Материал: Лаб_общ_часть

гарантий достоверности, тогда следует вычислить верхнюю границу доверительного интервала с использованием распределения “хи-квадрат” (см. п. 3.3.3).

В нашем случае при доверительной вероятности 0.95 и n = 36 верхняя граница доверительного интервала для среднеквадратического значения

равна

n 1

s 12 Q n 1 0.4593 В 0.5 В.

Пример 3. Экспериментальное определение характеристик АЦП (работа № 1). Выполняются многократные измерения одного и того же точно известного значения напряжения. Все действия аналогичны описанным выше в примере 2 со следующими непринципиальными изменениями:

-схема собирается таким образом, чтобы систематической погрешности метU не было или чтобы она была пренебрежимо мала,

-среднее значение результатов измерений в данном случае есть оценка систематической составляющей инструментальной погрешности АЦП, а доверительный интервал, границы которого вычисляются с использованием коэффициентов Стъюдента, есть интервал, содержащий с заданной доверительной вероятностью истинные значения систематической составляющей инструментальной погрешности АЦП,

-толерантные пределы суть границы интервала, который содержит

100 P - процентную долю значений инструментальной погрешности АЦП с вероятностью Q,

- в качестве оценки среднеквадратического значения случайной составляющей инструментальной погрешности АЦП используется верхняя граница доверительного интервала для среднеквадратического значения .

2.7. Оценка характеристик погрешности и представление результатов

косвенных измерений

Ниже приведены примеры простейших случаев, когда результат косвенного измерения вычисляется с использованием четырех арифметических действий.

Пусть x, y - результаты прямых измерений. x, y, x , y -

46

границы интервалов значений их абсолютных и относительных погрешно-

стей соответственно.

Как правило, в этой ситуации неизвестно:

- соотношение между случайными и систематическими составляющи-

ми погрешности,

- конкретные значения, принимаемые погрешностями, и их знаки. Исходим из того, что результаты измерений необходимо снабжать га-

рантированными характеристиками их погрешностей. К этому, в частности, направлены правила округления результатов, приведенные в п. 2.6.

Результат косвенного измерения обозначим через z. Характеристики

его абсолютной и относительной погрешности представляются в виде гра-

ниц интервалов, которые содержат их значения : z, z.

1. Сложение

Пусть z = x + y , z = x + y.

2. Вычитание

Пусть z = x - y , z = x + y , поскольку знак погрешности неизве-

стен, а мы обязаны определить гарантированное значение характеристики

погрешности.

В этих двух действиях участвуют характеристики абсолютной по-

грешности, и оценка характеристики относительной погрешности резуль-

тата непосредственно через характеристики относительных погрешностей

исходных данных невозможна.

При задании относительных погрешностей исходных данных расчет

может быть выполнен в последовательности:

-по значениям относительных погрешностей x и y вычислить характеристики абсолютных погрешностей x и y,

-по полученному значению z и значению z вычислить z .

При выполнении умножения и деления результатов прямых измерений, напротив, более пригодны характеристики относительной погрешности.

3. Умножение

47

Третье слагаемое имеет второй порядок малости, и, учитывая правила округления и тот факт, что здесь речь идет об оценке характеристики погрешности, этим слагаемым можно пренебречь. Отсюда получаем :

z x y .

Поскольку знак погрешности неизвестен и мы стремимся получить га-

рантированное значение характеристики относительной погрешности, сме-

ним знак “минус” на “плюс”. Далее, в силу того, что y y , и не забы-

вая о том, что мы отыскиваем характеристику погрешности, но не значение

измеряемой величины, получим окончательно:

z x y .

Вчастных случаях: z = x + a, z = b x, где a и b - неслучайные числа,

не содержащие погрешности, из приведенных правил следует соответ-

ственно:

При более сложных функциях вычисления результата косвенных измерений следует прибегать к линеаризации этих функций с помощью первых производных, и пользоваться приведенными формулами.

Правила представления результатов и их погрешностей, правила

округления − по п. 2.6.

48

обработки

3.1.1. Вариационный ряд

выборкой, элементы этого массива называются выборочными значениями

измеряемой величины, а их количество - объемом выборки.

Вариационный ряд образуется путем перестановки исходного массива результатов многократных измерений в порядке их возрастания. Такая пе-

рестановка получается естественным путем при нанесении результатов на числовую ось. Элементы нового массива получают новые порядковые но-

мера, и эти новые номера заключаются в круглые скобки:

x(1) ,x(2) ,...,x(n) . (3.1)

При экспериментальном определении характеристик погрешности ис-

ходным массивом является массив выборочных значений погрешности

1, 2 ,..., n , из которых составляется вариационный ряд

Первый и последний члены вариационного ряда называются

крайними членами вариационного ряда. Полусумма крайних членов вариа-

ционного ряда называется срединой размаха выборки:

xср x(1) x(n) / 2, или ср (1) (n) / 2.

Средний по положению член вариационного ряда называется выбо-

рочной медианой. При нечетном n выборочной медианой для (3.1) и (3.2)

является

Вариационный ряд является основой для построения выборочной функции распределения.

3.1.2. Выборочная функция распределения

50