Учебное пособие
Курс лекций по теоретической механике
Часть III Механодинамика
Канарёв Ф.М.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Механодинамика. Введение
1.1 Общие сведения о механодинамике
1.2 Классификация движений и последовательность решения задач механодинамики
2. Законы механодинамики
2.1 Основной закон механодинамики
2.2 Главный принцип механодинамики
2.3 Первый закон механодинамики
2.4 Второй закон механодинамики
2.5 Третий закон механодинамики
2.6 Четвёртый закон механодинамики
2.7 Пятый закон механодинамики
3. Механодинамика криволинейного движения материальной точки
3.1 Механодинамика ускоренного движения материальной точки
3.2 Механодинамика равномерного движения материальной точки
3.3 Механодинамика замедленного движения материальной точки
4. Сложное движение материальной точки
5. Колебательное движение материальной точки
5.1 Свободные колебания
5.2 Затухающие колебания
5.3 Вынужденные колебания. Резонанс
6. Общие теоремы механодинамики
6.1 О количестве движения точки
6.2 Теорема об изменении количества движения материальной точки
6.3 Ударная сила
6.4 Момент количества движения материальной точки
6.5 Теорема моментов относительно центра
6.6 Закон сохранения момента количества движения (кинетического момента)
7. Приложение общих теорем механодинамики к теории удара
7.1 Основные определения
7.2 Общие теоремы удара
7.3 Теорема об изменении главного момента количества движения при ударе
7.4 Частные случаи удара
7.5 Удар по вращающемуся телу
8. Работа, мощность, энергия
8.1 Работа силы
8.2 Мощность
8.3 Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
8.4 Потенциальное силовое поле
8.5 Понятие о потенциальной энергии
8.6 Закон сохранения энергии
8.7 Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении
8.8 Примеры гравитационных задач
9. Механодинамика механической системы
9.1 Масса системы. Центр масс
9.2 Момент инерции тела относительно оси
9.3 Моменты инерции некоторых однородных тел
9.4 Момент инерции тел относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса)
9.5 Физический маятник
9.6 Экспериментальное определение момента инерции тел
9.7 Вращательное движение твёрдого тела и механической системы
9.8 Дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы
9.9 Количество движения механической системы
9.10Теорема об изменении количества движения механической системы
9.11 Закон сохранения количества движения механической системы
9.12 Главный момент количества движения механической системы
9.13 Теорема об изменении главного момента количества движения механической системы (теорема моментов)
9.14 Теорема моментов относительно центра масс
9.15 Закон сохранения главного момента количества движения
9.16 Кинетическая энергия системы
9.17 Кинетическая энергия тела при разных видах его движения
9.18. Теорема об изменении кинетической энергии системы
9.19. Приложение общих теорем динамики к динамике твердого тела
10. Работа законов механодинамики в микромире
10.1 Теория электрона
11. Принципы механики
11.1 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)
11.2 Порядок решения задач с использованием принципа возможных перемещений
12. Общее уравнение механодинамики
13. Метод обобщенных координат
13.1 Понятия об обобщённых координатах
13.2 Обобщенные силы
13.3 Обобщённые силы в потенциальном поле
13.4 Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнение Лагранжа II рода)
13.5 Случай потенциальных сил
13.6 Последовательность решения задач с помощью уравнений Лагранжа II рода
14. Элементы теории гироскопических явлений
14.1 Общие сведения о гироскопах
14.2 Действие силы на ось гироскопа
14.3 Регулярная прецессия тяжелого гироскопа
14.4 Гироскопический момент
Литература
1. Механодинамика. Введение
1.1 Общие сведения о механодинамике
Понятие «Динамика» родилось давно и уже получило различные приставки, которые ограничивают смысл, заложенный в этом понятии, и таким образом конкретнее отражают суть описываемых явлений и процессов. Например, давно используются понятия «Электродинамика», «Гидродинамика» и «Аэродинамика». В результате возникает необходимость выделить динамику, описывающую только механику твёрдых тел. С учётом этого вводим понятие «», в которое закладывается смысл динамики механических движений твёрдых тел, которые описывались до этого понятием «Динамика».
