Документ: Кратные и криволинейные интегралы, страницы 36-40

36

3) rot( a) rota grad a

k

i

j

( R)

( Q)

( P)

( R)

( Q)

( P)

rot ( a)

i

j

k

x

y

z

y

z

x

y

P

Q

R

=

R

Q

P

R

Q

P

i

j

k +

y

z

x

y

z

Q P

R

Q

i

P

R

j

k

= rota grad a.

y

z

x

y

Теорема Стокса.

Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхностьс кусочно-гладкой границей .

Пусть компоненты векторного поля a(M) P(x, y,z)i Q(x, y,z) j R(x, y,z)k непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в области V.

Тогда справедлива формула Стокса

R

Q

P

R

Q

P

dydz

dxdz

dxdy

Pdx Qdy Rdz

y

z

x

z

y

Замечание. Нормаль к поверхности проведена так, чтобы наблюдатель, находясь на конце вектора нормали, видел бы обход контура , совершающимся в положительном направлении (так, чтобы область, границей которой является контур, при обходе контура находилась бы «по левую руку»).

Доказательство теоремы Стокса.

z

Как и формула Остроградского – Гаусса, формула Стокса

состоит из

трех

независимых

частей

(в

силу

произвольности

компонент

векторного

поля).

Докажем

y

одну из этих частей,

остальные формулы доказываются

P

аналогично. Докажем

dxdz

dxdy

Pdx -

z

y

D

часть формулы

Стокса, в

которой

содержится

только

компонента P.

Предположим, что поверхность описывается

xуравнением z x, y . Тогда нормаль к поверхности

37

представляет собой вектор

1

x

y

n cos ,cos ,cos

,

1 2

2

1

2

1 2

2

x

y

x

y

x

y

Отсюда видно, что cos

"y

cos . Вспомним еще, что d cos dxdz, d cos dxdy.

P

P x, y

P

dxdz

dxdy

cos

cos d

z

y

z

y

z

y

(на поверхности z x, y , поэтому под интегралом стоит частная производная P по y с учетом зависимости z от y на поверхности )

=

P

dxdy

P(x, y, (x, y))

dxdy

y

D

y

Используем формулу Грина для области D с ее границей . Ее можно записать в виде

Q

P

dxdy

Pdx Qdy . Нам понадобится только та ее часть, которая относится к

x

y

D

функции P

P

dxdy Pdx. Продолжаем равенство дальше.

D

y

= P(x, y, x, y )dx P(x, y,z)dx .

В самом деле, на контуре z x, y , а переменные x, y на том и другом контуре те же, так как контур - это проекция контура на плоскость OXY (параллельно оси OZ). Одна из частей формулы Стокса доказана.

Линейным интегралом векторного поля a по дуге L называется криволинейный

интеграл Pdx Qdy Rdz.

L

Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.

Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру.

Ц a Pdx Qdy Rdz .

Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме

Ц a П rota .

Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор

– это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.

Инвариантное определение ротора.

Рассмотрим произвольную точку M в области V. Проведем через нее поверхность , границей которой служит контур . Пусть поверхность и контур удовлетворяют условиям теоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стокса получим


rota	nd	rota(M) n M Pdx Qdy Rdz .

38

Здесь, как и ранее - обозначение области и ее площади. Из этого соотношения, стягивая контур к точке M, получим

Pdx Qdy Rdz

rota M n M lim M

Это и есть инвариантное определение ротора.

Правая часть формулы – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля (энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращении вокруг некоторого направления, определяемого вектором n M ). Левая часть – это проекция ротора на это направление.

Если направление n M совпадает с направлением ротора и n M - единичный вектор, то левая часть равна модулю ротора. Поэтому модуль ротора векторного поля равен

максимальному значению поверхностной плотности циркуляции векторного поля.

Левая часть достигает максимума при коллинеарности направления и ротора векторного поля. Поэтому направление ротора векторного поля – это то направление,

вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля – наибольшая.

Пример. Найти ротор линейной скорости вращения с постоянной угловой скоростью

Векторное поле линейной скорости v r .

i

j

k

v x

y

z

z y y z i x z z x

j y x x y k ,

x

y

z

i

j

k

rotv

2 xi

2 y j 2 zk

2

x

y

z

z y y z

x z z x

y x x y

Ранее была сформулирована теорема о полном дифференциале для пространственной кривой. В ее доказательстве не хватало только одного пункта – перехода от пункта 3) к пункту 2). Все остальное доказывается аналогично случаю плоской кривой.

Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.

Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.

5) Pdx Qdy Rdzне зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит

AB

только от начальной и конечной точек дуги.

6)

Для любого замкнутого контура S

Pdx Qdy Rdz 0

7)

Q

P

,

R

Q

,

P

R

x, y,z S

x

z

x

y y

8)

Pdx Qdy Rdz dV(x, y,z),

P

V

, Q

V

, R

V

.

V(x, y,z)- полный

x

y

z

дифференциал.

39

Теперь переход от пункта 3) к пункту 2) легко сделать по формуле Стокса.

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять по формуле

x2 , y2 ,z2	x2	y2	z2
Pdx Qdy Rdz=	P x, y1,z1 dx Q x2 , y,z1 dy R x2 , y2 z dz, так как интеграл
x1, y1,z1	x1	y1	z1

не зависит от формы дуги (пути интегрирования).

Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять также по формуле Ньютона – Лейбница

x2	, y2 ,z2	V x2 , y2,z2 V x1, y1,z1 ,	где V x, y,z - потенциал векторного
	Pdx Qdy Rdz=	V x2 , y2,z2 V x1, y1,z1 ,	где V x, y,z - потенциал векторного
x1	, y1,z1

поля (a grad V ).

Потенциальное поле и его свойства.

Векторное поле a(M) называется потенциальным, если существует такое скалярное

поле V(M) (потенциал векторного поля a(M)), что a(M)=grad V(M) .

Замечание. Если поле a(M) - потенциально, то a(M) dr	= grad V dr dV - полный
дифференциал. Тогда Pdx Qdy Rdz a dr dV - полный	дифференциал. Поэтому

свойства потенциального поля можно сформулировать и доказать как следствия теоремы о полном дифференциале.

Свойства потенциального поля.

1. Линейный интеграл потенциального поля a dr не зависит от формы дуги L = AB,

L

а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

В самом деле, a dr= gradV dr dV V(B) V(A).

L L L

2. Циркуляция потенциального поля равна нулю

Полагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем a dr= V(A) V(A) 0

L

3. Потенциальное поле является безвихревым, т.е. rota 0


		i		j		k
rota rot(gradV)
rota rot(gradV)		x		y		z
		x		y		z
	V		V		V
		x		y		z

2

V

y z

i

z x

j

x y

k 0

z y

x z

y x

Оператор Гамильтона

40

Оператор Гамильтона

i

j

k .

y

z

x

Применим оператор Гамильтона к скалярному полю

i

j

k grad .

y

x

z

Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или векторно умножить на векторное поле a M .

P

Q

R

i

j

k

a

diva,

a

rot a.

x

y

x

y

z

P

Q

R

Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор.

Дифференциальные операции второго порядка.

В результате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные и

векторные поля grad ,

rot a,

div a .

К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка.

От скалярного поля diva можно взять градиент, получив векторное поле grad diva.

От векторных полей grad , rota можно взять ротор и дивергенцию, получив скалярные поля divgrad , divrota и векторные поля rotgrad , rotrota .

Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярные поля divgrad , divrota и векторные поля graddiva , rotgrad , rotrota .

Ранее было показано, что потенциальное поле – безвихревое, т.е. rotgrad =0.

Покажем, что поле ротора – соленоидальное поле, т.е. divrota =0.

Доказательство.

ij k

R

Q

P

R

Q

P

rot a

i

j

k

x

y

z

y

z

x

z

y

P

Q

R

2R

2Q

2P

2R

2Q

2P

divrota

=

0.

x y

x z

y z

z x

y x

z y

Три остальных векторных поля связаны друг с другом. Это становится ясным, если рассматривать векторные операции с оператором Гамильтона «набла» аналогично обычным векторным операциям. Однако, эти аналогии не совсем верны, см. подробнее о свойствах оператора «набла» выпуск 7 учебника.

rotgrad = 0,

divrota = a a 0

Известно соотношение a b c b a c c a b . Перенося это правила на действия с

оператором «набла», получим

rotrota a a a( ) graddiva 2a graddiva (divgrad)a .

Материал: Кратные и криволинейные интегралы

Смотрите также: