизвестных импульсивных реакций SAx, $ Лу, SAt, SBx, SBy. Входя щая сюда разность Q—б> находится из равенства (167).

Ц е н т р у д а р а . Появлеяаепри ударе импульсивных реакций нежела тельно, так как может привести к ускорению износа или даже к разрушению ча

стей конструкции (подшипников, вала и т. п.). Найдем, можно ли произвести удар по телу, закрепленному на оси, так, чтобы импульсивные реакции в подшипниках А и В вообще не возникли. Для э т о т найдем, при каких условиях можно удовлет

ворить уравнениям (168), положив в них SA= S B= 0. Если SA = S B = 0, то 2-е и 3-е из уравнений (1-68) примут вид^_5у= 0 , S , = 0. Чтобы удовлетворить этим урав

нениям, надо направить импульс S перпендикулярно плоскости Ауг, т. е. (по при нятому условию) плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела.

Допустим, что импульс S имеет такое направление (рис. 383, б). Поскольку при

Sa—Sb—О вид системы (168) не Зависит от выбора на оси Аг начала координат, проведем для упрощения дальнейших расчетов плоскость Оху так, чтобы импульс

S лежал в этой плоскости. Тогда тх (S )= т » (S)=0 и последниедва уравнения слстемы (168) при 5 д = 0 дадут j xa= j e t= 0. Это означает (см. J 104), что плоское»

406

Оху, в которой лежит импульс S, должна проходить через такую точку О, для ко торой ось г является главной осью инерции тела; в частности, как показано в § 104, условия JXi = J yt= 0 будут выполняться, если плоскость Оху является для тела

плоскостью симметрии.	_	_
Обратимся, наконец, к 1-му из'уравнений	(168). Поскольку S ^ = S B= 0 и

Sx= —S (см. рис. 383, б), оно принимает вид Ma(Q—<a)—S. Одновременно урав

нение (167), так как в нашем случае m ,(S)=Sh, дает /*,(£2—<o)=Sh. Исключая из двух полученных равенств разность Q—со, находим

h = Jf/(Ma).	(169)
Формула (169) определяет, на каком расстоянии h от оси г должен быть при
ложен ударный импульс.	в точках
Итак, для того чтобы при ударе по телу, закрепленному на оси г,

закрепления этой оси не возникло импульсивных реакций, надо:

1) чтобы ударный импульс был расположен в плоскости Оху, перпендикулярной оси г и проходящей через такую точку О тела, для которой ось г является главной осью инерции (в частности, плоскость Оху может быть плоскостью симметрии тела); 2) чтобы удар был направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через

ось вращения г и центр масс С тела;

3) чтобы ударный импульс был приложен на расстоянии h—Jt /Ma от оси (поту сторону от оси, где находится центр масс).

Точка К, через которую при этом будет проходить ударный импульс, не вызы вающий ударных реакций в точках закрепления оси, называется центром удара.

Заметим, что согласно формуле (169) центр удара совпадает с центром качаний физического маятника. Следовательно, как было показано в § 129, h>a, т. е. рас стояние от оси до центра удара больше, чем до центра масс. Если ось вращения проходит через центр масс тела, то а = 0 , и мы получаем h—oo. В этом случае цент ра удара на конечном расстоянии не существует, и любой удар по телу будет пере даваться на ось.

Приложения полученных результатов иллюстрируются следующими приме рами.

1. Пря конструировании вращающегося курка (см. задачу 189) или маятнико вого копра (прибор в виде маятника для испытания материалов на удар) и т. п. надо ось вращения располагать так, чтобы точка теЛл, производящая удар, была по от ношению к этой оси центром удара.

2.При работе ручным молотом его надо брать за рукоятку в таком месте, чтобы точка, которой производится удар, была относительно руки центром удара. В про тивном случае руку будет «обжигать».

3.При ударе палкой, чтобы не «обжечь» руку (рис. 384), надо ударять тем ме стом, которое по отношению к руке будет центром удара. Если палку считать од-

407

Рис. 386

неродным стержнем длиной I, а ось вращения совпадающей с его концом, то тогда

а=1/2, Jj=Ml*/3 и h=J,lMa=2l/3.

