Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Из равенств (а) и (б) видно, каковы здесь значения о д .о * ,, On, сц н рм (сц=0). При этих значениях коэффициентов уравнение частот (149) примет вид

*■-'6 f *,+ т ( т )*-«•

Подставляя теперь в любое из отношений, стоящих в левой частя равенства (148),

Таким образом, при первом главном колебании оба стержня будут в каждый момент времени'отхлонены от вертикали в одну и ту же сторону (рис. 374, а) и 1,43, а при втором главном колебании — в разные стороны (рис, 374, б)

" W>»/4>il=2.10.

Глава XXXI

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА

§151. ОСНОВНОЕ .УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ УДАРА

При движении тела под действием обычных сил, рассматривав­ шихся до сих пор, скорости точек тела изменяются непрерывно, т. е. каждому бесконечно малому промежутку времени соответствует бесконечно малое приращение скорости. Действительно, если им­ пульс любой силы Fk за промежуток времени т представить в виде Fjpr, где FJP — среднее значение этой силы за время т, то теорема об изменении количества движения точки, на которую действуют силы Fh, дает

m(Wi— «,) = 2 ^ рт.

Отсюда видно, что когда время т бесконечно мало (стремится к нулю), то при обычных силах и приращение скорости Av=vx— будет тоже величиной бесконечно малой (стремящейся к нулю).

Однако если в числе действующих сил будут очень большие силы (порядка 1/т), то приращение скорости за малый промежуток времени т окажется величиной конечной.

Явление, при котором скорости точек тела за очень малый (близкий к нулю) промежуток времени т изменяются на конечную величину, называется ударом. Силы, при действии которых проис­

ходит удар, будем называть ударными силами Fys. Промежуток времени г, в течение которого происходит удар, назовем временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются в значительных пределах, то в теории удара в качестве меры вза­ имодействия тел рассматривают не сами ударные силы, а их ймпуль-

396

сы< Ударный импульс

X

~ § ^уд =

о

является величиной конечной. Импульсы неударных сил за время х будут величинами очень малыми и ими практически можно пренебречь.

Будем в дальнейшем обозначать скорость точки в канале удара о,

а скорость в конце удара и. Тогда теорема об изменении количества движения точки при ударе примет вид *

т. е. изменение количества движения материальной точки за время удара равно сумме действующих на. точку ударных импульсов. Урав­ нение (153) является основным уравнением теории удара и играет в

теории удара такую же роль, как основной закон динамики ma—F при изучении движений под действием неударных сил.

В заключение отметим, что перемещение точки за время удара будет равно цсрт, т. е. величине очень малой, которой практически можно пренебречь.

Итак, из всех полученных результатов вытекает следующее:

1)действием неударных сил (таких, например, как сила тяже­ сти) за время удара можно пренебречь;

2). перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь

нсчитать тело во время удара неподвижным;

3)изменения скоростей точек тела за время удара определяются

основным уравнением теории удара (153).

f 162. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УДАРА

Рассмотрим, какой вид принимают общие теоремы динамики для системы материальных точек при ударе.

в § lit , сохраняет свой вид и для случая удара. Но так как импуль­ сами обычных сил при ударе пренебрегают, то*в правой части оста­ нутся только ударные импульсы. Следовательно, при ударе

т. е. изменение количества движения системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему.

В проекциях на любую координатную ось х уравнение (154)

397

Если геометрическая сумма всех внешних ударных импульсов равна нулю, то, как видно из уравнения (154), количество дви­ жения системы за время удара не изменяется. Следовательно, внут­ ренние ударные импульсы не могут изменить количества движения

объясняется это тем, что точки системы за время удара не переме­ щаются. Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Обозначим равнодействующую внешних ударных импульсов, дей­

ствующих на точку с массой тк, через S%, а равнодействующую действующих на ту же точку внутренних ударных импульсов — че­

рез SJ. Тогда по уравнению (153) будет mk{uh—vh) —S‘k+ S { или

mkuk ~ m kvk + S‘k + S i -

Входящие в это равенство векторы приложены к точке, которая, как. было указано, за время удара остается неподвижной. Тогда, беря моменты этих векторов относительно какого-нибудь центра О, по теореме Вариньона, справедливой для любых векторных вели­ чин, найдем, что

« о (/"*«*) = т0 (m„vk) + т0 (S{) + т0 (Si).

Составляя такие равенства для всех точек системы и складывая кх почленно, получим

2ш0 (m*ufc) — 2m0 (m*r*) = Zm0 (SJ) + 2m0 (Sj).

Суммы, стоящие слева, представляют собой главные моменты количеств движения системы относительно центра О в конце и в

начале удара, которые обозначим К\ и К,. Стоящая справа сумма моментов внутренних ударных импульсов по свойству внутренних сил равна нулю. Окончательно находим

т. е. изменение за время удара главного момента количеств движения системы относительно какого-нибудь центра равно сумме моментов относительно того же центра всех действующих на систему внеш­

Из полученных уравнений следует, что если сумма моментов внешних ударных импульсов относительно какого-нибудь центра (или оси) равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этого центра (или оси) за время удара не

Э98

В качестве предельных случаев рассматривают случай абсолют­ но упругого удара (6=1), при котором кинетическая энергия тела после удара полностью восстанавливается, и случай абсолютно неупругОго удара (&=0), когда удар заканчивается в первой стадии и вся кинетическая энергия тела теряется на его деформацию и нагре­ вание.

Экспериментально величину k можно найти, если рассмотреть шар, свободно падающий на плиту с предварительно измеренной высоты Н, и определить с помощью стоящей рядом вертикальной

k = u/v= V h/H.

Значение коэффициента восстановления для тел из различных материалов дается в соответствующих справочниках. В частности, можно считать при скоростях соударения порядка 3 м/с для удара дерева о дерево Л «0,5, стали о сталь Л«0,56, стекла о стекло kf& «0 ,9 4 .

§ 154. УДАР ТЕЛА О НЕПОДВИЖНУЮ ПРЕГРАДУ

Рассмотрим тело (шар) Массой М, ударяющееся о неподвижную плиту. Действующей на тело ударной силой будет при этом реакция

плиты; импульс этой силы за время удара назовем 5. Пусть нормаль к поверхности тела в точке его касания с плитой проходит через центр масс тела (для шара это будет всегда). Такой удар тела назы­ вается центральным. Если скорость v центра масс тела в начале удара направлена по нормали п к плите, то удар будет прямым» в противном случае — косым.

1. С л у ч а й п р я м о г о у д а р а . Составляя в этом случае уравнение (154) в проекции на нормаль п (см. рис. 375) и учитывая,

S = M (l+ A )y .

Как видим, ударный импульс будет тем больше, чем больше коэффициент восстановления k. На эту зависимость S от Л и было указано в § 153.

400