Методичка: Лабораторный практикум по молекулярной физике

Показатель адиабаты (или коэффициент Пуассона)  можно определить экспериментально.

Одним из методов определения коэффициента γ для воздуха является метод Клемена и Дезорма. Этот метод также называют методом адиабатического расширения, так как этот метод основан на применении уравнений адиабатического и изохорического процессов.

Описание прибора и теория метода. Клеман и Дезорм в 1819 году предложили простой метод определения отношения теплоемкостей  для газов. Прибор Клемана и Дезорма состоит из стеклянного сосуда (баллона) А, соединенного с манометром М и кранами К1 и К2 (рис.1). Сосуд с помощью этих кранов может присоединяться с атмосферой или ручным воздушным насосом (или резиновой грушей).

Суть метода состоит в следующем. Пусть первоначально в сосуде было атмосферное давление. Кран К1 открыт, а кран К2 закрыт. Если с помощью ручного насоса (или резиновой груши), быстро накачать в сосуд небольшое количество воздуха (во избежание попадания водяных паров в сосуд, воздух поступает через осушитель О) и закрыть кран К1, то давление в сосуде повысится; но если это повышение было произведено достаточно быстро, манометрический столбик не сразу займет окончательное положение, так как сжатие воздуха было адиабатическим, и, следовательно, температура его повысилась. (В действительности же нагнетание воздуха занимает некоторое время, и поэтому процесс этот нельзя считать строго адиабатическим.) Окончательная разность уровней в манометре (h1) установится только тогда, когда температура воздуха внутри сосуда сравняется благодаря теплопроводности стенок с температурой окружающего воздуха. Обозначим через Т1 абсолютную температуру окружающего воздуха и через р1 - давление газа внутри сосуда, соответствующее показанию манометра h1; ясно что

,                                                       (13)

где р0 - атмосферное давление (конечно, при этом р0 и h1 должны быть выражены в одинаковых единицах). Эти два параметра Т1 и р1 характеризуют состояние газа, которое мы назовем первым состоянием газа (состояние I: Т1, р1).

Если теперь быстро открыть кран К2, то воздух в сосуде будет расширяться адиабатически, пока давление его не сделается равным р0; при этом он охладится до температуры Т2; это будет вторым состоянием газа (состояние II: Т2, р0). Если сразу после открывания снова закрыть кран К2, то давление внутри сосуда начнет возрастать вследствие того, что охладившийся при расширении воздух в сосуде станет снова нагреваться. Возрастание давления прекратится, когда температура воздуха в сосуде сравняется с внешней температурой Т1; это будет третьим состоянием газа (состояние III: Т1, р2). Обозначим давление воздуха в сосуде в этот момент через р2 и соответствующее показание манометра - через h2. Ясно, что

.                                   (14)

Так как переход от состояния II к состоянию III произошел без изменения объема, то мы вправе применить здесь закон Гей-Люссака

.                                         (15)

К процессу адиабатического расширения, т.е. к переходу из состояния I в состояние II, может быть применен закон Пуассона, который удобно написать в следующей форме:

.

Подставляя сюда значение р1 из уравнения (13) и переставляя члены, получим

или

.

Так как h1/p0 и (Т1-Т2)/Т2 - величины малые сравнительно с единицей, то, разлагая оба двучлена по биному Ньютона и ограничиваясь членами первого порядка малости, получим

,

откуда

.

Но выражение, стоящее в левой части уравнения, есть не что иное, как h2; действительно, подставив в уравнение (15) значение р2 из уравнения (14) и разрешив его относительно h2, получим

.

Следовательно, можно написать

,

откуда окончательно находим

.                                      (16)

Из этой формулы видно, что для определения γ достаточно измерить разницу высот уровней жидкости в коленах манометра.

Порядок выполнения работы

1.      Закрывают кран К2. Открывают кран К1 (т.е. сосуд А соединяют с ручным воздушным насосом или с резиновой грушей). С помощью ручного воздушного насоса (или резиновой груши) нагнетают воздух в сосуд А до тех пор, пока разность уровней жидкости в коленах манометра М не достигнет значения 10-15 см. Потом кран К1 закрывают. При накачивании воздух сжимаясь, нагревается; следовательно, необходимо выждать 2-3 мин., пока благодаря теплообмену температура в сосуде не станет равной комнатной. После этого измеряют манометром избыточное давление воздуха h1 (в см водяного столба).

.        Открывают кран К2 (т.е. сосуд А соединяют с атмосферой) и когда уровни жидкости в манометре М выравниваются, быстро закрывают его (рекомендуется закрывать кран тот час же после прекращения звука, создаваемого выходящим воздухом). Выждав 2-3 мин, пока газ, охлажденный при адиабатическом расширении, нагревается до комнатной температуры, измеряют по манометру избыточное давление h2. Следует помнить, что h1 и h2 отсчитываются как разность уровней жидкости в обоих коленах U-образного манометра М.

.        Опыт следует повторить не менее десяти раз, изменяя в каждом случае величину h1. Для каждой пары значений h1 и h2 по формуле (16) определяют величину отношения теплоемкостей. За истинное значение γ принимают среднее арифметическое. Находят абсолютные и относительные погрешности эксперимента. Результаты заносят в таблицу.

Контрольные вопросы

1.      Порядок выполнения работы.

2.      Изотермический, изохорический, изобарический, адиабатический и политропные процессы в газах.

.        Теплоемкость, удельная и молярная теплоемкость.

.        Почему теплоемкость газа зависит от условий нагревания?

.        Почему СР>CV ?

Литература

1.      Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. М.: Наука, 1976. 480 с.

2.      Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика и молекулярная физика. М.: Наука, 1990. 592 с.

