4. Выражают координаты точек () приложения активных сил через какой-нибудь параметр, например, угол поворота системы.
5. Величины находят дифференцированием координат по выбранному параметру.
6. Если все координаты не удается выразить через один параметр сразу, то вводят несколько параметров и устанавливают зависимость между ними.
7. Полученные результаты подставляют в условие равновесия
(266)
Этими условиями можно пользоваться при наличии трения, включая силу трения в число активных сил. Этим же путем можно находить и реакции связей, если, отбросив связь, заменить ее соответствующей реакцией и включить ее в число активных сил.
Пример (рис. 61). Найти зависимость между и в подъемном механизме, детали которого скрыты в коробке K, если известно, что при каждом повороте рукоятки на угол винт C выдвигается на величину . Учитывая, что (рис. 61), составим уравнение принципа возможных перемещений (условие равновесия) в виде
Рис. 61. Схема к примеру
Считая движения рукоятки AB и винта C равномерными, имеем
Подставляя в условие равновесия, находим
Заметим, что методами геометрической статики эту несложную задачу вообще нельзя было бы решить, так как детали механизма неизвестны. Вместо суммы элементарных работ приложенных сил на возможных перемещениях системы можно брать сумму элементарных мощностей на возможных перемещениях точки системы.
Рис. 62. Схема механизма
Пример (рис. 62).
Дано: Найти .
Сумма мощностей
где .
С учетом этого имеем
12. Общее уравнение механодинамики
Это уравнение базируется на двух принципах: принципе возможных перемещений Лагранжа и главном принципе механодинамики. Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. Главный принцип механодинамики позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Применяя эти два принципа одновременно, мы можем получить общий метод решения задач механодинамики.
Если мы рассматриваем систему с идеальными связями, то, прибавляя ко всем точкам системы кроме действующих на нее активных сил и реакций связей соответствующие силы инерции согласно главному принципу механодинамики, получим систему сил, которая будет находиться в равновесии.
Далее, применяя ко всем силам принцип возможных перемещений, получим
(267)
Так как связи идеальные, то , поэтому
(268)
Это общее уравнение динамики. Из него вытекает принцип Лагранжа. При движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. В аналитической форме уравнение имеет вид
(269)
Этот принцип позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Если система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то для составления уравнений нужно к действующим на каждое тело активным силам добавить приложенную в любом центре силу, равную главному вектору сил инерции и пару с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра, а затем применить принцип возможных перемещений.
13. Метод обобщённых координат
13.1 Понятие об обобщённых координатах
Обобщенными (лагранжевыми) координатами данной механической системы называются такие независимые друг от друга параметры, при помощи которых можно в любой момент времени выразить декартовы координаты всех ее точек и таким образом определить положение этой системы.
Количество таких независимых параметров системы равно числу ее степеней свободы, а значит, и числу независимых между собой возможных перемещений системы. Геометрические связи уменьшают количество указанных параметров. Например, свободная точка имеет три степени свободы и три независимых друг от друга возможных перемещения (рис. 63) вдоль координатных осей.
Если точку A связать с другой неподвижной точкой O связью , то количество степеней свободы у точки A уменьшится на единицу и ее положение можно будет описать уже двумя параметрами: и . При этом уравнение связи будет иметь вид (уравнение сферы). Обобщенные параметры обозначаются буквой: , где - число степеней свободы системы. Следовательно, для точки A обобщенные параметры и
Рис. 63. Схема к анализу возможных перемещений точки A
Если на точку A (рис. 63) наложить еще одну связь, то у нее останется одна степень свободы и один обобщенный параметр, а именно и появятся два уравнения связи (рис. 63)
И
Из изложенного следует, что свободная материальная точка имеет три степени свободы, а таких точек - степеней свободы. После объединения этих свободных точек с помощью связей в систему общее количество степеней свободы точек уменьшится на количество связей между ними. Поэтому любая механическая система, состоящая из точек, имеет степеней свободы.
Рис. 64. Схема кривошипно-шатунного механизма
У кривошипно-шатунного механизма (рис. 64) точка A имеет две связи, точка B - три. Из этого следует, что тогда
Пример (рис. 65). Плоский математический маятник имеет очевидно одну () степень свободы, поэтому его положение определяется одной обобщенной координатой . Её роль здесь могут выполнить: угол дуга и площадь .
Координата не определяет положение точки M однозначно, так как точка M может отклониться вправо и влево от оси OX и иметь при этом одну и ту же координату . Поэтому не может выполнить роль обобщенной координаты.
Рис. 65. Схема плоского математического маятника
Кинематические уравнения движения системы в обобщенных координатах записываются так:
Наряду с понятием обобщенные координаты системы существует понятие обобщенная скорость.
1. Если - линейная величина, то - линейная скорость;
2. Если - угол, то - угловая скорость;
3. Если - площадь, - секториальная скорость.
13.2 Обобщенные силы
Сообщая системе независимое возможное перемещение, при котором у нее изменится только одна обобщенная координата , найдем элементарную работу
где - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате .
Здесь включает в себя все силы, действующие на систему на перемещении . Как ее определить?
