Изменение кинетической энергии системы с идеальными, не изменяющимися со временем связями, при любом ее перемещении равно сумме работ внешних и внутренних активных сил на этом перемещении.
Практическая ценность теоремы об изменении кинетической энергии системы состоит в том, что при неизменяющихся со временем связях она позволяет исключить из уравнений движения все наперед неизвестные реакции связей.
9.19 Приложение общих теорем динамики к динамике твердого тела
Дифференциальное уравнение ускоренного вращательного движения твердого тела (рис. 54).
Рис. 54. Схема сил, действующих на вращающееся тело
- система заданных сил; - реакции подшипников. Моменты сил и относительно оси OZ равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ос OZ. Поскольку , то
(239)
где - вращающий момент.
Это дифференциальное уравнение движения твердого тела, из которого следует, что . Произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающему моменту. При - чем больше , тем меньше . Если , то - тело вращается равномерно. Если , то и - тело вращается равнопеременно.
Дифференциальные уравнения плоскопараллельного ускоренного движения твердого тела. Положение твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется в любой момент времени положением любой его точки, взятой в качестве полюса, и углом вращения относительно полюса. Задачи динамики упрощаются, если за полюс взять центр масс C тела и определить положение тела координатами (рис. 55).
Используя теорему о движении центра масс, имеем:
(240)
Рис. 55. Схема плоскопараллельного движения твердого тела
В проекциях на оси координат получим:
(241)
Это дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. С помощью этих уравнений можно по заданным силам определить закон движения тела, или, зная закон движения тела, найти главный вектор и главный момент действующих на тело внешних сил.
При несвободном движении тела, когда траектория центра масс известна, уравнение движения точки C удобнее составлять в проекциях на касательную и главную нормаль к этой траектории. Тогда дифференциальные уравнения движения твердого тела в естественных осях становятся такими:
(242)
где - радиус кривизны траектории центра масс.
Пример (рис. 56). Определить работу сил трения, прижимающих тормозные колодки к барабану при его торможении. Дано:
Решение:
Рис. 56. Схема к примеру определения работы сил трения
В ХХ веке считалось, что законы классической механики успешно работают в макромире, а в микромире работают другие - квантовые законы. Однако, наши исследования показывают, что законы классической механики также успешно работают и микромире. Любой объект, имеющий массу, подчиняется законам Ньютона. Поэтому есть основания владеть минимумом знаний о работе законов классической механики в микромире. Для реализации этого пожелания рассмотрим современную теорию электрона.
10. Работа законов механодинамики в микромире
10.1 Теория электрона
Сейчас мы увидим, как некоторые законы механодинамики работают в микромире. Уже известно, что длины волн элементарных частиц равны радиусам их вращений и прояснился физический смысл размерности постоянной Планка [5].
. (243)
Обратим внимание на размерность постоянной Планка (239). В классической механике эта размерность имеет названия: момент количества движения и кинетический момент. В классической физике эту размерность называют момент импульса или угловой момент [5].
Мы уже знаем, что постоянством кинетического момента управляет закон сохранения кинетического момента. Он гласит: если сумма моментов внешних сил, действующих на вращающееся тело, равна нулю, то кинетический момент этого тела остаётся постоянным по величине и направлению. Из этого следует, что постоянная Планка - величина векторная, но физики ХХ века использовали её только как скалярную величину [5].
Наиболее ярко проявление сути кинетического момента наблюдается при вращении волчка. Кинетический момент удерживает волчок от падения при его вращении. Но самое главное не в этом, а в том, что кинетический момент - величина векторная, так же как скорость, ускорение движения тела или сила, действующая на него.
Вектор направлен вдоль оси вращения кольца (рис. 57, а, b) так, что если смотреть с его острия, то вращение будет направлено против хода часовой стрелки.
Рис. 57. Схема к определению понятий: а) количество движения материальной точки; b) кинетический момент кольца
Если постоянная Планка имеет размерность кинетического момента и если с ее помощью теоретически описывать поведение элементарных частиц, то эти частицы (в том числе и электрон), как и волчок, обязательно должны вращаться вокруг своих осей [5].
Поскольку электрон - локализованное в пространстве электромагнитное образование, обладающее отрицательным зарядом, то он должен иметь константу локализации. Обратим внимание на то, что в развёрнутой записи постоянной Планка (239) присутствует константа - скорость света С. Это значит, что оставшаяся совокупность символов - тоже константа. Поскольку электрон имеет постоянную массу , то тоже константа. Назовём её константой локализации электрона и обозначим её через и запишем в следующем развёрнутом виде
(244)
Поскольку - постоянная Планка, а - скорость света, то численная величина константы локализации электрона будет равна
(245)
Разделим константу локализации электрона (245) на экспериментальную величину его массы . В результате будем иметь [5]
. (246)
Обратим внимание на то, что полученная величина совпадает с экспериментальной комптоновской длиной волны электрона. Такое совпадение не может быть случайным. Поскольку комптоновская длина волны электрона определена в экспериментах взаимодействия рентгеновских фотонов с электронами, то у нас есть веские основания считать, что комптоновская длина волны электрона равна радиусу его вращения. Эти основания усиливаются физическим смыслом, следующим из размерности константы (246) локализации электрона. Она означает, что произведение радиуса электрона, как параметра его локализации, на массу электрона - величина постоянная. В то время как произведение массы электрона на длину его волны не содержит какого-либо смысла локализации.
Поскольку радиус электрона - величина постоянная, то материальная плотность кольца электрона будет также постоянна.
, (247)
Второй физический смысл константы локализации - постоянный момент сил, действующих во внутренней структуре электрона. Угловую скорость вращения кольца определим, используя постоянную Планка
(248)
Мощность кольца электрона будет равна
(249)
Скорость точек кольца равна скорости света
(250)
Исследования показали, что вторым приближением к реальной модели электрона является тор.
Тороидальная модель электрона
Итак, электрон в первом приближении имеет форму кольца. В качестве второго приближения к электромагнитной модели электрона рассмотрим тор. Для начала будем считать, что тор полый. Радиус окружности сечения тора (рис. 58) обозначим через [5].
Рис. 58. Схема тороидальной модели электрона
Тогда площадь его поверхности определится по формуле
(251)
Обозначим поверхностную плотность электромагнитной субстанции электрона . Тогда
(252)
Определим момент инерции полого тора. Из рис. 58 имеем
(253)
(254)
(255)
Тороидальная модель электрона с совокупностью магнитных силовых линий, формирующих его магнитный момент, показана на рис. 59.
Рис. 59. Схема модели электрона (показана лишь часть магнитных силовых линий)
Поскольку электрон проявляет одновременно электрические и магнитные свойства и имеет кинетический момент, то у нас есть основания предполагать, что он имеет два вращения. Обычное вращение относительно оси симметрии с угловой частотой назовем кинетическим вращением, формирующим его кинетический момент и кинетическую энергию . И второе - вихревое вращение относительно кольцевой оси с угловой частотой (рис. 58). Назовем его потенциальным вращением, формирующим его потенциальную энергию и потенциальные свойства. Вполне естественно предположить, что сумма кинетической и потенциальной энергий свободного электрона равна его фотонной энергии . Посмотрим на возможность реализации нашего постулата. Кинетическая энергия вращения полого тора определится по формуле (рис. 58, 59) [5]
(256)
Учитывая частоту (248), имеем
(257)
Угловая скорость вращения поверхностной субстанции тора относительно его кольцевой оси связана с его угловой скоростью вращения относительно оси симметрии зависимостью
(258)
Поверхностная субстанция тора вращается относительно его кольцевой оси со скоростью света С, поэтому радиус сечения тора равен
(259)
Полагая, что вихревое вращение электрона генерирует его потенциальную энергию, имеем
(260)
Складывая кинетическую энергию электрона (257) с потенциальной (260), получим полную фотонную энергию электрона
(261)
На этом мы остановимся и сообщим, что законы механодинамики синхронно с законами новой электродинамики описывают тороидальную структуру электрона. Подробности этой необычной информации можно прочитать в монографии «Начала физхимии микромира» [5].
11. Принципы механодинимики
11.1 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)
Возможным перемещением системы называется любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент всеми наложенными на систему связями. Возможное перемещение любой точки системы изображают элементарным вектором , направленным в сторону перемещения. Сразу обращаем внимание на то, что при возможных элементарных перемещениях механической системы силы инерции близки к нулю и их можно не учитывать.
Пример. Рассмотрим возможные перемещения точек кривошипно-шатунного механизма (рис. 60).
Рис. 60. Схема к анализу принципа возможных перемещений
Возможные перемещения точек системы должны быть такими, чтобы при этом все наложенные на систему связи сохранялись, так как иначе изменится вид рассматриваемой механической системы. Например, нельзя допустить или считать возможным перемещение точки A вдоль радиуса OA на рис. 60 или перемещение точки B перпендикулярно стенкам цилиндра.
Из перечисленных требований вытекает, что число независимых между собой возможных перемещений системы равно числу eё степеней свободы.
Перемещения точек A и B на рис. 60 взаимозависимые, поэтому кривошипно-шатунный механизм имеет одну степень свободы.
Другие примеры:
- материальная точка на плоскости имеет одну степень свободы, так как ее элементарные перемещения и вдоль перпендикулярных осей всегда можно представить одним перемещением ;
- свободная точка имеет три степени свободы - перемещения вдоль координатных осей;
- свободное тело имеет шесть степеней свободы: три - перемещения вдоль координатных осей и три - вращения относительно этих осей.
Сущность применения принципа возможных перемещений для решения задач заключается в том, что он позволяет выразить условие равновесия системы в виде равенства нулю не сил, приложенных к системе, а их элементарных работ на всех возможных перемещениях системы.
Если к системе приложены активные силы и реакции связей , то принцип возможных перемещений запишется в общем виде так
(262)
где - сумма элементарных работ активных сил; - сумма элементарных работ реакций связей.
В большей части задач механики рассматриваются системы с идеальными (неизменяемыми) связями и связями без трения, поэтому для систем с идеальными связями и с учетом (262) имеем
(263)
- основное уравнение принципа возможных перемещений.
В проекциях на оси координат уравнение принципа (263) запишется так
(264)
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю.
Таким образом, принцип возможных перемещений в наиболее общем виде устанавливает условия равновесия любой механической системы. При применении принципа возможных перемещений действие связей учитывается не путем введения неизвестных реакций, а путем учета перемещений, которые можно сообщить точкам системы при выводе ее из занимаемого положения. Эти перемещения называются возможными.
Значение принципа возможных перемещений состоит в том, что он дает в общей форме условие равновесия для любой механической системы, в отличие от методов геометрической статики, которые требуют рассмотрения равновесия каждого из тел системы в отдельности. Этот принцип позволяет исключить неизвестные реакции связей, когда они являются идеальными.
11.2 Порядок решения задач с использованием принципа возможных перемещений
1. Выбирают оси координат, связанные с телом, которые при возможных перемещениях системы остаются неподвижными.
2. Составляют условие равновесия в виде
(265)
3. Вычисляют проекции всех активных сил на выбранные оси.