13.6 Последовательность решения задач с помощью уравнений Лагранжа II-го рода
1) Изобразить механическую систему схематически;
2) установить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты;
3) показать на схеме все действующие силы (для систем с идеальными связями - только активные);
4) вычислить обобщенные силы (при этом, чтобы избежать ошибок в знаках, каждое сообщаемое системе возможное перемещение должно быть направлено так, чтобы приращение соответствующей координаты было положительным); если перемещение изменяет две обобщенные координаты, то соответствующие ей обобщенные силы определятся по формулам:
(295)
5) вычислить кинетическую энергию системы и выразить ее через обобщенные координаты и обобщенные скорости , и подставить все вычисленные величины в конечные уравнения (295).
Если заданы начальные условия и известны силы, приложенные к системе, то после интегрирования полученных уравнений будет найден закон движения системы в виде:
(296)
Если закон задан, то составленные уравнения позволят определить силы, действующие на систему. Когда они являются потенциальными, то вместо обобщенных сил определяют потенциальную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты. Затем определяют кинетическую энергию системы и составляют функцию Лагранжа . Подставляя в уравнения (294) и интегрируя их, находят искомый результат.
14. Элементы теории гироскопических явлений
14.1 Общие сведения о гироскопах
Гироскопом называют твердое тело, вращающееся вокруг оси, направление которой в пространстве может изменяться со временем.
В гироскопических приборах гироскопы обычно закрепляют в кольцевом подвесе так, чтобы при любом повороте гироскопа его центр масс оставался неподвижным (рис. 67).
Гироскопы имеют очень большую угловую скорость собственного вращения вокруг своей оси симметрии, что дает возможность не учитывать (в первом приближении) другие вращения. Кинетический момент гироскопа относительно его неподвижной точки O направлен по оси OZ в ту же сторону, куда и вектор .
(297)
где - момент инерции гироскопа относительно оси его симметрии.
Рис. 67. Схема гироскопа
Свободный гироскоп. Гироскоп, закрепленный так, что его центр тяжести неподвижен, а ось может совершать любой поворот вокруг этого центра, называется свободным (рис. 67). Пренебрегая трением в осях, имеем
(298) и - условие равновесия.
Поскольку вектор направлен все время по оси гироскопа, то отсюда следует, что ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной (звездной) системе отсчета. Кинетический момент гироскопа определится по формуле
(299)
14.2 Действие силы на ось гироскопа
Пусть на ось быстро вращающегося гироскопа действует сила (рис. 68), тогда и по теореме моментов имеем
(300)
где B - конец вектора
Учитывая, что , получаем
Рис. 68. Схема действия силы на ось гироскопа
Скорость конца вектора кинетического момента тела относительно центра O равняется по модулю и по направлению главному моменту внешних сил относительно того же центра (теорема Резаля). Следовательно, при действии силы на ось гироскопа точка B, а с нею и ось гироскопа, будет перемещаться по направлению вектора
Таким образом, если на ось быстро вращающегося гироскопа подействует сила, то ось начнет отклоняться не в сторону действия силы, а по направлению, которое имеет вектор момента этой силы относительно неподвижной точки O гироскопа, то есть, перпендикулярно силе . Когда действие силы прекращается, то и , и ось гироскопа возвращается в исходное положение.
Если сила действует кратковременно (толчок), то ось гироскопа практически не изменяет своего направления. В этом проявляется свойство устойчивости оси быстро вращающегося гироскопа.
14.3 Регулярная прецессия тяжелого гироскопа
Если неподвижная точка O гироскопа (рис. 69) не совпадает с центром тяжести C, то на ось гироскопа все время действует сила, которая по доказанной выше теореме Резаля будет отклонять ось гироскопа не вниз, а по направлению , то есть по направлению, перпендикулярному плоскости в результате ось гироскопа начнет вращаться вокруг вертикальной оси , описывая коническую поверхность. Такое движение оси гироскопа называется прецессией (рис. 69).
Найдем угловую скорость прецессии . Введем обозначение . Учтем, что и . С другой стороны так как
Поскольку , то . Следовательно, равенство дает откуда
(301)
Рис. 69. Схема к анализу прецессии гироскопа
Так как велика, то угловая скорость прецессии будет величиной малой.
Период прецессии оси Земли в силу того, что равнодействующая сил притяжения Солнца и Луны не проходит через центр масс Земли (из-за ее не шарообразной формы) равен примерно 26000 лет.
14.4 Гироскопический момент
Так как и , то момент создает реактивную пару сил N и N', которая стремится совместить ось вращения с осью (рис. 69). За счет этой пары у быстровращающегося прецессирующего волчка ось вращения принимает вертикальное положение.
Пара сил называется гироскопической парой, а ее момент - гироскопическим моментом. Так как по модулю , то
(302)
Отсюда следует правило Н.Е. Жуковского. Если быстро вращающемуся гироскопу сообщить вынужденное прецессионное движение, то на подшипники, в которых закреплена ось гироскопа, будет действовать пара сил с моментом , стремящимся кратчайшим путем установить ось его собственного вращения параллельно оси прецессии так, чтобы направления векторов и при этом совпали.
Кроме давления на подшипники гироскопический момент может вызвать движение того тела, с которым скреплены эти подшипники, если это движение допускается наложенными связями. Это обязательно надо учитывать.
У массивных и быстро вращающихся механизмов сельхозмашин тоже возникает гироскопический момент. Гироскопический момент вращающегося молотильного барабана комбайна настолько велик, что при резком повороте этого комбайна с включенной молотилкой может произойти поломка подшипников вала молотильного барабана.
Литература
1. Бурдун Г.Д. Справочник по международной системе единиц. Издательство стандартов. М. 1977. 232с.
2. Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В.А. Теоретическая механика. М.: «Колос», Высшая школа, 2000.
3. Бутенин Н.В. и др. Курс теоретической механики. В двух томах.- СПб.: Издательство «Лань», 2004.-730 с.
4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. 14-е изд. М.: Высшая. школа. 2004.- 416 с.
5. Канарев Ф.М. Начала физхимии микромира. 12-е издание. Краснодар, 2010. 754 с.