Следовательно, (рис. 384) удар надо производить тем местом стержня, кото рое находится на расстоянии 2//3 от руки или ИЗ от другого конца стержня.

Задача 188. Мишень представляет собой тонкую однородную пластину, кото рая может вращаться вокруг оси Аг (рис. 385). Форма мишени — прямоугольный треугольник ABD с катетами A B = ll, A D = lt. Определить, где у мишени находит ся центр удара, если известно, что для пластины ABD осевой момент инерции

Jt =Ml\f6, а центробежный — Jvt= M lJ s/\2 (М — масса пластины, оси Ауг в плоскости пластины).

Р е ш е н и е . Так как у треугольной пластины ABD центр тяжести С на ходится на расстоянии а—1^3 от оси Аг, то по формуле (169) расстояние центра уда ра /С от той же оси будет h = J z/(Ma) = 3Jx/(Mll) = l1/2.

Остается определить,.на каком расстоянии Ь находится центр удара от оси Ау. Для этого надо найти на оси Аг точку О, для которой эта ось будет главной. Если через точку О провести оси Ох'у'г', параллельные осям Ахуг, то точка О

будет главной, когда	г=0 и / 1/>г>=2 туг= 0 .
Первое условие,	очевидно, всегда выполняется, так как для пластины все

xh = 0 . Чтобы найти, когда выполняется второе условие, воспользуемся тем, что

нам известно значение	и что у'к—Ук, 8 z= z — Тогда J y r —
= 2 тьуь (2i,—b)—JyZ— (2 mkyk)b= J v t-M y c ^ где ус = а = 1 1/3. Следовательно,
Jyz>=0, если b = Jyz/(Ma) — lt/4.
Итак, цента удара находится в точке К с координатами у—h= l j 2, 2= b —ljA.
Задача 180. Вращающийся курок AD в момент начала удара по ударнику В

(рис. 386) имеет угловую скорость ш. Определить скорость ударника в конце удара и импульсивное давление на ось А. Массы М и т курка и ударника, момент инерций /д курка отно сительно оси А, коэффициент восстановления k и расстояния а и Ь известны (точка С — центр масс курка).

Р е ш е н и е . Обозначим ударные импульсы, действующие на курок и ударник при ударе через

ы

IAX S|

Sj и S,. Тогда для курка [по уравнению (167)] и для ударника (по уравнению (154')], учитывая, что Sy= = S ,= S , a v g = 0, получим:

JА (Q— <в)= — m« a =S. (а)

У момента Sb рзят знак минус, так как момент на правлен противоположно направлению вращения курка. Кроме того, поскольку для точки D курка, vD—u>b, a uD—Qb (vD — скорость в начале удара,

« д — в конце), то формула (158'), определяющая коэффициент восстановления при прямом ударе’двух тел, дает:

Ид— «а = — к (vD— vB) или	Qb— uR= — hob.
Подставляя сюда Q и S из уравнений (а), найдем скорость ударнцка в конце удара:
„ . - ^ ( 1 + А)	“ •
U* ~ J A+n&

Для определения SA — импульсивной реакции, действующей со стороны оси на курок, составляем для курка уравнение (154) в проекциях на оси Ах и Ау. Учи

тывая, что QQX= MVCX = Мюа,	Qlx = MuCx = MQa, найдем:
Ma (fl — ш) = — S + SAx, SAy = 0.		(6)
Но-из уравнений (a) S —muB,
	Q — ш = — mbuB/JA. Подставляя эти величины