Механодинамика - раздел теоретической механики, в котором устанавливается и изучается связь между движением материальных точек и тел, и силами, действующими на них.
Основные модели реальных объектов в механодинамике - материальная точка и абсолютно твердое тело. В качестве материальных точек рассматриваются такие реальные объекты, у которых различиями в движении отдельных точек можно пренебречь. Если же этого сделать нельзя, то движение такого объекта рассматривается, как движение твердого тела.
Абсолютно твердое тело - это совокупность материальных точек, расстояния между которыми не меняются со временем. Из этого следует, что материальная точка - частный случай твёрдого тела.
Совокупность материальных тел, в которой они не могут двигаться независимо друг от друга, благодаря связям между ними, называется механической системой.
Законы механодинамики базируются на фундаментальных аксиомах Естествознания: пространство и время абсолютны, пространство, материя и время не разделимы. Достоверность аксиом следует из очевидности их утверждений. Достоверность законов механодинамики, которые базируется на аксиомах, не очевидна и доказывается экспериментальным путём, поэтому законы механодинамики нельзя считать аксиомами, они - постулаты.
1.2 Классификация движений и последовательность решения задач механодинамики
Начало решения любой задачи механодинамики начинается с установления вида и фазы движения материальной точки, твёрдого тела или механической системы. Существуют следующие виды движений материальных точек, твёрдых тел и механических систем: прямолинейное, криволинейное, вращательное, плоскопараллельное и сложное движения. Все виды этих движений имеют фазы. Первая фаза - ускоренное движение, вторая - равномерное движение и третья - замедленное движение. В некоторых случаях движение может состоять из двух фаз: ускоренного и замедленного. Например, тело, брошенное в поле силы тяжести вверх, имеет только две фазы движения: ускоренное и замедленное.
После установления вида движения материальной точки, твёрдого тела или механической системы определяются фазы их движения. При этом надо помнить, что любое движение любого материального объекта начинается с фазы ускоренного движения, поэтому для получения полной достоверной информации о движении любого материального объекта надо начинать с анализа фазы его ускоренного движения. Для этого объект исследования изображается графически, упрощённо и к нему прикладываются векторы всех сил и моментов, действующих на этот объект в фазе его ускоренного движения.
Первыми составляются кинематические уравнения движения объекта в фазе ускоренного движения и при наличии исходных данных определяются скорость и ускорение ускоренно движущегося объекта.
Затем составляются векторные уравнения сил и моментов, приложенных к объекту в фазе его ускоренного движения. Если для решения задачи необходимо иметь проекции сил и моментов на координатные оси, то составляются уравнения сил и моментов, приложенных к объекту в проекциях на оси координат.
После этого начинается определение всех остальных механических показателей, характеризующих ускоренное движение объекта.
На практике часто встречаются задачи с фазой ударного действия силы на объект, поэтому фаза движения материального объекта под действием ударной силы также анализируется отдельно.
2. Законы механодинамики
2.1 Основной закон механодинамики
Многовековой опыт использования второго закона Ньютона показал его безупречную достоверность, поэтому у нас есть основания поставить его на первое место и назвать основным законом механодинамики.
Согласно основному закону механодинамики сила , действующая на материальное тело, движущееся с ускорением , всегда равна массе тела, умноженной на ускорение и совпадает с направлением ускорения.
(1)
Чтобы отличать силу , формирующую ускорение, от других сил, назовём её ньютоновской силой. Она всегда совпадает с направлением ускорения , которое она формирует. Все остальные силы являются силами сопротивления движению и формируют не ускорения, а замедления, которые мы обозначаем символом .
2.2 Главный принцип механодинамики
В 1743 г. Даламбер дополнил основной закон Ньютона своим постулатом: в каждый данный момент времени на движущееся тело действует сила инерции, равная произведению массы тела на ускорение его движения . Эта сила направлена противоположно ньютоновской силе (1). С тех пор этот постулат начали называть принципом Даламбера. При этом игнорировался тот факт, что тело ускоренно движет только ньютоновская сила , а все остальные силы, в том числе и сила инерции, тормозят ускоренное движение. Из этого автоматически следует, что модуль силы инерции не равен произведению массы тела на ускорение его движения. Обусловлено это тем, что сила инерции является силой сопротивления ускоренному движению и поэтому наряду с другими силами сопротивления генерирует замедление, а не ускорение. Поскольку ньютоновская сила - единственная движущая сила, то ускорение, генерируемое ею, должно быть равно сумме замедлений, генерируемых всеми силами, тормозящими ускоренное движение, в том числе и - силой инерции.
Изложенное выше следует из эксперимента Галилея, который он провёл в начале 17 века. Суть его показана на рис. 1.
Рис. 1. Современное представление эксперимента Галилея
Если одному металлическому шару предоставить возможность свободно падать на Землю, а второму - опускаться на парашюте, то шар без парашюта, имея меньшее сопротивление воздуха, будет падать на Землю быстрее шара с парашютом. Сила тяжести , приложенная к шару, выполняет роль ньютоновской активной силы (рис. 1, а). Поскольку шар опускается ускоренно, то, согласно принципу Даламбера, на него действует сила инерции, направленная противоположно ньютоновской силе и равная . Кроме этих сил на шар действует ещё сила сопротивления воздуха . Вполне естественно, что у шара с парашютом сила сопротивления воздуха больше и он снижается на Землю медленнее шара без парашюта.
Итак, сила тяжести единственная сила, движущая шар. Движению шара к Земле сопротивляются две силы: сила инерции и сила сопротивления воздуха . Согласно принципу Даламбера в каждый данный момент сумма сил, действующих на ускоренно движущееся тело, равна нулю (рис. 1, а), то есть
. (2)
Странный результат (2). При равенстве ускорений ньютоновской силы и силы инерции сила сопротивления воздуха, действующего на шар, равна нулю . Противоречие очевидное и непонятно почему с ним так долго (более 300 лет) мирились механики и физики-теоретики. Чтобы устранить это противоречие, введём понятие замедление движения, обозначим его символом и будем считать, что модули всех сил сопротивления движению равны произведениям массы материальной точки или тела умноженной на замедления, которые они генерируют. Тогда уравнение (2) запишется так
, (3)
где - замедление, генерируемое силой инерции; - замедление, генерируемое силой сопротивления воздуха.
В общем случае ускорение, генерируемое ньютоновской силой, обозначается символом . Тогда, если на ускоренно движущуюся точку или тело действует несколько сил сопротивления движению, то каждая из них будет генерировать замедление и уравнение (3) принимает вид
. (4)
Таким образом, Даламбер ошибся, утверждая, что сила инерции равна произведению массы материальной точки или тела на ускорение его движения и направлена противоположно действию Ньютоновской силы. Теперь мы видим, что сила инерции при ускоренном движении материальной точки или тела, препятствует их движению и совместно с другими силами сопротивления движению генерирует замедление, которое является частью общей суммы замедлений, генерируемых всеми силами сопротивления движению (4).
А теперь посмотрим на рис. 1, b, где показана суть эксперимента Галилея. Представим, что шар без парашюта и - с парашютом помещены в большой цилиндр, из которого выкачан воздух. Оба они опускаются вниз под действием силы тяжести . (Массу парашюта не учитываем). Аналогичный эксперимент, выполненный Галилеем более 300 лет назад, показал, что тела разной массы и плотности опускаются вниз в трубке с выкаченным воздухом, с одной и той же скоростью. Удивительный эксперимент. Отсутствие сопротивления воздуха оставляет одну силу сопротивления ускоренному движению шара без парашюта и с парашютом - силу инерции . Падение происходит потому, что величина силы тяжести в каждый данный момент превышает величину силы инерции и процесс падения шара без парашюта и с парашютом описывается неравенством