Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Чтобы определить среднюю величину ударной силы (реакции), надо дополнительно знать время удара т, которое можно найти эк­ спериментально.

Пример. При падении стального шара массой т = 1 кг с высоты Н—3 м яа

стальную плиту (4=0,56) получим u= Y 2 g H ~ 7 ,7 м/с и ц=Л»=4,3 м/с. Ударный импульс S = m o(l+ A )* 3 12 Н-с.

Если время удара т=0,0005 с, то средняя величина ударной реакции ЛГЗ(=

масс тела а начале удара образует с нормалью к плите угол а , а скорость и в конце удара — угол Р (рис. 377). Тогда уравнение (154) в про­ екциях на касательную т и нормаль п даст

М (“ * ~ t4 ) = 0 , M (un— on) = S.

Коэффициент восстановления в данном случае равен отношению модулей |и„| и |и„|, так как удар происходит только по направлению нормали к поверх­ ности (влиянием трения пренебрегаем). Тогда с учетом знаков проекций получим u „= —kv„. В результате окон­ чательно находим:

=Un= — kv„, S = M K | ( 1 + A ) .

Из полученных уравнений можно найти модуль и направление скорости в кон­ це удара и ударный импульс, если величины М , о, а и it известны. В частности, из первого равенства, замечая, что vz = |и„| tg а и ых = |u„l tg р, получаем

откуда

* = 1“ л I/I yn l = < g a / t g р.

Следовательно, при косом ударе отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения равно коэффициенту восстановления. Так как А< 1, то а < р , т. е. угол падения всегда меньше угла отражения.

| 155. ПРЯМОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УДАР ДВУХ ТЕЛ (УДАР ШАРОВ)

При соударении двух тел удар называется прямым и централь­ ным, когда общая нормаль к поверхностям тел в точке касания про­ ходит через их центры масс и когда скорости центров масс в на­ чале удара направлены по этой общей нормали. Таким, в частности, будет удар двух однородных шаров, центры которых до удара дви­ жутся вдоль одной и той же прямой.

Пусть массы соударяющихся тел равны М г и М г, скорости их центров масс в начале удара vx и tiSl а в конце удара иг и иг. Прове­ дем через центры масс Сь С2 координатную ось Сгх, направленную всегда от Сх к С, (рис. 378). Тогда, чтобы произошел удар, должно быть vt^>vtx (иначе первре тело не догонит второе); кроме того, Uix^JUtx, так как ударившее тело не может опередить ударяемое.

Считая М и M t, vlx, vtx и Л известными, найдем и1х и utx. Для этого применим теорему об изменении количества движения к соударяющимся телам, рассматривая их как одну систему. Тогда ударные силы, действующие между телами, будут внутренними и

'LS‘k—0. В результате уравнение (154') дает Qtx=Qtx или

Второе уравнение найдем из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный имлульс) зависит не от абсолютного значения скорости

«1*—»«*• Поэтому при ударе двух тел,

Система уравнений (157), (158) и по­ зволяет решить поставленную задачу.

Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, наДдем, составив уравнение (154') для какого-нибудь одного из тел, на­ пример для первого. Тогда

Действующий на тела ударный импульс при этом равен

2МгМ

'!*■ г (« ix— Vtx)-

SfH-A*.

Как видим, при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом.

402

Подставляя в правую часть равенства (163) шесто Т, и Tt их значения из формул (162), а вместо 27\— правую часть выражения (164), получим:

или

Разности (vtx—их) и (vtx—Ux) показывают, насколько уменьшилась при ударе скорость каждого из соударяющихся тел. Их можно назвать потерянными при ударе скоростями. Тогда из формулы (165) вытекает следующая теорема Карно *: кинетическая энергия, поте­ рянная системой тел при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергий, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями.

Если удар не является абсолютно неупругим (ЬфО), то аналогич­ ными преобразованиями можно найти, что кинетическая энергия, потерянная при ударе двух тел, определяется равенством

(165')

Рассмотрим частный случай абсолютно неупругого удара по первоначальнане­ подвижному телу. В этом случае о ,= 0 и

Тогда

■ли

(166)

Формула.(166) показывает, какая энергия остается у. системы после удара. Отметим два интересных предельных случая.

Рис. 380

1. М а с с а у д а р я ю щ е г о т е л а м н о г о б о л ь ш е м а с с ы у д а ­

тик и механик) и видный деятель эпохи французской революции.

404

(166) дает.7*1» Г,. Следовательно, хотя удар и является абсолютно непругим, поте­ ря кинетической энергии при ударе почтя не происходит, и система после удара начнет двигаться почти с той же кинетической энергией, которая у нес была в на­ чале удара.

На практике такой результат нужно, очевидно, получать при забивании гвоз­ дей, свай и т. п. Следовательно, в этом случае нужно, чтобы масса молотка была

энергия расходуется на деформацию соударяющихся тел; по окончании удара тел4 можно считать неподвижными.

Практически такой результат нужно, очевидно, получать при ковке, клепке и т. п. Следовательно, в этих случаях нужно, чтобы масса поковки гместе с нако­ вальней (или масса заклепки вместе с поддержкой) была много бопъше массы мо­ лота (рис. 380, б).

« 157*. УДАР ПО ВРАЩАЮЩЕМУСЯ ТЕЛУ. ЦЕНТР УДАРА

Рассмотрим тело, имеющее ось вращения г (рис. 381). Пусть в некоторый момент времени к телу будет приложен ударный импульс

S.Тогда по уравнению (155')

Кit—Коt —mt (§),

так как моменты относительно оси г импульсивных реакций SA и SB, возникающих в подшипниках, будут равны нулю.

Условимся обозначать угловую скорость тела в начале удара через «о, а в конце удара — через Н. Тогда /( .* = ./ K n —J f i и окончательно получим:

Формула (167) определяет изменение угловой скорости тела при ударе. Из нее следует, что угловая скорость тела за время удара изменяется на величину, равную отношению момента ударного импульса к моменту инерции тела относительно оси вращения.

Задача 187. Колесо 1, вращающееся с угловой скоростью он .ударяет высту­ пом £>i о выступ Dt первоначально неподвижного колеса 2 (рис. 382). Радиусы ко­ лес и их моменты инерции относительно осей Ах и А г соответственно равны гг,

406