вравенство (б) и заменяя ид его значением, получим окончательно

^= 77+/д т*1^ тА(1+*)Ш|

Пде« Ь =]д/ (Ма) точка D является центром удара и SA* =0.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автоколебания					323				статики			12			Закон		движения третий (о равенстве дейсг*
Аксиомы			(принципы)												вия и противодействия) 14; 183
Амплитуда				колебаний					112,			233			—	независимости					действия			сил 183
—	— вынужденных							242,		243,		245	250		— параллелограмма снл 13, 183
Аналогии			электродинамические									249»			—	площадей			207, 251
Афелий 207															— сохранения главного момента количеств
Бинормаль 107															движения				294
															— — движения центра-масс 276											283
Ватт 210															—	— количества					движеиия				282*
						системы				сил		18,	19.	39	— —		механической					энергии			321
Вектор главный															Законы динамики 181—183
— — сил инерции 347															—	Ньютона			5,	7,		181 — 183
—- свободный 34															— трения			скольжения					64,	65
— скользящий					12										Импульс			силы		201,		202
Вес тела 89,					228						5
Взаимодействие механическое															— -*• элементарный 201, 202
Винт динамический 78											121				— ударный				397		181
Вращение			тела равномерное												Инертность 180,
—	— равнопеременное								122						Интенсивность 58
— собственное					148										Киловатт-час 210
Время		удара			396						245											95
— установления						колебаний									Кинематика				6,	7,
Гироскоп 334—338															Колебания точки вынужденные 241, 242«
							точки			112,		113			244,		245,		247,		248
Графики движения															•— — гармонические 112, 233
															— главные				395
Движение механическое 5															— затухающие 238
															— линейные 235
— переносно* 156
															<— нелинейные					235,		237
— плоской				фигуры				127,		128
															—	параметрические 295
—	по инерции 181
															— свободные при отсутствии сопротивления
—	свободного				твердого				тела		153, 344
															232,		233
— твердого				тела		винтовое 177							точки		«— системы с двумя степенями свободы малые
		—		вокруг				неподвижной							147, 394.		395				степенью			свободы		малые
	148, 340—342														_	—	— одной
	—	вращательное вокруг неподвижной													389—394
оси		119,	120, 323												—	собственные				242,		245
■— —		— мгновенно						поступательное					134
															Количество движения 201, 280, 281
_	—	— плоскопараллельное (плоское) 127,													—	—	жидкости				секундное			285
	128,	328,		329											Координаты обобщенные 369
	— — поступательное									117,		118,	169												прн	ударе
															Коэффициент					восстановления
— — — сложное						169										399,	401,		402
— точки абсолютное								156,		223
															—* динамичности						243,		246
•—	—, брошенной под углом к горизонталь
															— жесткости обобщенный									390
ной плоскости						198—200
										110,		111,	197		—	пружины				185,		212
—	— криволинейное							96,								инерционный					390
— — несвободное							183,		214,		219				—	кваэиупругий					390
—	— относительное							155,		223,		224
													189		— трения качения							71
— — прямолинейное 96,										110,		111.			—	— скольжения 65
— — равномерное							110,		111
															Коэффициенты					формы			395
*— — равнопеременное									111
— — сложное (составное) 155															Линия действия силы								10
Декременх				колебаний 239											— тока 284
— логарифмический								239			209				«— узлов			147
Джоуль (единица						измерения)
Динамика			6. 7,			180									Масса		181.		186.		264
Длина		приведенная						фнэнческого маятника
															—	гравитационная						186
															— инертная				186
Задача краевая						190, 234									Маятник			математический 327
												56			— оборотный					328
— статически					неопределенная										—	физический				326
—	— определенная							56							Метод вырезания узлов 61, 62
Задачи динамики 183															— остановки (метод Виллиса) 173
Заделка жесткая						49				(основной)				182	— сечений (метод Риттера) 63
Закон		динамики				второй									Механика			5, 7
—	— первый				(закон			инерции)				181			— теоретическая (общая) 5

400


Многоугольник		СИЛОВОЙ		18			Работа силы тяготения		213
Момент вращающий			306,	323			— — тяжести 210, 211
—	гироскопический		338				— — упругости 211, 212			209
— главный системы сил 39, 40							— — элементарная 208,
— — сил инерции 347							Равновесие 9
— инерции осевой 264, 265							— абсолютное 360			360, 361, 375
—	— относительно		оси	265, '271			— механической	системы
—	— центробежный		264,		269,	354	— относительное	225	66
—	кинетический	290, 291,			334,	340	— при наличии	трения


— количества					движения жидкости секунд*										— — — _				предельное 65, 66
	ный	299													— плоской				системы			сил		46, 47
— — — точки 205															—	пространственной системы сил 79, 80
— количеств движения системы главный 290															—	системы			сходящихся					сил		23
— пары сил 34, 42															—	— тел 53
— силы относительно оси 72, 73, 75															Равнодействующая системы сил 11, 19
—	— относительно						точки			(центра)			31—33		Радиус инерции					266,		267				285
— — — — — алгебраический												41			Расход			жидкости			секундный
Моменты инерции						главные				271					— топлива				секундный				288					на
—	— относительно параллельных осей 268														Реакции			динамические,						действующие
Мощность 210															ось		вращающегося тела								354
															—	связей			15— 17,		48,		49,		66
Невесомость 257, 258,								260							—	статические, действующие на ось вра
Нормаль			главная			L07									щающегося тела						354		220.			222
Нутация			148,		337	намерения)					10,		184		Реакция			динамическая
Ньютон			(единица												Резонанс 243, 247, 248, 294, 295
Оси естественного						трехгранника						107			Самоторможение 66								357
—	инерции			главные			270			354,		355			Связи		15— 17,			48,	49,
—	—	—	центральные					271,							—	идеальные 309, 360
Ось винтовая					мгновенная					179					Сгдеиг фаз 245, 246, 249
—	вращения				120										Сила 6,			10
------- мгновенная 135, 148, 170															—	активная 180, 309
Отклонение статическое									235						— внешняя 11, 14, 263
Пара вращений 171															— внутренняя II, 14* 263, 301
															— возмущающая 241,
—	гироскопическая 338														—	— гармоническая						241				238,	241,	244
— сил 33, 35, 36								17!							—	восстанавливающая							232,
—	угловых			скоростей										358	— вязкого				трения		185,			238
Перемещение					возможное				(виртуальное)						— диссипативная						322,		393
Перигелий				207		112,'234,					390				— инерции 344						224
Период			колебаний												—	— кориолисова
— — затухающих 239, 393															— — обобщенная						376
Платформа				Жуковского					295						—	— переносная					224			347
Плечо		пары сил 33													г-	— центробежная						226,
— силы относительно центра 32															— массовая 258, 285									318
Плоскость				соприкасающаяся							102		319		— непотенциальная							213,
Поверхности					равного			потенциала							— обобщенная					372,		373
— уровня 319						317									—• — активная					372
Поле		силовое			88,										— объемная 258								259,			285
—	—	потенциальное					317								— поверхностная *258,
—	скоростей				88, 119										—	потенциальная 211—213, 317, 374^-376,
— ускорений 88. 119, 145															378,		379				11,		58—60
Полюс 127				гравитационная 185											—	распределенная
Постоянная															—	реактивная				288	аэродинамического							(гид
Петенциал				кинетический					379						—	сопротивления
Правило			Жуковского					338							родинамического)							185,		186
Прецессия				148		337									—	сосредоточенная И
— гироскопа 336,															—	сцепления 64							64,		4>5
—	— регулярная					344									—	трения			предельная
Приведение сил инерция 347, 348													38. 39		—	— скольжения 64, 65, 185
—■ системы				сил к		данному				центру					—	тяготения 185, 227, 250, 258
Принцип			возможных					перемещений						360,	— тяжести. 11,					88,	227, 228
361,		367			344,		345,		355,		367				—	ударная			396		211,		232
—	Даламбера														—	упругости 185,
— Даламбера—Лагранжа									367						—	уравновешивающая							11
— отвердевания 14												механики			—	центральная 206, 251											263,	264
— относительности						классической									Силы		внутренние,				их		свойства
225															СИ — система единиц международная 10, 184
Принципы механики 344															Система			едилнк МКГСС						184
Проекция силы на ось 20, 21															— координат правая 21
— — — плоскость 21								269							—	механическая 263.
Произведения					инерции										—	— голономная 357
Работа возможная						360									—	— диссипативная						322
															— . — консервативная 322, 387, 389
— потенциальной						силы 318									—	— неголономная						357
— сил.			приложенных						к	вращающемуся					—	— неизменяемая						308
телу		305.		306											—	— с идеальными связями 308, 309
— силы			209												—	отсчета			85			182»		223» 225
— — трения 212» 213								на		катящееся				тело	—	— инерциальнця
—	—^действующей														—	— местная 261							223
															—	— неинерциальная

410

Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Смотрите также: