Материал: Лаб_общ_часть

чайной составляющей погрешности, распределенной по нормальному за-

кону также изменятся, и для P=0.95 эти оценки вычисляются по формуле:

В силу того, что плотность распределения суммы независимых слу чайных величин с увеличением их количества стремится к плотности нор-

мального распределения, то уже начиная с n=(10 15) оценки (3.16), могут быть применены независимо от вида плотности распределения случайной составляющей погрешности.

3.2.2.Оценки характеристик погрешности средств измерений

Всоответствии с действующими метрологическими нормативными документами характеристики погрешности определяются и контролируют-

ся в отдельных точках диапазона измерений, которые обычно указываются в разделе “Методы и средства поверки” технических условий и (или) стан-

дартов на испытуемые средства измерений.

При метрологических испытаниях средств измерений (при поверке или калибровке) эксперимент осуществляется таким образом, что в резуль-

тате формируется массив выборочных значений погрешности в каждой из заданных точек диапазона (шкалы). Каждый элемент этого массива есть разность между показанием (или выходным сигналом) испытуемого сред-

ства измерения и показанием (выходным сигналом) образцового средства измерения (меры, калибратора), точность которого, по крайней мере, в три

- пять раз выше. Таким образом, исходным материалом для обработки служат выборочные значения 1, 2 ,..., n , из которых затем составляется вариационный ряд (1) , (2) ,..., (n) , как в п. 3.1.1. В этих значениях содержатся обе составляющие: систематическая и случайная. В соответ-

ствии с п.п. 3.1.2, 3.1.3. по этим значениям строится выборочная функция распределения и гистограмма, которые служат для идентификации вида плотности распределения случайной составляющей погрешности и для оценки некоторых ее характеристик. По выборочным значениям погрешно-

стей вычисляются точечные оценки характеристик погрешности средства измерений:

56

Оценки и s могут быть вычислены также и по гистограмме по ана-

логии с (3.6), (3.8).

Среднее арифметическое значение - точечная оценка систематиче-

ской составляющей погрешности c средства измерений, s - оценка сред-

неквадратического значения случайной составляющей погрешности средства измерений. В ряде случаев для точечного оценивания системати-

ческой составляющей погрешности используются выборочная медиана

~

med или средина размаха ср . Точечные оценки границ интервала JP

вычисляются по формулам (3.12 - 3.15) и в общем виде могут быть выра-

жены следующим образом:

где q - множитель, зависящий от значения вероятности P и от вида закона распределения погрешности.

В случаях, когда по обоснованным соображениям даже при суще-

ственной случайной составляющей погрешность средства измерений нор-

мируется без разделения на систематическую и случайную составляющие,

погрешности (см. п. 2.4 и рис. 2.8) принимают наибольшее по модулю зна-

чение:

- при непараметрическом оценивании

рис. 2.8. Метрологические нормативные документы допускают запись по-

добных интервалов в виде ~max. g

3.3. Интервальное статистическое оценивание

57

3.3.1. Понятие о доверительных интервалах

Недостаток точечных оценок заключается в том, что они не дают ни-

какой информации о том, насколько далеки эти оценки от действительных значений искомых характеристик. Гораздо более полную информацию о действительных значениях оцениваемых величин и характеристик содер-

жат интервальные оценки, каковыми являются границы доверительных интервалов.

Доверительный интервал - интервал, который накрывает действи-

тельное значение оцениваемой величины с заданной вероятностью Q.

Вероятность Q называется доверительной вероятностью и назначает-

ся в пределах от 0.8 до 0.95 в зависимости от условий каждой конкретной задачи.

Слишком малое значение доверительной вероятности снижает дове-

рие к результатам измерений. С другой стороны, слишком большое значе-

ние доверительной вероятности приводит к существенному расширению доверительного интервала, и в пределе при Q = 1 доверительным интерва-

лом оказывается вся ось вещественных чисел, ибо в условиях действия случайных факторов об оцениваемой величине наверняка можно предпо-

ложить лишь, что ее значение лежит где-то на числовой оси.

Границы доверительных интервалов случайны, поскольку они не мо-

гут быть определены иначе, чем путем обработки данных, возмущенных действием случайных факторов. В связи с этим доверительный интервал можно интерпретировать, как некий отрезок случайной длины, брошенный случайным образом на числовую ось так, что он накрывает действительное значение оцениваемой величины с доверительной вероятностью Q.

В представленном цикле лабораторных работ нас будет интересовать задача построения доверительных интервалов:

- для значения измеряемой величины (на языке математической ста-

тистики - для математического ожидания результатов многократных изме-

рений), - для значения систематической составляющей погрешности средства

измерений (для математического ожидания погрешности средства измере-

ний),

58

- для среднеквадратического значения случайной составляющей по-

грешности результата измерения или погрешности средства измерения.

- для интервала JP , в котором содержится не менее P - ой доли всех возможных значений случайной составляющей погрешности результатов измерений или средств измерений.

3.3.2.Доверительные интервалы для значения измеряемой величины

идля систематической составляющей погрешности средства измерений

Точечная оценка математического ожидания результатов многократ-

ных измерений неизменяющейся измеряемой величины является оценкой суммы истинного значения измеряемой величины x и систематической по-

грешности cx (см. также п.п. 2.1, 2.3)

Если плотность распределения случайной составляющей погрешности измерений есть плотность нормального распределения или близка к ней, то границы доверительного интервала, накрывающего действительное значе-

ние суммы x+ cx с вероятностью Q, вычисляются по формулам

фициент Стъюдента, таблицы значений которого приводятся практически во всех учебниках и справочниках по математической статистике; ниже в таблице 3.1 приведена выписка из этих таблиц.

Таким образом, по определению доверительного интервала,

В случае отсутствия систематической составляющей погрешности до-

верительный интервал с границами (3.20) есть не что иное, как интервал неопределенности истинного значения измеряемой величины (см. также п.2.1). Как видно из формулы (3.21), с увеличением n ширина доверитель-

ного интервала уменьшается, стремясь в пределе к нулю. Это обстоятель-

59

ство свидетельствует о том, что увеличение количества измерений и усред-

нение результатов небесполезно. Систематическую погрешность усредне-

ние результатов измерений не изменяет.

Границы доверительного интервала для систематической составляю-

щей погрешности средства измерений определяются при его метрологиче-

ских испытаниях по выборочным значениям погрешности в соответствии с приведенными формулами и с заменой x на . В результате будут получе-

ны нижняя СН и верхняя СВ границы доверительного интервала, кото-

рый с вероятностью Q накрывает действительное значение систематиче-

ской составляющей погрешности средства измерений:

где точечные оценки и s вычисляются по формулам (3.17).

Таблица 3.1

В п. 2.6 приводится пример интервальной оценки характеристики пог-

решности среднего арифметического значения, полученного усреднением результатов многократных измерений (пример 2).

3.3.3. Доверительные интервалы для среднеквадратического значения

случайной составляющей погрешности

Все действия и формулы, необходимые для построения доверитель-

ных интервалов, накрывающих действительное среднеквадратическое зна-

чение случайной составляющей погрешности средств измерений и ре-

зультатов измерений, полностью идентичны. Различие состоит только в обозначениях.

60