.        Физический практикум. Механика и молекулярная физика. / Под ред. проф. В.И.Ивероновой. М.: Наука, 1967. 352 c.

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ГАЗАХ И ОТНОШЕНИЯ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ГАЗОВ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

Принадлежности: звуковой генератор, осциллограф, система сообщающихся сосудов, телефоны.

Цель работы: ознакомление с механизмом образования стоячих волн, определение скорости звука в воздухе и отношения теплоемкостей методом стоячей волны.

Введение. Величина отношения теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме (γ=Cp/CV=cp/сV) для газов играет важную роль в теории идеальных газов, так как оно определяет число степеней свободы молекул. Кроме того, это величина входит в уравнение адиабаты, т.е. она играет очень большую роль при адиабатических процессах и при процессах, близких к ним. Для примера укажем, что ею, в частности, определяется скорость распространения звука в газах, от нее зависит течение газов по трубам со звуковыми скоростями и достижение сверхзвуковых скоростей в расширяющихся трубах. Роль этой величины заключается еще и в том, что, зная ее, можно не прибегать к измерениям CV, которые всегда трудны. Значение CV можно получить из измеренных значений Cp и γ. Часто именно так и поступают.

Один из самых удобных и точных методов определения γ основан на измерении скорости звука в газе.

Теория. См. также теорию лабораторной работы № 1.

Звуком называются механические (упругие) волны, частоты которых лежат в пределах от 16 до 20000 Гц. Механические волны с частотами ниже 16 Гц называют инфразвуками, а свыше 20000 Гц - ультразвуками.

Скорость звуковых волн в газах (и жидкостях)

,                                                     (1)

где К - модуль объемной упругости среды, ρ - плотность среды.

По закону Гука для объемной деформации изменение dp давления газа при малом изменении dV его объема прямо пропорционально относительной объемной деформации:

.                                              (2)

Для идеального газа значение К зависит от вида термодинамического процесса сжатия (расширения) газа. При очень медленном изменении объема газа процесс можно считать изотермическим, а при очень быстром - адиабатическим. В первом случае pV=const, так что Vdp+pdV=0 и Кизот=р. Во втором случае pVγ=const, где γ - показатель адиабаты, так что Кад=γр.

Таким образом, скорость упругих волн в идеальном газе зависит от их частоты. Это явление называется дисперсией волн. Возможны следующие два предельных случая. При очень малой частоте процесс деформации газа близок к изотермическому и скорость волны

,                                        (3)

а при большой частоте он близок к адиабатическому и скорость волны

.                                          (4)

Опыты показывают, что скорость звука (слышимых звуковых волн) в газах практически не зависит от частоты и соответствует формуле (4). Звуковые колебания происходят настолько быстро, что сжатие и растяжение газа можно считать адиабатическими (изменение температуры, связанное со сжатиями и разряжениями в звуковой волне, не успевает выравниваться за период).

Плотность газа в формуле (4) можно выразить из уравнения Клапейрона-Менделеева как

,                                                         (5)

где m - молярная масса газа, R- универсальная газовая постоянная, Т - абсолютная температура газа.

Подставляя это выражение в формулу (4), получим , откуда

.                                                     (6)

По формуле (6) можно определить γ, если известна скорость звука в воздухе при температуре Т.

В данной работе скорость звука определяется методом стоячей волны. Стоячие волны - это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющихся навстречу друг другу. Возникновение стоячих волн является частным случаем интерференции волн.

Рассмотрим образование стоячей волны в цилиндрической трубе с воздухом, закрытой с обоих концов. Пусть падающая вдоль положительного направления оси х волна  (здесь у - смещение (отклонение от положения равновесия) частицы среды, х - расстояние частицы среды от источника колебаний, t - время, А - амплитуда (максимальное смещение), ω=2π/T=2πν=2πυ/λ - циклическая частота, Т - период колебания, ν - частота колебания, υ - скорость волны, λ - длина волны) отражается от более плотной среды (в выполняемой работе - от поверхности жидкости - воды). При этом фаза колебания меняется на противоположную фазу (на p). Отраженная волна , распространяясь в противоположном направлении оси х, интерферирует с падающей волной. Сложив уравнения падающей и отраженной волн, получим уравнение стоячей волны:

.                              (7)

Из уравнения стоячей волны (7) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты ω с амплитудой , зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где

 (m=0, 1, 2, ...),                                    (8)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где

 (m=0, 1, 2, ...),                                  (9)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (Аст=2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (Аст=0), называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (8) и (9) можно получить соответственно координаты пучностей и узлов:

 (m=0, 1, 2, ...),                 (10)

 (m=0, 1, 2, ...).                        (11)

Из формул (10) и (11) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны λ/2.

В интервале между соседними узлами находятся точки, колеблющиеся с различными амплитудами, но в одинаковых фазах, т.е. одновременно достигающие максимума. В смежном интервале характер колебаний такой же, но фаза будет противоположна. Форма стоячей волны в различные моменты времени («мгновенные фотографии») через  представлена на рис.1. Точки, лежащие на прямых а1а1, а2а2, а3а3, а4а4, являются узловыми; точки, лежащие на прямых А1А1, А2А2, А3А3, А4А4 - пучностями.

Обычно стоячие волны возникают при распространении упругих колебаний в телах ограниченных размеров. Вследствие многократных отражений от границ тела с окружающей средой падающая волна вызывает множество отраженных волн. В результате взаимодействия падающей и отраженных волн в теле возникает колебание очень сложной формы. Если размеры тела таковы, что отраженные волны, взаимодействуя, усиливают друг друга, то амплитуда результирующего колебания возрастает - наступает резонанс.