Материал: Лаб_общ_часть

~ ~

Выборочные функции распределения F(x) и F( )являются оценками функций распределения измеряемой величины x, возмущенной случайны-

ми погрешностями, и погрешности средства измерений соответственно.

Выборочные функции распределе-

ния строят с целью идентификации генеральной функции распределения

F(x) или F( ). В дальнейшем, если иное не будет оговорено особо, мы будем пользоваться только одним обозначением аргумента функции распределения, поскольку все рас-

суждения и математические выклад-

ки одинаковы для любых аргумен-

тов.

Математическое описание вы-

борочной функции распределения соответствует описанию функции распределения, приведенному в п. 2.3:

где n(x(i) x) - количество членов вариационного ряда, значения которых не превосходят x.

Пример графика выборочной функции распределения приведен на рис. 3.1. Из этого графика видно, что выборочная функция распределения

51

3.1.3. Гистограмма

Статистической оценкой генеральной плотности распределения (x)

дальнейшем, как и для выборочной функции распределения, мы будем ис-

пользовать только одно обозначение аргумента, если иное не будет огово-

рено особо. Пример гистограммы приведен на рис. 3.2. Гистограмма со-

стоит из прямоугольников, по-

строенных на полуоткрытых от-

резках xk ,xk 1 равной длины

x xk 1 xk , как на основаниях.

Высота каждого k - ого прямо-

угольника должна быть такой,

чтобы его площадь была равна nk / n, где nk - количество вы-

борочных значений, попавших в k-ый отрезок xk ,xk 1 оси x.

Общее количество этих отрезков

- K. Для построения гистограм-

мы необходимо разделить ин-

тервал между наименьшим и наибольшим выборочными значениями на отрезки равной длины таким образом, чтобы минимальное количество вы-

борочных значений, находящихся внутри какого-либо из отрезков, было

равно от 3 до 5. Если количество выборочных значений внутри k - го от-

резка обозначить через nk , то высота прямоугольника, который нужно по-

строить на этом отрезке, как на основании, равна

В этом случае площадь фигуры, заключенной между гистограммой и осью абсцисс, будет равна 1, как это и следует из свойств плотности рас-

пределения вероятностей (см. формулу (2.3) п. 2.3), оценкой которой явля-

ется гистограмма.

52

3.2. Точечное статистическое оценивание значения измеряемой величины и характеристик погрешности

3.2.1. Оценки значения измеряемой величины и характеристик погрешности результатов измерений

Как показано в п. 2.1 и на рис. 2.2, при наличии случайной составля-

ющей погрешности измерений значение неизменной во времени измеряе-

мой величины в сумме с систематической составляющей погрешности представляет собой математическое ожидание случайной величины, в ка-

честве которой выступает сумма измеряемой величины и погрешности из-

мерений. Наиболее распространенной точечной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение выборочных данных:

В ряде случаев полезными оценками математического ожидания мо-

гут служить выборочная медиана ~med или средина размаха выборки x

xср (см. п. 3.1.1).

Оценка математического ожидания может быть вычислена и по гисто-

грамме:

где x*k - середины интервалов, на которых построена гистограмма (см.

рис. 3.2).

Эта оценка экономичнее в отношении трудоемкости вычислений, но качество ее хуже, ибо за счет группирования данных при посроении гисто-

граммы часть информации теряется.

При отсутствии систематической составляющей погрешности измере-

ний среднее арифметическое значение есть оценка значения измеряемой величины.

Перейдем теперь к оцениванию характеристик погрешности результа-

тов измерений, перечисленных в п.п. 2.1, 2.3.

Если все повторные измерения выполняются независимо друг от дру-

га, то оценка s среднеквадратического значения случайной составляю-

53

щей погрешности результата каждого одиночного измерения вычисляется по формуле

Эта оценка может быть вычислена и по гистограмме:

Точечные оценки границ интервала JP, в котором содержится не ме-

нее P - ой доли всех возможных значений случайной составляющей по-

грешности, определяются по выборочной функции распределения. На рис. 3.1 показан пример определения границ интервала JP, для P=0.7, который содержит 70% значений случайных погрешностей измерений. Из рисунка видно, что точечными оценками границ подобных интервалов для любых значений P всегда будут выборочные значения, они же - члены вариацион-

ного ряда

Из этого же рисунка видно также, что для уверенного определения

границ интервала JP , соответствующего вероятности P, достаточно близ-

кой к 1, необходимо, чтобы величина скачков выборочной функции рас-

пределения была не больше значения (1-P)/2: 1/n (1-P)/2, откуда следует,

что количество измерений, которые для этого требуется выполнить, долж-

но удовлетворять условию:

n 2/(1-P). (3.11)

Например, если P=0.95, то n 40. Такое значительное количество из-

мерений есть “плата” за то, что здесь не используется такая богатая ин-

формация, как информация о плотности распределения вероятностей слу-

чайной составляющей погрешности. Если же вид этой плотности распре-

54

деления известен, то точечные оценки искомых границ можно получить при меньшем объеме выборки, достаточном для точечной оценки средне-

квадратического значения погрешности. В этих условиях для плотностей распределений, приведенных в п.п. 2.3.1 − 2.3.4, и вероятности P=0.95

можно записать:

определение которых дается формулами (2.6) и (2.9), s - точечная оценка среднеквадратического значения случайной погрешности.

Эти оценки называются параметрическими оценками, поскольку они вычисляются через оценки параметров плотностей распределений, и для их применения необходима информация о виде плотности распределения.

Оценки вида (3.9), (3.10) называются непараметрическими оценками и не

зависят от вида плотности распределения.

Выше формулами (3.5) - (3.8) были определены точечные оценки зна-

чения измеряемой величины и характеристик случайной составляющей по-

грешности однократных измерений. Поскольку для получения оценки зна-

чения измеряемой величины в формулах (3.5), (3.6) мы усреднили резуль-

таты n измерений, то тем самым мы уменьшили случайную составляющую погрешности результата усреднения n измерений в n раз. Поэтому, ес-

ли в качестве результата измерения величины x принять x, то оценкой среднеквадратического значения случайной погрешности этого результата будет s/n . Точечные параметрические оценки границ интервала JP , в

котором содержится не менее P - ой доли всех возможных значений слу-

55