Если на точку системы действует сила , то элементарная работа этой силы на элементарных изменениях декартовых координат определится так
(270)
Связь между приращениями декартовых и обобщенных координат устанавливается на основании того, что приращения (изменения, вариации) декартовых координат равны полным дифференциалам функций: по независимым переменным.
Заменяя вариации и в уравнении (270), имеем:
(271)
Просуммируем результаты в скобках и обозначим:
(272)
Тогда выражение элементарной работы сил системы в обобщенных координатах
(273)
где - обобщенные силы, являющиеся коэффициентами при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.
Пример (рис. 66). На точку действует сила .
Декартовы координаты точки ;
Найти обобщенные силы и , соответствующие обобщенным координатам и . На основании уравнений (272) имеем:
Рис. 66. Схема к определению обобщенных сил
После подстановки в эти уравнения частных производных от координат точки по обобщенным координатам и , получим
Сумма (273) элементарных работ обобщенных сил и запишется так
Если у системы изменяется какая-нибудь одна обобщенная координата, например, , то и откуда Таким образом, чтобы найти интересующую нас обобщенную силу , нужно дать системе перемещение, соответствующее одной обобщенной координате , а все остальные обобщенные координаты оставить неизменными. Тогда обобщенная сила будет равна ее элементарной работе по перемещению всех точек системы , деленной на приращение соответствующей обобщенной координаты .
(274)
Как видно, размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты.
13.3 Обобщенные силы в потенциальном силовом поле
Если на систему действуют только потенциальные силы, то силовая функция в декартовых координатах , а в обобщенных координатах
(275)
Тогда полный дифференциал функции (275) равен сумме элементарных работ потенциальных сил.
(276)
Как видно, в данном случае:
(277)
Так как потенциальная энергия , то
(278)
Если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой функции или взятым со знаком минус частным производным от потенциальной энергии по соответствующим обобщенным координатам.
Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) в декартовых координатах
2) в обобщенных координатах
Так как - независимые между собой величины, то указанное условие будет выполнено при или при
Таким образом, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам, были равны нулю.
В случае потенциальных сил условие равновесия запишется так:
(279)
(280)
то есть при равновесии системы полный дифференциал функции или равен нулю:
Таким образом, система, на которую действуют потенциальные силы, находится в равновесии в тех положениях, для которых силовая функция или потенциальная энергия системы имеют экстремумы ( или ) или, если ее потенциальная энергия постоянна.
13.4 Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа II рода)
Чтобы найти дифференциальные уравнения движения механической системы с геометрическими связями в обобщенных координатах, обратимся к общему уравнению динамики
(281)
Будем считать все связи, наложенные на систему, идеальными. Тогда в первую сумму войдут работы активных сил, а во вторую - сил инерции. Если система имеет степеней свободы, то:
где - обобщенные активные силы;
здесь - обобщенные силы инерции.
Подставляя полученные данные в уравнение (281), имеем
(282)
Так как все между собой не зависимы, то полученное равенство будет выполняться тогда, когда каждый из коэффициентов при в отдельности будет равен нулю.
(283)
Выразим силы инерции через кинетическую энергию системы, то есть через массы точек системы и их скорости
(284)
Учтем, что частная производная от по есть предел отношения частного приращения к приращению .
Откуда в соответствии с правилом Лопиталя
(285)
где - скорость -той точки системы, определяемая радиусом-вектором ; - обобщенная скорость, соответствующая координате
Операции полного дифференцирования по и частного дифференцирования по переместительны, что дает
(286)
Теперь равенство (284) можно представить так
(287)
или
(288)
Обозначим - кинетическая энергия системы. Тогда
(289)
Подставляя этот результат в уравнение (284) и учитывая все обобщенные координаты, имеем:
(290)
Это и есть дифференциальные уравнения движения системы с геометрическими связями или уравнения Лагранжа II-го рода. Это - дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы.
Если реакции связей оказываются известными, то они включаются в уравнения Лагранжа совместно с активными силами.
Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Преимущество этих уравнений в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся.
При идеальных связях в правые части уравнений входят обобщенные активные силы и, следовательно, эти уравнения позволяют исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.
Основная задача механики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы и начальные условия, найти закон движения системы в виде:
(291)
13.5 Случай потенциальных сил
Если все действующие на систему силы потенциальны то, учитывая, что
(292)
а также то, что потенциальная энергия зависит от обобщенных координат и не зависит от обобщенных скоростей, из уравнений (290) имеем
(293)
Подчеркнем, чтоэто равенство справедливо потому, что потенциальная энергия зависит только от координат и не зависит от обобщенных скоростей .
Введем функцию . Это функция Лагранжа или кинетический потенциал. В случае потенциальных сил уравнения Лагранжа (285) примут вид:
(294)
Из этого следует, что если на систему действуют только потенциальные силы, то ее состояние определяется заданием только функции Лагранжа. Зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы. Уравнения Лагранжа удобны тем, что их можно использовать для изучения относительного и абсолютного движения любой механической системы с геометрическими связями независимо от количества точек или тел, входящих в систему.